COURS MECANIQUE CLASSIQUE

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Chapitre 2opérateurs différentiels140Sommaire2.1 l’opérateur nabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 le gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 la divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5145 2.4 le rotationel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.5 le Laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.5.1 le Laplacien scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.5.2 le vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.6 identités et relations entre opérateurs différentiels . . . . . . . . . . 6150 2.6.1 propriétés fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.6.2 identités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.6.3 quelques relations utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.7 opérateurs et intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.7.1 théorème de green ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7155 2.7.2 de stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.7.3 autres théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7160 2.1 l’opérateur nabla!¡ @ @ @!¡ !¡ !¡r˘ e ¯ e ¯ ex y z@x @y @z2.2 le gradientEn coordonnées cartésiennes :¡¡¡! !¡ @f @f @f!¡ ...
Publié le : samedi 24 septembre 2011
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Chapitre 2
oprateurs diffrentiels
140 Sommaire 2.1 l’oprateurnabla4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 legradient4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 ladivergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 2.4 lerotationel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 145 2.5 leLaplacien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 2.5.1 leLaplacien scalaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 2.5.2 leLaplacien vectoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 2.6 identitset relations entre oprateurs diffrentiels6. . . . . . . . . . 2.6.1 propriÉtÉsfondamentales6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 2.6.2 identitÉs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 2.6.3 quelquesrelations utiles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 2.7 oprateurset intgrales7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 thÉorÈmede green ostrogradski7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.2 thÉorÈmede stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 155 2.7.3 autresthÉorÈmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
2.1 l’oprateurnabla 160
2.2 legradient
−→∂ ∂ ∂ ∇ =ex+ey+ez xyz
En coordonnÉes cartÉsiennes : fff grad f= ∇f=ex+ey+ez xyz 4
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En coordonnÉes cylindriques : −−−→f1ff −→ −→−→ grad f=er+eθ+ez r r∂θ ∂z En coordonnÉes sphÉriques : −−−→f1f1f −→ −→−→ grad f=er+eθ+eϕ r r∂θrsinθ ∂ϕ
2.3 ladivergence
En coordonnÉes cartÉsiennes : −→ −→−→AxAyAz d iv A= ∇.A= + + xyz En coordonnÉes cylindriques : −→1(r Ar) 1AθAz d iv A= ++ rr r∂θ ∂z En coordonnÉes sphÉriques : 2 A −→1(r Ar) 1(sinθAθ) 1ϕ d iv A= ++ 2 rr rsinθ ∂θrsinθ ∂ϕ
2.4 lerotationel
En coordonnÉes cartÉsiennes :
AzAyAxAzAyAx r otA= ∇ ∧A=()ex+()ey+()ez yzzxxy
En coordonnÉes cylindriques :
1AzAθArAz1(r Aθ)Ar −→ −→−→ r otA=()er+()eθ+()ez r∂θ ∂zzr rr∂θ
En coordonnÉes sphÉriques :
−→1(sinθAϕ)Aθ(r Aϕ) 1 1Ar1(r Aθ)Ar −→ −→−→ r otA=()er+()eθ+()ez rsinθ ∂θ∂ϕrsinθ ∂ϕr rr∂θ
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2.5 leLaplacien 2.5.1 leLaplacien scalaire 165 soit V une fonction scalaire En coordonnÉes cartÉsiennes : 2 2 2 −→VVV 2 ΔV= ∇V= + + 2 2 2 xyz En coordonnÉes cylindriques : 2 2 1∂ ∂V1VV ΔV=(r)+ + 2 22 rrr r∂θ ∂z En coordonnÉes sphÉriques : 2 2 11∂ ∂V1V ΔV=(rV)+(sinθ)+( ) 2 22 2 rr rsin∂θθ ∂θrsinθ ∂ϕ
2.5.2 leLaplacien vectoriel −→ soitAun vecteur En coordonnÉes cartÉsiennes : −→ ΔA=ΔAxex+ΔAyey+ΔAzez
le laplacien vectoriel n’a pas d’expressions simples en coordonnÉes cylin-driques ou sphÉriques
2.6 identitset relations entre oprateurs diffren-tiels 170 2.6.1 propritsfondamentales tous les opÉrateurs sont linÉaires la dÉrivÉe par rapport au tempscommute avec ces opÉrateurs t
2.6.2 identits
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d ivr ot A=0 r ot gradV=0 −−−→ d iv(gradV)=ΔV
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2.6.3 quelquesrelations utiles 175 soit deux champs scalairesVetUet deux champs vectorielsAetB −−−→ −−−→−−−→ grad(V U)=V grad(U)+U grad(V) grad(A.B)=Ar ot B+BAr ot+(A.grad)B+(B.grad)A d iv(V A)=V d iv A+A.gradV −→ −→−→d iv(AB)=B.r otAA.r ot B r otr otA=grad(d iv A)ΔA r ot(V A)=V rot A+gradVA
2.7 oprateurset intgrales 2.7.1 thormede green ostrogradski Ó Ñ −→ −→−→ A.d S=d iv A dτ
2.7.2 thormede stokes
I Ï A.d l=r otA.d S
2.7.3 autresthormes thÉorÈme de Kelvin I Ï V dl= −gradVd S
formule intÉgrale du gradient Ó Ñ V d S=gradV dτ
formule intÉgrale du rotationnel Ó Ñ Ad S= −A dr otτ
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