Cours Modélisation des actions mécaniques

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CI.6 MODELISATION DES ACTIONS MECANIQUES CI 6 MODELISATION DES ACTIONS MECANIQUES On supposera comme dans les chapitres précédents que les solides sont géométriquement parfaits et indéformables. On constate que les ensembles mmaattéérriieellss ssee ddééppllaacceenntt eett ssee ddééffoorrmmeenntt. OOnn aassssoocciiee llee tteerrmmee général de « force »»» aaauuuxxx cccaaauuussseeesss dddeee ccceeesss ppphhhééénnnooommmèèènnneeesss... PPPooouuurrr pppooouuuvvvoooiiirrr mmmeeettttttrrreee eeennn éééqqquuuaaatttiiiooonnnsss llleeesss ppphhhééénnnooommmèèènnneeesss ppphhhyyysssiiiqqquuueeesss qui nous préoccupent, on va associer un modèle mathématique à ce concept de force ou plutôt d’action mécanique. I. MISE EN EVIDENCE. Tout système est en permanence soumis à des actions. Exemple de la pince Schrader : LL’’aaccttiioonn dduu ppooiiggnneett ssuurr llaa ppiinnccee,, ll’’aaccttiioonn ddee llaa ppiièèccee sur la pince… On appelle ces Actions : Actions Mécaniques. Robot Shrader Définition d’une AM. OOnn aappppeellllee AAccttiioonn MMééccaanniiqquuee ((nnoottééee AAMM)) ttoouuttee ccaauussee ccaappaabbllee :: - de maintenir un corps au repos, Modèle global - de créer ou modifier un mouvement, - de déformer un corps. Modèle local O SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L'INGENIEUR 1 fifiljCI.6 MODELISATION DES ACTIONS MECANIQUES Pince ...
Publié le : samedi 24 septembre 2011
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CI.6 MODELISATION DESACTIONSMECANIQUES 
CI 6
MODELIS TION DES ACTI NS MECANIQ ES  On supposera comme dans l s chapitres précédents que les solides sont géométriquement parfaits et indéformables.   On constate que les ensembles matériels se déplacent et se déforment. On associe e terme général de « force » aux causes de ces phén mènes. Pour pouvoir mettre en équations les ph nomènes physiques qui nous préoccupent, on va associer un modèle mathématique à ce concept de fo ce ou plutôt d’action mécanique.   
I. 
MISE EN EVI
ENCE.
Tout système est en permanence soumis à des action  Exemple de la pince Schrader : L’action du poignet sur la pince, l’action de la pièce     sur la pince…   On appelle ces Actions : Actions Mécaniques.       Définition d’une AM. On appelle Action Mécanique (n tée AM) toute cause capable : - de maintenir un corps a repos, - de créer ou modifier un ouvement,  de déformer un corps. -      
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IEUR  
 
 
Modèle global
 Modèle local
 
 
 
 
 
        
Robot Shrader
 
O
1 
        
CI.6 MODELISATION DESACTIONSMECANIQUES 
II. 
MODELISATION LOCALE
Pince Shrader seule
1. NCE (QUI AGISSENATC ISUNRU QLSEE A D SIATLEACS ONTIMES VOLUME). Chaque élément de volume de l’ensemble matériel subit une action mécanique élémentaire. (action volumique)df(Q)1Φ(Q).dV    Exemples : Attraction terrestre (action de la pesanteur).  Champ magnétique d’un aimant (action magnétique)…
2. CT ANSIOEC MIQAN SEUC EDATNO( TCQUI AGISSENT SURL  AESL SURFACE) Elles s’appliquent directement sur la surface frontière des ensembles matériels en contact (action ponctuelle ou surfacique).df(Q)1l(Q).dS Exemples : Entre deux solides (action de liaison). Entre un solide et un fluide (action de pression)…
  
3. DOMACOL ELECENAQIEU L DUNE ACTION M
Principe de ce modèle :Représenter localement toutes lesactions mécaniques élémentairesen tout point Q où elles agissent : c'est7à7dire sur un volume élémentairedvou une surface élémentaire ds.  Objectif de ce modèle :de contact, et des déformations de solides (notions quiEtudier des pressions sortent du cadre de votre programme)  Modélisation par unchamp de vecteurs df(Q): Exemple de l’action mécanique élémentaire de contact de la pièce sur le doigt de la pince :  
 
Q
dfpièce|doigt(Q) 
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Cette action mécanique élémentaire est modélisée en son point d’application Qpar un vecteur liédfpièce|doigt(Q) dont les caractéristiques sont : • un point d'application Q, • une direction, • un sens, • une intensité dont l’unité est le NEWTON (N).       
 
 
 
 
 
 
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III. MODELE GLOBAL : TORSEUR D’EFFORT ASSOCIE
Principe de ce modèle :Représenter globalement lesactions mécaniques(dans le cas de solides indéformables).  Objectif de ce modèle :le mouvement (avec actions mécaniques) de solidesEtudier l'équilibre ou indéformables. Cette représentation fait disparaître l’effet local, mais est très efficace pour appliquer les lois de la Mécanique : Principes fondamentaux de la Statique (PFS) ou de la Dynamique (PFD).  Modélisation par untorseur(résultante + moment) :
1èreétape : Notion de résultante :Rpièce|doigt1dfpièce|doigt(Q) D  Exemple de l’action mécanique de contact de la pièce sur le doigt de la pince :  Cette action mécanique est modélisée en un point A particulier Apar un vecteur liéRpièce|doigt O(appelée résultante)dont les caractéristiques sont : Rpièce|doigtcation A d'appliidertcoi , nu e n,tni op nu • un sens, • une intensité dont l’unité est le NEWTON (N). Rpièce|doigt1dfpièce|doigt(Q) (Rpièce|doigtest la somme de tous les petitsdfpièce|doigt(Q)) D
 où D est le domaine sur lequel s’exercent les actions mécaniques élémentaires (une surface ou un volume).
2èmeétape : Notion de moment résultant :MO,pièce|doigt1OQÙdfpièce|doigt(Q). D La modélisation de l’action mécanique par une résultante en un point particulier est : · suffisante pour un point appartenant au support de l’action,puisqu’elle prend en compte l’action de tirer ou pousser. · pour un point n’appartenant pas au support de l’action,insuffisante puisqu’elle ne prend pas en compte l’action de tordre.  En effet si on s’intéresse à l’effet de l’action mécanique précédente au point O, celle7ci a tendance à : 7 pousser le doigt dans une direction verticale parallèle àRpièce|doigt. 7 tordre le doigt autour de l’axe z. 
       
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CI.6 MODELISATION DESACTIONSMECANIQUES 
Par conséquent, nous modéliserons l’action mécanique de la pièce→doigt en O :  MO,pièce|doigt  
Rpièce|doigt
 
d
 
 par unerésultanteRpièce|doigt qui a tendance à pousser dans une direction (résultante inchangée par rapport à celle modélisée en A)   et par un 2èmevecteur lié (appeléemoment notée et  MO,pièce|doigt qui a tendance à tordre autour d’un axeet dont les caractéristiques sont : • un point d'application, • une direction, • un sens, • une intensité dont l’unité est le NEWTON MÈTRE (N.m).
 Rpièce|doigt1dfpièce|doigt(Q) etMO,pièce|doigt1OQÙdfpièce|doigt(Q) D D où D est le domaine sur lequel s’exercent les actions mécaniques élémentaires (une surface ou un volume).
Bilan : Torseur de l’action mécanique globale. Lorsque l’on s’intéresse, pour une résultante, à un point différent d’un des points de son support, on dit que la résultante induit un moment par rapport à ce point. Ainsi, pour traduire avec précision les effets d’une action mécanique en n’importe quel point d’un solide, il faut caractériser cette action mécanique par une Résultante et un Moment (ceux7ci pouvant être nul). C’est pourquoi, nous utiliserons l’outil mathématique qui permet de regrouper ces 2 informations : le torseur.  Définition du torseur d’action mécanique: Le torseur d’action mécanique estdéfinien un point donnépar ces« deux éléments de réduction »: · une résultante du point d'expression du torseur. indépendante · un momentMfonction du point choisi. |) 1 2R1|2Ddf1 2(Q 11ODÙ|OMO,1 2OQ df1 2(Q) | | MA,1|21MB,1|2#R1|2ÙBA 
 
Rappel :
    
Remarque : Calcul du moment d’un glisseur par la méthode du « bras de levier ».  dMO,1|21MA,1|2#OAÙR1|2 
 IENC  
STRIELLES POUR  
Rpièce|doigt 
GE NIEUR 
 
 
 
 
 
 
 
 
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dfpes|1(Q)1Λ(Q).g.dv1Λ.g.dv solide homogène) (car
3.  BAL. GLODELEOM
1
Selon la définition d’une résultante :Rpes|11volumdefpes|1(Q)1volumeΛ.g.dv1Λ.g.volumdev1Λ.g.V1m.g 
NOTION DE POIDS: Rpes|11m.g.
Q
dv
1 % MO,1|2d.R1|2.z 
M O,1|21d.R1|2  d est appelé bras de levier (distance entre le point O et le support de la résultante au point A).     
.y) 
MO,1|21(d.x#?.y)Ù(%R1|2
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dFpes|1(Q) 
z 
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Λ( Q )1 Λ 1cste 1. .  EGOM: ENOLIDE HOESE DU SYHOPHT Qsolide, la masse volumique reste constante :Λ( Q )1 Λ 1cste (Hypothèse qui n’est pas valable pour du béton par exemple)    
2.  L :OLACLE EMDOdfpes|1(Q)1 Λ(Q).g.dv.
ACTION MECANIQUE A DISTANCE : CAS DE LA PESANTEUR. 
IV. 
 
 
Soit un solide 1, de volume V, placé dans le champ de pesanteurgtel que g1 %g.z (Par défaut, on prend :g19,81 m.s%2).
Le champ de la pesanteur est orienté suivant la verticale descendante. Il produit en tout point Q du solide 1 une action mécanique élémentaire dfpes|1(Q)proportionnelle au volume élémentaire dv entourant Q :
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NOTION DE CENTRE DE GRAVITE: V.OG1OQ.dv . volume Selon la définition d’un moment : MO,pes|11volumOeQÙdFpes|1(Q)1volumOeQÙ Λ.g .dv1volumOeQ.dvÙ Λ.g Pour simplifier l’expression de ce moment, on choisit de l’exprimer non au point O mais en un point G, tel quevolumGeQ.dv10. Ainsi en ce point G,MG,pes|11voluGQ.dvÙ Λ.g10. meLe point G peut être également définit en faisant intervenir le point O, origine du repère : 01GQ.dv1(GO#OQ).dv1GO.dv#OQ.dv1V.GO#OQ.dv       volume volume volume volume volume V.OG1OQ.dv  volume  Le point G ainsi défini, appelé centre de gravité, est le barycentre des points Q chacun pondéré du facteur dv.   Action de la pesa Expression globale :pes|11G.m0gpesanteur est donc un torseur glisseur dont. Le torseur de la l’expression la plus simple est obtenue en G. L’axe central du torseur passe par le centre de gravité et est vertical.      NB : Pour les solides dont une dimension est négligeable (plaque) ou pour les solides unidimensionnels (fil), le domaine d’intégration est une surface (S) ou une ligne (L).  
V. 
LOIS DE COULOMB
1. ON DNOTIERENADH. E ECRF TETTOTNEM
 
1/
2/
3/
4/
Le frottement ou l’adhérence sont des phénomènes qui tendent à s’opposer au mouvement ou, à la tendance au mouvement relatif de 2 pièces en contact.
S’il existe un mouvement relatif entre les 2 pièces en contact, on dit qu’il y a frottement.
S’il existe une tendance au mouvement relatif entre les 2 pièces en contact (mais sans mouvement…), on dit qu’il y a adhérence.
L’équilibre strict se situe juste avant le mouvement (il n’y a pas encore de mouvement).
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CI.6 MODELISATION DESACTIONSMECANIQUES 
2. CA TOCTND  EQUESCANIS METIONISELIOATDEN ACS DOM SURFACIQUE. 
Soient deux solides S1 et S2 en contact sur une surface S. L’action mécanique élémentairedF1|2(Q)au point Q se projette sur la normale et dansde S1 sur S2 le plan tangent commun à S1 et S2 en Q telle que :dF1|2(Q)1dN1|2(Q)#dT1|2(Q)  dN1|2(Q)caractérise la répartition d’action normale (pression de contact)dN1|2(Q)1p(Q).ds dT1|2(Q)caractérise la répartition d’action tangentielle (adhérence ou frottement)  dT1|2(Q)σ ma lim ite.dN1|2(Q) 
 
Cas de l’adhérence
Vitesse de glissementVQÎ2 / 110  Cône S2 dadhérence 
dN1|2(Q) 
a limite 
a 
dF1|2(Q) 
Q
Cas de l’adhérence limite
Vitesse de glissementVQ 2 / 110 Î
Cône S2 dadhérence 
dN1|2(Q) dF1|2(Q) 
a limite 
Q
Cas du frottement
 
Vitesse de glissementVQÎ2 / 1¹0 
 Cône de frottement 
S2
dN1|2(Q ) 
VQΠ12 /
Q
 f 
dF1|2( Q) 
(Q) dsdT1|2(Q) (Q) dsdT1|2(Q ) ( Q) dsdT1|2( Q)  S1 S1 S1    Φa(angle d’adhérence)Φa lim ite(angle d’adhérence limite)Φf(angle de frottement) dT1|2(Q)0 ma limite. dN1|2(Q) dT1|2(Q)1 ma limite. dN1|2(Q) dT1|2(Q)1 mf. dN1|2(Q) avec coef d’adhérencemitelima1tanΦtelimai coef d’adhérence avecmaimleti1tanΦetiamil avec coef de frottementmf1tanΦf L’action mécanique élémentaire L’action mécanique élémentaire L’action mécanique élémentaire dF1|2(Q)se situedF1|2(Q)se situedF1|2(Q)se situe DANS le cône d’adhérence SUR le cône d’adhérence SUR le cône de frottement (de sommet Q et de demi7angle au sommetΦalimit) (de sommet Q et de demi7angle au sommetΦalimit sommet Q et de demi7angle au sommet) (deΦf) L’action tangentielle d’adhérence L’action tangentielle d’adhérence L’action tangentielle de frottement dT1|2(Q) s’oppose à la tendancedT1|2(Q) s’oppose à la tendancedT1|2(Q) s’oppose au glissement au glissement de 2/1. au glissement de 2/1. de 2/1 : La direction dedT1|2(Q)est donc La direction dedT1|2(Q)est doncVQÎ2 / 1ÙdT1|2(Q)10(colinéaire) ipnads éltae rtmenindéaen cpeu iasuq ugel ilssoenm neen tc odne n2a/ît1 niédet eép mrnieul iuqsne con ponnet al saa ecnadnseisglu e  dntme2a/î1tVQÎ2 /1·dT1|2(Q)00(de sens opposé)  
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CI.6 MODELISATION DESACTIONSMECANIQUES 
entielles 
Récapitulatif sur l’évolution des actions an d’adhérence Taet de frottement Tf. L’action tangentielle de frottement Tfes à l’origine des pertes d’énergie par frottement.
Si l’objet est arrêté il faudra, pour le re ettre en mouvement, fournir une action F >ma lim te.N. Les différentes phases sont résumées sur e graphique :
  
Coe icients d’adhérence et de rottement :m& ma limiteetmfne dépendent :  ni de l’intensité des actions exercées,  ni de l’étendue des surfaces en con act.  
Adhéren e  ma limite= tan Φa limite Matériaux en A sec L brifi contact
Frottement  mf= tanΦf 
A sec
Lubrifié
Ils dépendent essentiellement : 0,09 0,18 0,12 0,15Acier sur acier  de la nature du couple de matériaux en contact, 0,19 0,10 0,16 0,08 à 0,04Acier sur fonte  de la rugosité des surfaces en cont ct, 0,10 0,10 0,09Acier sur bronze 0,11  de la lubrification (sec ou lubrifié),  0,04 0,04Téflon sur acier  de la température au niveau d s surfaces en  à 0,04 0,20 0,08Fonte sur bronze 0,10 contact qui peut favoriser des micr soudures ou la Nylon sur acier 0,12 0,35 rupture du film d’huile si le contac est lubrifié, 0,16 à 0,20 à 0,04 0,65Bois sur bois 0,40 0,20  de la vitesse de glissement… 0,10 0,50 à 0,20 0,08 à 0,02Métaux sur bois 0,60 à 0,50 Métal sur glace 0,02  Toutefois, en première approximation,o corèesndi 0,30 à 0,10  que le rtèmarape ntradénopérp conce ne Pneu voiture sur 0 80 0 , uniquement la entaru du couple de xauritéa en tlul é eoros lomiuus r,6 0 contact.  NB : Le coefficient d’adhér nce est toujours supérieur au coefficient e frottement ma lim ite2 mf). Mais étant d nné le grand nombre de paramètres qui i terviennent dans leur détermination, on considère souvent, par mesure de simplification, qu ces deux coefficients sont égaux et nommésmou f.
         
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CI.6 MODELISATION DESACTIONSMECANIQUES 
VI. ACTION MECANIQUE TRANSMISSIBLE PAR UNE LIAISON PARFAITE.
1. IT.F OECBJ Nous allons nous intéresser auxpossibilités de transmission d’actions entre les pièces constituant une liaison parfaite (compte tenu de la géométrie des surfaces de contact).  
2. AR PITFA. ES RUS SELIAILSNOSRAPPEL Une liaison parfaite est définie par : · des surfaces de contact géométriquement parfaites, · des jeux de fonctionnement nuls entre les surfaces de contact, · un contact entre surfaces supposé sans adhérence.  
3.  NOC NIMETAQIEU/ T ORSEUR DE LACTIUADTELIOR TURSE MECANIQUE TRANSMISSIBLE PAR UNE LIAISON PARFAITE. 
TUDE DE L ACTION MECANIQUE TRANSMISSIBLE PAR UNE GLISSIERE
Soit la liaison glissière de direction supposée parfaite entre les pièces 1 et 2 :  
Quels sont les mouvements élémentaires possibles ? Translation suivant la direction .  
Peut7on transmettre une action de 1 sur 2 suivant ce degré de liberté ? Non.  
En revanche peut7on transmettre une action de 1 sur 2 suivant les 5 degrés de liaison ? Oui, les composantes de la résultante Y, Z et les composantes du moment L, M et N sont transmises d’une pièce à l’autre.  
Ainsi il existe une dualité entre le torseur cinématique et le torseur de l’action mécanique transmissible par la liaison glissière :  Form é le Forme générale du Torseur de el gactniéorna mécaniq  du Torseur cinématique
2 / 10 vx,PÎ2 / 110 0 "P0 0(x,...,...)
  
 
ue transmissible
0 L 2|11OY22||11MO,2O,2O|||11Z N,2 1(x,y,z)   
Généralisons.  Lorsqu’un degré de liberté est supprimé entre 2 solides 1 et 2, il en résulte alors une composante dans le torseur de l’action mécanique transmissible de 1|2 (qui empêche le mouvement).  
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CI.6 MODELISATION DESACTIONSMECANIQUES 
A. E ET DE LEAUTABROT SED LARENEG QUTIMANECIS URSE LACTION MECANIQUE TRANSMISSIBLE PAR UNE LIAISON PARFAITE. 
Parmi toutes les liaisons envisageables, la norme NF EN ISO 395271 (mai 95) a retenu les plus courantes. eprésentatio Représentation Spatiale plane
Nom
Complète ou encastrement 
Glissière de
Appui plan de normaley 
Linéaire rectiligne de ligne de contact O, x!et de normaley 
 (ou alors cylindre7 plan de ligne de contactO, xet de normaley) Ponctuelle de oint de contact O et de normale y  (ou alors sphère7 plan de point de contact O et de normaley) 
y 
O
x 
z
 
 
 
y 
O z
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x 
 
 
Forme générale du Torseur cinématique
Forme générale du Torseur de l’action mécanique transmissible
La forme de ces 2 torseurs reste identique pourtout point A de l’espace. Mais attention, les valeurs de leurs composantes ne sont pas forcément égales… 2 / 10000|1X2||1LA,2||1 1P0 0 2 1Y2|1MA,2|1"(...,...,...) AZ2 1NA,2 1 (x,y,z)
La forme de ces 2 torseurs reste identique pourtout point A de l’espace. Mais attention, les valeurs de leurs composantes ne sont pas forcément égales… 
Î 2/11P00v0x,P002 /1)x..,...,.( "
0 LA,2|12|11Y2|1MA,2|1 AZ2|1N|(x,y,z) A,2 1
La forme de ces 2 torseurs reste identique pourtout point A de l’espace. Mais attention, les valeurs de leurs composantes ne sont pas forcément égales… 
| 2 /1wy0,2 /1vx,P0Î2 /12 11P (A,yY200|1LNP,02|1   1"PÎ(A,y)0 vz,PÎ2/1(x" Î) P,2|)z1(y,x,  
La forme de ces 2 torseurs reste identique pourtout point A du plan(O,x,y). Mais attention, les valeurs de leurs composantes ne sont pas forcément égales… 
2 /11Awwxy0,/212,1/vvz,A,xA0Î/12/12(x,y,z) Î
2|11"PÎ(A,y)Y200|1NP,002|1(x,y,z) 
La forme de ces 2 torseurs reste identique pourtout point A de la normale (O, y). Mais attention, les valeurs de leurs composantes ne sont pas forcément égales… 
wwx,2 /1vx,AÎ2 /12 /0 11Aw/1,22/z,1yvz,AÎ2 /1(x y,z) ,
 
 
 
 
0 0 2|11Y2|10y ..) "PÎ(O,y)0 0(...,,.
 
 10
CI.6 MODELISATION DESACTIONSMECANIQUES 
 
Pivot d’axe O, x! 
Pivot glissant d’axeO, x! 
Hélicoïdale d’axeO, x!et de pas p
Sphérique à doigt d’axes O, y!etO, z!  (ou alors sphérique à doigt de rotation interditeO, x!) 
otule de centre O
Linéaire annulaire de centre O et de direction
 ou alors sphère7 cylindre de centre O et de direction  
ou
 
ou
ou
ou
  
 
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La forme de ces 2 torseurs reste identique pourtout point A de l’axe(O, x). Mais attention, les valeurs de leurs composantes ne sont pas forcément égales… 
2 / 110 "wx,02 / 10 2|11AZYX222|||111NMA,A022,||11(x,y,z) PÎ(O,x)0 0(x.)...,..,
La forme de ces 2 torseurs reste identique pourtout point A de l’axe(O, x). Mais attention, les valeurs de leurs composantes ne sont pas forcément égales… 
x,2 / 1v / 1x,P 2 2 / 11"PÎ(O,x)w0000Î(x,...2|11AYZ22011NM,AA022,||11(y,z) | |x,  
La forme de ces 2 torseurs reste identique pourtout point A de l’axe(O, x). Mais attention, les valeurs de leurs composantes ne sont pas forcément égales… 2/1x)wx00,2/1± wx,200/12p.ϑ(x ..2|11YXZ222|||111±NXMA,2A,|212||.11p2ϑ1A(x,y  ,z) P (O,. " Î,  CarPint101R1|2.VAÎ2 / 1#MA ,1|2.W2 / 1 2 (rad) p(mm) x . p v Κϑ(rad)±||)mmx(1 ±Κ2ϑx1 ±wxp.2ϑpas à droite X1|2.wx,2 / 1p2.ϑ #LA ,1|2.wx,2 / 110 pas à gauche X1|2.(% wx,2 / 12p.ϑ)#LA ,1|2.wx,2 / 110 e  Pas à droitevx1 #wxp2.etL1 %.Xp2 Pas à gauchevx1 %wx.p2tL1 #.X2p  
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wx,2 / 1 2 / 11wy,2 / 1 Owz,2 / 1
 
 
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 11
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