Cours Modélisation des actions mécaniques

Frederick Martin

Description

CI.6 MODELISATION DES ACTIONS MECANIQUES CI 6 MODELISATION DES ACTIONS MECANIQUES On supposera comme dans les chapitres précédents que les solides sont géométriquement parfaits et indéformables. On constate que les ensembles mmaattéérriieellss ssee ddééppllaacceenntt eett ssee ddééffoorrmmeenntt. OOnn aassssoocciiee llee tteerrmmee général de « force »»» aaauuuxxx cccaaauuussseeesss dddeee ccceeesss ppphhhééénnnooommmèèènnneeesss... PPPooouuurrr pppooouuuvvvoooiiirrr mmmeeettttttrrreee eeennn éééqqquuuaaatttiiiooonnnsss llleeesss ppphhhééénnnooommmèèènnneeesss ppphhhyyysssiiiqqquuueeesss qui nous préoccupent, on va associer un modèle mathématique à ce concept de force ou plutôt d’action mécanique. I. MISE EN EVIDENCE. Tout système est en permanence soumis à des actions. Exemple de la pince Schrader : LL’’aaccttiioonn dduu ppooiiggnneett ssuurr llaa ppiinnccee,, ll’’aaccttiioonn ddee llaa ppiièèccee sur la pince… On appelle ces Actions : Actions Mécaniques. Robot Shrader Définition d’une AM. OOnn aappppeellllee AAccttiioonn MMééccaanniiqquuee ((nnoottééee AAMM)) ttoouuttee ccaauussee ccaappaabbllee :: - de maintenir un corps au repos, Modèle global - de créer ou modifier un mouvement, - de déformer un corps. Modèle local O SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L'INGENIEUR 1 fifiljCI.6 MODELISATION DES ACTIONS MECANIQUES Pince ...

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Extrait

CI.6   M ODELISATION DES A CTIONS M ECANIQUES  

CI   6

MODELIS TION DES ACTI NS  MECANIQ ES   On supposera comme dans l s chapitres précédents que les solides sont géométriquement  parfaits et indéformables.     On constate que les ensembles matériels se déplacent et se déforment. On associe e terme général de « force » aux causes de ces phén mènes. Pour pouvoir mettre en équations les ph nomènes physiques  qui nous préoccupent, on va associer un modèle mathématique à ce concept de fo ce ou plutôt d’action mécanique.    

I. 

MISE EN EVI

ENCE.

Tout système est en permanence soumis à des action   Exemple de la pince Schrader : L’action du poignet sur la pince, l’action de la pièce      sur la pince…     On appelle ces Actions : Actions Mécaniques.             Définition d’une AM. On appelle Action Mécanique (n tée AM) toute cause capable : - de maintenir un corps a repos, - de créer ou modifier un ouvement,  de déformer un corps. -            

S CIENCES I NDUSTRIELLES POUR L 'I NGE  

IEUR   

 

 

Modèle global

  Modèle local

 

 

 

 

 

         

Robot Shrader

 

O

1  

         

CI.6   M ODELISATION DES A CTIONS M ECANIQUES  

II. 

MODELISATION LOCALE

Pince Shrader seule

1.   NCE (QUI AGISSENATC ISUNRU QLSEE A D SIATLEACS ONTIMES  VOLUME).  Chaque élément de volume de l’ensemble matériel subit une action mécanique élémentaire. (action volumique) df(Q)1 Φ (Q).dV       Exemples : Attraction terrestre (action de la pesanteur).  Champ magnétique d’un aimant (action magnétique)…

2.   CT ANSIOEC MIQAN SEUC EDATNO( TCQUI AGISSENT SURL  AESL SURFACE)  Elles s’appliquent directement sur la surface frontière des ensembles matériels en contact (action ponctuelle ou surfacique). df(Q)1 l (Q).dS   Exemples : Entre deux solides (action de liaison). Entre un solide et un fluide (action de pression)…

   

3.   DOMACOL ELECENAQIEU L D’UNE ACTION M

Principe de ce modèle :Représenter localement toutes lesactions mécaniques élémentairesen tout point Q où elles agissent : c'est7à7dire sur un volume élémentairedvou une surface élémentaire ds.   Objectif de ce modèle :de contact, et des déformations de solides (notions quiEtudier des pressions sortent du cadre de votre programme)   Modélisation par unchamp de vecteurs  df(Q) : Exemple de l’action mécanique élémentaire de contact de la pièce sur le doigt de la pince :  

 

Q

df pièce|doigt (Q)  

S CIENCES I NDUSTRIELLES POUR L 'I NGENIEUR    

 

 

Cette action mécanique élémentaire est modélisée en son point d’application Qpar un vecteur lié df pièce|doigt (Q)  dont les caractéristiques sont : • un point d'application Q, • une direction, • un sens, • une intensité dont l’unité est le NEWTON (N).            

 

 

 

 

 

 

2

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III. MODELE GLOBAL : TORSEUR D’EFFORT ASSOCIE

Principe de ce modèle :Représenter globalement lesactions mécaniques(dans le cas de solides indéformables).   Objectif de ce modèle :le mouvement (avec actions mécaniques) de solidesEtudier l'équilibre ou indéformables. Cette représentation fait disparaître l’effet local, mais est très efficace pour appliquer les lois de la Mécanique : Principes fondamentaux de la Statique (PFS) ou de la Dynamique (PFD).   Modélisation par untorseur(résultante + moment) :

1 ère étape : Notion de résultante : R pièce|doigt 1 ∫ df pièce|doigt (Q)   D   Exemple de l’action mécanique de contact de la pièce sur le doigt de la pince :   Cette action mécanique est modélisée en un point A particulier Apar un vecteur lié R pièce|doigt   O (appelée résultante)dont les caractéristiques sont : R pièce|doigt cation A d'appli idertcoi  ,  •nu e n, tni   op nu • • un sens, • une intensité dont l’unité est le NEWTON (N). R pièce|doigt 1 ∫ df pièce|doigt (Q)  ( R pièce|doigt est la somme de tous les petits df pièce|doigt (Q) ) D

  où D est le domaine sur lequel s’exercent les actions mécaniques élémentaires (une surface ou un volume).

2 ème étape : Notion de moment résultant : M O,pièce|doigt 1 ∫ OQÙdf pièce|doigt (Q) . D La modélisation de l’action mécanique par une résultante en un point particulier est : · suffisante pour un point appartenant au support de l’action,puisqu’elle prend en compte l’action de tirer ou pousser. · pour un point n’appartenant pas au support de l’action,insuffisante puisqu’elle ne prend pas en compte l’action de tordre.   En effet si on s’intéresse à l’effet de l’action mécanique précédente au point O, celle7ci a tendance à : 7 pousser le doigt dans une direction verticale parallèle à R pièce|doigt . 7 tordre le doigt autour de l’axe z. 

             

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3

 

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Par conséquent, nous modéliserons l’action mécanique de la pièce→doigt en O :   M O,pièce|doigt  

R pièce|doigt

 

d

 

 par unerésultante R pièce|doigt  qui a tendance à pousser dans une direction  (résultante inchangée par rapport à celle modélisée en A)    et par un 2 ème vecteur lié (appeléemoment notée et   M O,pièce|doigt  qui a tendance à tordre autour d’un axeet dont les caractéristiques sont : • un point d'application, • une direction, • un sens, • une intensité dont l’unité est le NEWTON MÈTRE (N.m).

  R pièce|doigt 1 ∫ df pièce|doigt (Q)  et M O,pièce|doigt 1 ∫ OQÙdf pièce|doigt (Q)   D D où D est le domaine sur lequel s’exercent les actions mécaniques élémentaires (une surface ou un volume).

Bilan : Torseur de l’action mécanique globale. Lorsque l’on s’intéresse, pour une résultante, à un point différent d’un des points de son support, on dit que la résultante induit un moment par rapport à ce point. Ainsi, pour traduire avec précision les effets d’une action mécanique en n’importe quel point d’un solide, il faut caractériser cette action mécanique par une Résultante et un Moment (ceux7ci pouvant être nul). C’est pourquoi, nous utiliserons l’outil mathématique qui permet de regrouper ces 2 informations : le torseur.   Définition du torseur d’action mécanique: Le torseur d’action mécanique estdéfinien un point donnépar ces« deux éléments de réduction »: · une résultante du point d'expression du torseur. indépendante · un moment M fonction du point choisi. ∫ | )  1 2 R 1|2 D df 1 2 (Q 1           1 O      D ∫ Ù      | O M O,1 2 OQ df 1 2 (Q) | | M A,1|2 1M B,1|2 #R 1|2 ÙBA  

 

Rappel :

       

Remarque : Calcul du moment d’un glisseur par la méthode du « bras de levier ».   d M O,1|2 1M A,1|2 #OAÙR 1|2  

  IENC  

STRIELLES POUR  

R pièce|doigt  

GE   NIEUR  

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

   

df pes|1 (Q)1 Λ (Q).g.dv1 Λ .g.dv  solide homogène) (car

3.    BAL. GLODELEOM

1

Selon la définition d’une résultante : R pes|1 1 vol ∫ um d e f pes|1 (Q)1 vol ∫ ume Λ .g.dv1 Λ .g.    vol ∫ um d e v    1 Λ .g.V1m.g  

N OTION DE POIDS :   R pes|1 1m.g .

Q

dv

1 % M O,1|2 d.R 1|2 .z  

M O,1|2 1d.R 1|2     d est appelé bras de levier (distance entre le point O et le support de la résultante au point A).        

.y)  

M O,1|2 1(d.x#?.y)Ù(%R 1|2

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dF pes|1 (Q)  

z  

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Λ( Q )1 Λ 1cste 1.   .  EGOM: ENOLIDE HOESE DU SYHOPHT Q solide, la masse volumique reste constante : Λ( Q )1 Λ 1cste   (Hypothèse qui n’est pas valable pour du béton par exemple)      

2.    L :OLACLE EMDO df pes|1 (Q)1 Λ(Q).g.dv .

ACTION MECANIQUE A DISTANCE : CAS DE LA PESANTEUR. 

IV. 

 

 

Soit un solide 1, de volume V, placé dans le champ de pesanteur g tel que g1 %g.z  (Par défaut, on prend : g19,81 m.s %2 ).

Le champ de la pesanteur est orienté suivant la verticale descendante. Il produit en tout point Q du solide 1 une action mécanique élémentaire df pes|1 (Q) proportionnelle au volume élémentaire dv entourant Q :

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N OTION DE CENTRE DE GRAVITE :   V.OG1 ∫ OQ.dv . volume Selon la définition d’un moment : M O,pes|1 1 vol ∫ um O e QÙdF pes|1 (Q)1 vol ∫ um O e QÙ Λ.g .dv1     vol ∫ um O e Q.dv     Ù Λ.g   Pour simplifier l’expression de ce moment, on choisit de l’exprimer non au point O mais en un point G, tel que volu ∫ m G e Q.dv10 . Ainsi en ce point G, M G,pes|1 1    vol ∫ u GQ.dv    Ù Λ.g10 .  me  Le point G peut être également définit en faisant intervenir le point O, origine du repère : 01 ∫ GQ.dv1 ∫ (GO#OQ).dv1 ∫ GO.dv# ∫ OQ.dv1V.GO# ∫ OQ.dv     ⇒    volume volume volume volume volume V.OG1 ∫ OQ.dv   volume   Le point G ainsi défini, appelé centre de gravité, est le barycentre des points Q chacun pondéré du facteur dv.     Action de la pesa Expression globale :  pes|1 1 G     .m 0 g      pesanteur est donc un torseur glisseur dont. Le torseur de la l’expression la plus simple est obtenue en G. L’axe central du torseur passe par le centre de gravité et est vertical.           NB : Pour les solides dont une dimension est négligeable (plaque) ou pour les solides unidimensionnels (fil), le domaine d’intégration est une surface (S) ou une ligne (L).  

V. 

LOIS DE COULOMB

1.   ON DNOTIEREN’ADH. E ECRF TETTOTNEM

 

1/

2/

3/

4/

Le frottement ou l’adhérence sont des phénomènes qui tendent à s’opposer au mouvement ou, à la tendance au mouvement relatif de 2 pièces en contact.

S’il existe un mouvement relatif entre les 2 pièces en contact, on dit qu’il y a frottement.

S’il existe une tendance au mouvement relatif entre les 2 pièces en contact (mais sans mouvement…), on dit qu’il y a adhérence.

L’équilibre strict se situe juste avant le mouvement (il n’y a pas encore de mouvement).

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2.   CA TOCTND  EQUESCANIS METIONISELIOATDEN ACS DOM SURFACIQUE. 

Soient deux solides S1 et S2 en contact sur une surface S. L’action mécanique élémentaire dF 1|2 (Q) au point Q se projette sur la normale et dansde S1 sur S2 le plan tangent commun à S1 et S2 en Q telle que : dF 1|2 (Q)1dN 1|2 (Q)#dT 1|2 (Q)   où dN 1|2 (Q) caractérise la répartition d’action normale (pression de contact) dN 1|2 (Q)1p(Q).ds dT 1|2 (Q) caractérise la répartition d’action tangentielle (adhérence ou frottement)   dT 1|2 (Q)σ m a lim ite .dN 1|2 (Q)  

 

Cas de l’adhérence

Vitesse de glissement V QÎ2 / 1 10     Cône S2 d’adhérence 

dN 1|2 (Q)  

a limite  

a  

dF 1|2 (Q)  

Q

Cas de l’adhérence limite

Vitesse de glissement V Q 2 / 1 10   Î

Cône S2 d’adhérence 

dN 1|2 (Q)   dF 1|2 (Q)  

a limite  

Q

Cas du frottement

 

Vitesse de glissement V QÎ2 / 1 ¹0  

  Cône de frottement 

S2

dN 1|2 (Q )  

V QΠ12 /

Q

  f  

dF 1|2 ( Q)  

(Q) ds dT 1|2 (Q)  (Q)  ds dT 1|2 (Q )  ( Q)  ds dT 1|2 ( Q)     S1 S1 S1       Φ a (angle d’adhérence) Φ a lim ite (angle d’adhérence limite)Φ f (angle de frottement) dT 1|2 (Q)0 m a limite . dN 1|2 (Q)   dT 1|2 (Q)1 m a limite . dN 1|2 (Q)   dT 1|2 (Q)1 m f . dN 1|2 (Q)   avec coef d’adhérence m itelima 1tanΦ telimai  coef d’adhérence avec m aimleti 1tanΦ etiamil   avec coef de frottement m f 1tanΦ f   L’action mécanique élémentaire L’action mécanique élémentaire  L’action mécanique élémentaire dF 1|2 (Q) se situe dF 1|2 (Q) se situe dF 1|2 (Q) se situe DANS le cône d’adhérence SUR le cône d’adhérence  SUR le cône de frottement  (de sommet Q et de demi7angle au sommet Φ alimit ) (de sommet Q et de demi7angle au sommet Φ alimit  sommet Q et de demi7angle au sommet ) (de Φ f ) L’action tangentielle d’adhérence L’action tangentielle d’adhérence  L’action tangentielle de frottement dT 1|2 (Q)  s’oppose à la tendance dT 1|2 (Q)  s’oppose à la tendance dT 1|2 (Q)  s’oppose au glissement au glissement de 2/1. au glissement de 2/1.  de 2/1 : La direction de dT 1|2 (Q) est donc La direction de dT 1|2 (Q) est donc V QÎ2 / 1 ÙdT 1|2 (Q)10 (colinéaire) i p n a d s  é l t a e   r t m en in d é a e n   c p e u   i a s u q   u g e l   i l s ’ s o e n m  n e e n   t c   o d n e  n 2 a / ît 1  niédet   eép mrnieul iuqsne c’on  p onn et al saa ecnadnseisglu e  dntme 2 a / î 1 t V QÎ2 /1 ·dT 1|2 (Q)00 (de sens opposé)  

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CI.6   M ODELISATION DES A CTIONS M ECANIQUES  

entielles 

Récapitulatif sur l’évolution des actions an d’adhérence T a et de frottement T f . L’action tangentielle de frottement T f es à l’origine des  pertes d’énergie par frottement.

Si l’objet est arrêté il faudra, pour le re ettre en  mouvement, fournir une action F >m a lim te .N. Les différentes phases sont résumées sur e graphique :

   

Coe icients d’adhérence et de rottement : m&   m a limite etm f ne dépendent :  ni de l’intensité des actions exercées,  ni de l’étendue des surfaces en con act.  

Adhéren e   m a limite = tan Φ a limite   Matériaux en  A sec L brifi contact

Frottement  m f = tanΦ f  

A sec

Lubrifié

Ils dépendent essentiellement :  0,09 0,18 0,12 0,15Acier sur acier  de la nature du couple de matériaux en contact,  0,19 0,10 0,16 0,08 à 0,04Acier sur fonte  de la rugosité des surfaces en cont ct,  0,10 0,10 0,09Acier sur bronze 0,11  de la lubrification (sec ou lubrifié),   0,04 0,04Téflon sur acier  de la température au niveau d s surfaces en   à 0,04 0,20 0,08Fonte sur bronze 0,10 contact qui peut favoriser des micr soudures ou la  Nylon sur acier 0,12 0,35 rupture du film d’huile si le contac est lubrifié,  0,16 à 0,20 à 0,04 0,65Bois sur bois 0,40 0,20  de la vitesse de glissement…  0,10 0,50 à 0,20 0,08 à 0,02Métaux sur bois 0,60 à 0,50 Métal sur glace 0,02   Toutefois, en première approximation, o corèesndi  0,30 à 0,10   que le rtèmarape ntradénopérp conce ne  Pneu voiture sur  0 80 0 , uniquement la entaru du couple de xauritéa en  t l u l   é  eor os l omiu us r,6 0 contact.     NB : Le coefficient d’adhér nce est toujours supérieur au coefficient e frottement  m a lim ite 2 m f ). Mais étant d nné le grand nombre de paramètres qui i terviennent dans leur  détermination, on considère souvent, par mesure de simplification, qu ces deux coefficients  sont égaux et nommés m ou  f .

                 

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IEUR   

 

 

 

 

 

 

 

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VI. ACTION MECANIQUE TRANSMISSIBLE PAR UNE LIAISON PARFAITE.

1.   IT.F OECBJ Nous allons nous intéresser auxpossibilités de transmission d’actions entre les pièces  constituant une liaison parfaite (compte tenu de la géométrie des surfaces de contact).  

2.   AR PITFA. ES RUS SELIAILSNOSRAPPEL  Une liaison parfaite est définie par : · des surfaces de contact géométriquement parfaites, · des jeux de fonctionnement nuls entre les surfaces de contact, · un contact entre surfaces supposé sans adhérence.  

3.    NOC NIMETAQIEU/ T ORSEUR DE L’ACTIUADTELIOR TURSE MECANIQUE TRANSMISSIBLE PAR UNE LIAISON PARFAITE. 

TUDE DE L ACTION MECANIQUE TRANSMISSIBLE PAR UNE GLISSIERE

Soit la liaison glissière de direction supposée parfaite entre les pièces 1 et 2 :  

Quels sont les mouvements élémentaires possibles ? Translation suivant la direction .  

Peut7on transmettre une action de 1 sur 2 suivant ce degré de liberté ? Non.  

En revanche peut7on transmettre une action de 1 sur 2 suivant les 5 degrés de liaison ? Oui, les composantes de la résultante Y, Z et les composantes du moment L, M et N sont transmises d’une pièce à l’autre.  

Ainsi il existe une dualité entre le torseur cinématique et le torseur de l’action mécanique transmissible par la liaison glissière :   Form é le Forme générale  du Torseur de  e l   ’ g act n i é o r n a  mécaniq   du Torseur cinématique

2 / 1    0 v x,PÎ2 / 1    10 0   "P   0 0    (  x,...,...)

  

 

ue transmissible

0 L  2|1 1 O      Y 2 2 | | 1 1 M O ,2O ,2O| | | 1 1    Z N ,2 1   (  x,  y,z  )    

Généralisons.   Lorsqu’un degré de liberté est supprimé entre 2 solides 1 et 2, il en résulte alors une composante dans le torseur de l’action mécanique transmissible de 1|2 (qui empêche le mouvement).  

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