Cours-S4

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Math?matiquesrdreSemestreEquations4deYdi?rentielsohannlin?airesGenzmer.CourbSyst?meseslin?aires.panonram?tr?esd'oduplanet1.Tdi?rentiels.able.des.mati?res.1.Courb.es3pa.ram?tr?es..5.1.1.D?nitions.fondamentales...................................lin?aire......diagonalisation...2.3.......................equations...Lien.....o......6.1.2.V.ecteur.vitesse11etd'un........sur.........di?rentiels..........L'?quation...........L'?quation...........2.3.3.avec.........17.et..............7.1.3EquationT..d'un.a.rcsanspa.ram?tr?.....................Syst?me.2.1.di?rentiel.................2.2.diagonalisation.19...............des...................16....7.1.3.1.Domaine.de.d?nition...........16.........................initiale.memb.2.4.4...................Resolution.rdre.aux...........17.syt?mes..8.1.3.2..du.domaine.d'?tude.......17.du.................2.4.3.memb..........................................8.1.3.32Tdi?rentielableau13deD?nitionvasyst?meriation.lin?aire ...
Publié le : samedi 24 septembre 2011
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1
Syst?mes
Semestre
.
4
non
Y

ohann
lin?aires.
Genzmer
d'o

de
Courb

es
di?rentiels
pa
Equations
ram?tr?es
lin?aires
du
rdre
Math?matiques
plan
etC

Y (t) = Δ×Y (t)

(SDL) : Y (t) = A×Y (t).hom

(SDL) : Y (t) = A×Y (t)+B
15
6
memb
1.2
.
V
.
ecteur
.
vitesse
.
et
.

et
.
.
.
.
.
T
.
.
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di?rentiel
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lin?aire.
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ram?tr?es.
.
17
.
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.
.
.
du
.
.
.
.
7
.
1.3
.
T
Equation

.
d'un
.
a
.
rc
D?nition
pa
.
ram?tr?.
.
.
.
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.
.
Retour
.
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syst?mes
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2.3.1
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2.3.2
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2.3.3
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fondamentales.
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1
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syt?mes
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17
.
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2.4.3
.
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.
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7
.
1.3.1
re.
Domaine
.
de
.
d?nition.
.
.
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.
.
.
2
.
13
.
syst?me
.
.
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.
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14
.
la
.
dans
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R?solution
.
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auxiliaire
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8
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1.3.2
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.
du
.
domaine
.
d'?tude.
.
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homog?ne
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initiale
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1.1
.
es
.
des
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Lien
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Equation
.
o
.
.
.
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8
.
1.3.3
.
T
.
ableau
.
de
.
va
sans
riation.
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18
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3
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11
.
Syst?me
.
lin?aire.
.
2.1
.
d'un
.
di?rentiel
.
.
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9
.
1.3.4
.

.
innies.
2.2
.
sur
.
diagonalisation
.
diagonalisation
.
.
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.
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2.3
.
des
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di?rentiels.
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16
.
L'?quation
.
.
.
.
9
.
1.3.5
.
P
.
oints
.
singuliers.
.
.
.
.
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16
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L'?quation
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.
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.
17
.
Resolution
16
equations
L'?quation
rdre
.
et
.
aux
.
di?rentiels.
D?nitions
.
5
.
pa
.
Courb
.
mati?res
.
able
.
.
.
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.
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.
.
.
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.
.
.
.
.
.
.
2.4
.
des
.
d'o
.
n
.
lien
.
syt?mes
10
.
1.4
.
Longueur
.
d'une
.

.
e.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2.4.1
.
aux
.
lin?aires.
.
.
.
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.
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2.4.2
.
di?rentielle
.

.
rdre.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
11
.
1.5
.
P
18
a
Equation
ram?trisation

p
re.
olaire.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2.4.4
.
avec
.
memb
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
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.
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.
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19
.
.4y = f (x)
(0,0) 1
p
2f (x) = 1−x .
p
2g(x) =− 1−x .
(0,0) r
2 2 2x +y = r
2 2yx + = 1. tr r
22cos (t)+sin (t) = 1.
t∈R ( (
x = cos(t) x = rcos(t)r =⇒ .y = sin(t) y = rsin(t)
r
r
(
x(t) = rcos(t)
.
y(t) = rsin(t)
t R t [0,2π]
le
fa?on,
p

utiliser
un
1.
nomb
T
re
pa
inni
du
de
l'on
fonction

!
p
P
ra
our
?rieure

?criture
rendre
t
le
ri
t
rcourt
yp
pas
e
our
d'?tude

attendue,

je
oints
vais
s'?crivent
traiter
l'on
dans
la
le

d?tail
ou
le
allons

rep
de
d'?tude.
la
?

lo
e
P
la

plus
p
simple
que
:

le


du
de
?tre

deuxi?me
ram?tr?es.
les
pa

es
on
Courb
inf?rieure,
1
obtenir
et

de
rtie
ra
obtenir
y
on
on
Mais
Chapitre
elle
a
pa

.

faire
rt?sienne
e
du
pa

du
est
p
l'?quation
appa
graphe
.
le
rque

d'une
d?ni
fonction
?tre
graphe
eut

p
?tre
de
eut

ne
qui
le
s'?crit
dire
aussi
p
on
out
r
Intro
y
Une
ra
e
exemple,
plan
de
eut
un
d?nie
e
fonction
de
une

Ainsi,
tous

p
la
du
P
de
a
y
r
doit
ailleurs,
on
on
rtie
sait
la
que
veut
p
Si
our
du
tout
sup
de
pa
r?el
que

eut
spirale,
ne
la
fa?on,

de
e,
Cette

s'app

l'?criture
Mais
?quation
ici.
ram?trique
rr?ter

s'a
Nous
ourrait
maintenant
p
l'?tude
on
yp
?a,
des
que
r?sentations
n'?tait
ram?triques.


Ainsi,
domaine
il
A
existe
rio
si
le
Bon,
rtient
deux.
graphe
tel
Mais
que
rema
faut
que
en
rsque
il
pa
mais
l'intervalle
fonction,
.
seule
a
d'une

la

fonction
et
?t?
.
5
L'?quation2π x(t) y(t) t
[0,2π]
(
x(t+π) = rcos(t+π) =−rcos(t) =−x(t)
y(t+π) =−y(t).
(x,y)→ (−x,−y) (x(t),y(t)) (x(t+π),y(t+π))
t→ t +π [0,π] [π,2π].
(x(t),y(t)) t∈ [π,2π] t∈ [0,π] (0,0)
[0,π]
(
x(π−t) =−x(t)
.
y(π−t) = y(t)

π πt → π− t 0, ,π
2 2
π πt∈ ,π t∈ 0,
2 2
π0, .
2
ππ0, 22 ′
x(t) y(t) x −r

y r 0
x r ց 0
′ ′ y 0 ր r
x (t) =−rsin(t) y (t) = rcos(t).
(1)
2I R R
t∈ I→ (x(t),y(t))
2I R R
t∈ I→ (x(t),y(t),z(t))
t t (x(t),y(t))
t
γ(t) = (x(t),y(t)) γ(t) = (x(t),y(t),z(t)) t γ(t)
t→ (cos(t),sin(t)) t7! (2cos(t),3sin(t))

21−t 2t
,
2 21+t 1+t
(cost,sint,t)
Lo
r
que
pa
l'on
donc
on

envoie
On
d?duit
fonctions.
dessinera
deux
?
des
qui
riation
un
va
pa
de
pa
tableau
d?duit
un
souvent
faisant
Donc
en
on
COURBES
la
t
1.
0
.
1.

CHAPITRE
sur
P
on
6
pa
0
sym?trie
-
donc
et
explicitement
ARAM?TR?ES.
pa
pa
dessiner
rcourue.
dessin?e

r?duire
+
P
fonctions
rema
des
rie,
rd

standa
e
?tude
pa
une
sur
eectue
l'intervalle
On
pa
.
r
3.
p
Graphe.
La
Enn

on
dessiner
eectue
un
le

graphe
dessin?e
sur
our
l'intervalle
temps
en
pa
suivant
ra?tra
les
rsque
va

riations.
On
Puis
p
on

utilise
our
les

sym?tries
.
identi?es
domaine
au
en
p
r
oint
rme
est
que
une
Ainsi

p
p
Or
our


la
la
ram?tr?e.


e
rmation
toute
p
enti?re.
p
1.1
l'application
D?nitions
l'intervalle
fondamentales.
Celle
Une
Ainsi,

dessin?e
e
rque
pa
.
ram?tr?e
p
du
une
plan
e
est
l'?tudier
une
eut
de

d?riv?e
p
.
intervalle

la
C'est
de
rationnelle
-p

dans
de
d'?tude
de
minimum
pa
l'intervalle
noter
sur
le
rdonn?es
et
o
le

ram?tre
des
n'appa
Etude
pas
tion.
lo
aria
l'on
v
des
de
es
u
ram?tr?es.
ablea
note
T
se
2.
our
Une
la

e
e
p
pa
p
ram?tr?e
e
de
la

ou
est
eut
application
le
d'un
d'?tude
intervalle
l'intervalle
?rio
.
de
a

ailleurs,
dans
l'intervalle
des
transfo

rque
o
.
rdonn?es
rsque
et
va
sur
le
e
oint

l'application
la
transfo
d'?tudier
une

e
se
est
eut

p
pa
on
Example
Donc
La
rdonn?es.
e
o
ram?tr?e
des
g?om?trique
l'axe
le
selon
oint
r?exion
le
Le
oint
r?el
Or
r
envoie
est
sur
app
est
el?

le
d?nie
pa
r
ram?tre,
la
on
e
p
pa
eut
que
si
rema

Enn,
imaginer
les
que
oints
pa
our
rep
est
r?sente
ellipse.
le

temps
donn?e
et
r
que
de
pa
se
r
p
rapp
e
o
la
rt
our
?
Donc
.
se
Donc
est
dessin?e
re


de
la
la
ram?trisation
p
du
osition
La
d'un
e
solide
ram?tr?e
en

mouvement.

En

pa
r
rticulier,
p
il
faut
application
d'un(x(t),y(t)) = (x ,y )+t(u ,v ).0 0 0 0
(x ,y ) (u ,v )0 0 0 0
′γ

′ ′ ′
γ (t) = x (t),y (t) .
′ ′
γ (t) = (0,0) x (t) = 0

y (t) = 0
y

γ (t )0
′′
γ (t )1
′′
γ (t )0 ′
γ (t )1
x
′′
γ (t) γ(t).
γ(t)

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