cours scond derge 2007

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Chapitre 3 : Polynôme du second degré a x² + b x + c ( a ≠ 0) 1) Transformation d’écriture Exemples : • x² - 2x + 1 = ( x – 1 )² • x² - 4 = ( x-2) ( x+2) • x² + 2x – 8 = ( x² + 2x + 1 ) – 1 – 8 = ( x+1)² - 9 = ( (x + 1 )-3) ( (x + 1) + 3 ) = ( x-2) ( x + 4 ) Cas général : b c b b c b b² -4ac ²ax²+bx+c = a[ x² + x + ]= a [ ( x + )² - + ] =a[( x + )² - ] : forme canonique (factorisée)  a a 2a 2a a 2a 4a² b b² -4ac = a( x + )² - : forme canonique 2a 4a 2) Discriminant ΔΔΔΔ = b² - 4ac est appelé discriminant du trinôme a x² + b x + c 3) Résolution de l’équation ax²+bx+c = 0 Trois cas se présentent : b• si ΔΔΔΔ = 0 alors a x² + b x + c = 0 admet une seule solution (appelée racine) : - 2a- b - Δ - b + Δ • si Δ > 0 alors a x² + b x + c = 0 admet deux racines réelles distinctes : x = et x = 1 22a 2a• si Δ < 0 alors a x² + b x + c = 0 n’admet aucune racine. exemple : résoudre 2 x² - x + 1 =0 : Δ = (-1)² - 4 *2*1 = 1-8 = -7 <0 donc n’admet aucune racine. -1+7 3 -1-7-2x² + x + 6 = 0 : Δ = 49 ; x1 = = - et x2 = = 2 2*(-2) 2 2*(-2) 4) Factorisation : b• si Δ = 0 alors a x² + b x + c = (x - )² 2a• si ΔΔΔΔ > 0 alors a x² + b x + c = a( x – x ) ( x – x ) : 1 2• si Δ < 0 alors a x² + b x + c ne peut pas se factoriser. 5) Signe d’un polynôme du second degré Exemple 1 : - 2 x ² - 2 x + 12 : Δ = (-2)² -4 x(-2)x12 = 10² > 0 - 2 x ² - 2 x + 12 = - 2 ( x + 3)( 4 – 2x )>0 x -3 2 −∞ +∞ -2 - - - x + 3 - 0 + ...
Publié le : vendredi 23 septembre 2011
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Chapitre 3 : Polynôme du second degré a x² + b x + c ( a0) 1) Transformationd’écriture Exemples : x² - 2x + 1 = ( x – 1 )² x² - 4 = ( x-2) ( x+2) x² + 2x – 8 = ( x² + 2x + 1 ) – 1 – 8 = ( x+1)² - 9 = ( (x + 1 )-3) ( (x + 1) + 3 ) = ( x-2) ( x + 4 ) Cas général : b cbb²c bb² -4ac ax²+bx+c = a[x² +x +]= a [ ( x +)² - =a[( x ++ ]] : forme canonique (factorisée))² -a a2a2a4a²a 2a b b²-4ac  =a( x +)² -: forme canonique 2a 4a 2) Discriminant Δ= b² - 4ac est appelé discriminant du trinôme a x² + b x + c 3) Résolutionde l’équation ax²+bx+c = 0 Trois cas se présentent : b siΔ= 0alors a x² + b x + c = 0 admet une seule solution (appelée racine) : -2a - b -Δb + -ΔsiΔ> 0alors a x² + b x + c = 0admet deux racines réelles distinctes :x1x= et2= 2a 2a siΔ< 0alors a x² + b x + c = 0 n’admet aucune racine. exemple : résoudre 2 x² - x + 1 =0 :Δ= (-1)² - 4 *2*1 = 1-8 = -7 <0 donc n’admet aucune racine. -1+7 3-1-7 -2x² + x + 6 = 0 :Δ= 49 ; x1 == 2= -et x2 = 2*(-2) 22*(-2) 4) Factorisation: b siΔ= 0alors a x² + b x + c = (x -2a siΔ> 0alors a x² + b x + c = a( x – x1) ( x – x2) :siΔ< 0alors a x² + b x + c ne peut pas se factoriser.
5) Signed’un polynôme du second degré Exemple 1 : - 2 x ² - 2 x + 12:Δ= (-2)² -4x(-2)x12 = 10² > 0- 2 x ² - 2 x + 12 = - 2 ( x + 3)( 4 – 2x )>0 x−∞-3 2+∞ -2 -- -x + 3- 0+ + 4 – 2 x+ +0 – 2 – 0 +0 – -2.x -2.x + 12 Cas général : siΔ> 0,on suppose que x1< x2x−∞x1x2+∞ 2 a x+ b x + csigne de a0 signede (-a)0 signede a Exemple 2 : P(x) = x² + 6 x + 9 :Δ=6² - 4x1x9 = 36 – 36 = 0 62 2 Donc P(x) admet une racine : -= -3 doncP(x) = ( x – (-3) )=( x + 3 ). 2 P(x) est donc toujours positif et s’annule en –3. b Cas général : siΔ= 0alors a x² + b x + c est du signe de a et s’annule en – 2a Exemple 3 : P(x) = x² + 2x + 3 :Δ= 2² - 4x3 = 4-12 = -8 < 0. 2 P(x) = ( x + 1 )+ 22 Donc P(x) > 0 Cas général :siΔ< 0alors a x² + b x + c est du signe de a. Application à la résolution d’inéquation : Exemple 1 : - 2 x ² - 2 x + 12< 0 S = ] – ; - 3[] 2 ; +[ Exemple 2 : P(x) = x² + 6 x + 90 S = { 3 } Exemple 3 : P(x) = x² + 2x + 3> 0 S = IR Récapitulatif : Signe de f ( x ) = a x² + b x + c ( a0 ) Δ> 0Δ= 0
Racines de f
Factorisation
Signe de f ( x )
– b –Δ– b +Δ x1= etx2=2a 2a
f ( x ) =a( x – x1) ( x – x2)
 x- x1 x2+signe signesigne signe 00 de f (x)de (- a )de ade a
b x0= – 2a
b f ( x )=a( x - x0) ² =a( x +) ² 2a
Δ< 0
Pas de racine
Pas de factorisation
 x- x0+x -+signe signesigne signe de ade signe 0  de f (x)f (x)a dede a
Racines de f
Factorisation
a > 0
6) Courbereprésentative de la fonction f(x) = ax²+bx+c Allure de la courbe avec fiche récapitulative : Δ> 0Δ= 0
– b –Δ– b +Δ x1x= et2=2a 2a
x’
f ( x ) =a( x – x1) ( x – x2)
x
b x0= – 2a
b f ( x )=a( x - x0) ² =a( x +) ² 2a
x’
x x’
Δ< 0
Pas de racine
Pas de factorisation
x x x12 0Signe de f ( x )+ 0– 0+ +0 ++ x’ x x’ x’ x a < 0 x0x1 x2Signe de f ( x )– 0+ 0– –0 –b Propriété: la courbe d’équation y =.a x² + b x + c est une parabole, dont l’abscisse du sommet est – 2a Exemples : tracer les courbes représentatives des fonctions définies par : f(x) = -2 x² - 2 x + 4 etg(x) = 0,5 x² - x –1,5
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