Cours-supelec0910-AnaFonct

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Mathematiques avancees : AnalysefonctionnelleAnnee 2009-2010Angela PasqualeRelectures et corrections par Philippe Bonneau Laboratoire de Mathematiques et Applications (LMAM), Universite PaulVerlaine { MetzE-mail address: bonneau@univ-metz.frTable des matieresIntroduction 51. Notations et rappels 6Chapitre 1. Operateurs et formes lineaires 91. Operateurs lineaires bornes 92. Dual topologique d’un espace vectoriel norme 103. Topologies faibles 14Chapitre 2. Operateurs compacts 171. Operateurs de Hilbert-Schmidt 19Chapitre 3. Theorie spectrale des operateurs compacts autoadjoints sur un espace deHilbert 25Bibliographie 293IntroductionL’analyse fonctionnelle est la partie de l’analyse qui etudie les espaces vectoriels de dimensionin nie sur R ou sur C ainsi que les applications lineaires sur ces espaces. Ce qui distinguel’analyse fonctionnelle de l’algebre lineaire est le r^ole important joue par la topologie. Sur1les espaces vectoriels de dimension nie toutes les normes sont equivalentes , donc ellesde nissent la m^eme topologie. En outre, toute application lineaire est automatiquementcontinue. Dans le cas de dimension in nie les choses ne sont pas aussi simples.Considerons par exemple l’espace C([0; 1]) des fonctions continues sur [0; 1] a valeurscomplexes, muni de la structure d’espace vectoriel complexe habituelle. Les normesZ1kfk := jf(x)j dx et kfk := sup jf(x)j1 10 x2[0;1]ne sont pas equivalentes sur C([0; ...
Publié le : samedi 24 septembre 2011
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Math´ematiquesavance´es:Analyse fonctionnelle Anne´e2009-2010
Angela Pasquale
Relectures et corrections par Philippe Bonneau
LaboratoiredeMathe´matiquesetApplications(LMAM),Universite´Paul Verlaine – Metz E-mail address:bonneau@univ-metz.fr
Tabledesmati`eres
Introduction 1. Notations et rappels Chapitre1.Op´erateursetformeslin´eaires 1.Op´erateursline´airesborne´s 2.Dualtopologiquedunespacevectorielnorm´e 3. Topologies faibles Chapitre2.Op´erateurscompacts 1.Op´erateursdeHilbert-Schmidt Chapitre3.Th´eoriespectraledesope´rateurscompactsautoadjointssurunespacede Hilbert Bibliographie
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Introduction
L’analyse fonctionnelleemsnedidoinesvespacielsctorte´iuqeseseleiduedtiaraplynaaeltles infinie surRou surCeugnitsiseseapec.seCuqdinslin´eairessurcleuqpasecilpoitaasiin lanalysefonctionnelledelalg`ebrelin´eaireestlerˆoleimportantjoue´parlatopologie.Sur lesespacesvectorielsdedimensionnietouteslesnormessont´equivalentes1, donc elles d´enissentlameˆmetopologie.Enoutre,touteapplicationlin´eaireestautomatiquement continue. Dans le cas de dimension infinie les choses ne sont pas aussi simples. Conside´ronsparexemplelespaceC([0,1]) des fonctions continues sur [0,a]l`av1rseu complexes, muni de la structure d’espace vectoriel complexe habituelle. Les normes 1 kfk1:=Z0xetkfk:=xs[u0,p1]|f(x)| |f(x)|d nesontpase´quivalentessurC([0,1,m])soaianlnie´agil´tekfk1≤ kfkpour toutfC([0,quertronuxdeesec1mruoP.)]valeequi,oncntesseenonmrap´sostnuiteelasd`eronsi de fonctions{fn}avecfn(x) :=xn. Alors 11 kfnk1=Z0xndx=+10 pourn→ ∞, n kfnk tout pour= 1n . Ainsi la suite{fn}crevnap0sevnoeegroptrrrpaa`k ∙ k1, mais elle ne converge pas uni-forme´mentvers0surlintervalle[0,1]. Sionconsid`eremaintenantlespaceX=C1([1,1]) des fonctions complexes de classe C1sur [1,1], muni de la normekfk= supx[1,1]|f(x)|, alors l’applicationT:XC de´nieparT(f) =f0(0) estC-lin´aire, mais pas continue. En effet, soit{fn}la suite de e fonctionsd´eniespourn1 par fn(x) = sin(n2x). n Alors{fn}vers0sur[grueinofmre´emtncveon1,1], maisT(fn) =nconverge verset pas versT(0) = 0.
1. On rappelle que deux normesk ∙ ketk ∙ k0sur un espace vectorielXsontivqu´esteenals’il existe deux constantesC >0 etC0>0 telles que pour toutxXon a Ckxk ≤ kxk0C0kxk. Cetteconditioneste´quivalente`alasuivante:Toutesuite{xn}inXconverge versxXpourk ∙ ksi et seulement si elle converge versxpourk ∙ k0. 5
1. Notations et rappels Dansceparagraphenouscommenc¸onsparintroduirelesnotationsquiserontemploye´es ensuiteetnousrappelonsbri`evementlesd´enitionsdespacesdeBanachetdeHilbert. Nousde´signeronsparN,Z,RetCles ensembles usuels de nombres. Ainsi,Rsera par exemplelensembledesnombresre´elsetCiulecbromsndelempcoesaLapex.s´reetreiunlled nombre complexezt´eeranoseeRz; la partie imaginaire dezotanersmIee´z. Onconside`redanscequisuitdesespacesvectorielssuruncorpsKqui seraRouC. Soit Xun espace vectoriel surK. UnenormesurXest applicationx7→ kxkdeXdans [0,[ quive´rielestroisconditionssuivantes: (1)kx+yk ≤ kxk+kykpour toutx, yX, (2)kλxk=|λ| kxkpour toutxXetλK, (3)kxk= 0 si et seulement six= 0. Un espace vectoriel muni d’une norme est dit unspacevecemre´otirleon. Exemple1 (Exemples en dimension finie).Pour toutx= (x1, x2, ..., xn)Knon pose : (1)kxk:= supi=1,...,n|xi|, (2)kxkp:= (Pin=1|xi|p)1/p(pourp1 ; pourp=,2noerrtuoevalnormeassoci´eeau produit scalaire euclidien ou hermitien usuel). Les applicationsk ∙ ketk ∙ kpsont des normes surKn. Exemple2 (Exemples en dimension infinie).(1) SoitXun ensemble non vide,M une tribu surXuressmlembseenesnnete)selba´emes´elntle(doe´lspplenoattnss soitµune mesure surM. Deux fonctions mesurables surXurscomplexesa`avel sontditese´quivalentes(etparlasuiteidentie´es)lorsqueellessontpresquepartout e´gales.Pour1p <+, l’espaceLp(X,M, µ) est l’espace vectoriel des (classes d´equivalencedes)fonctionsf:XCbalseelssesrruueemsumstanpeeci,d´er´e (X,M, µ) et pour lesquelles ZXµ1/p<. kfkp:=|f|pd Icikfkpade´isnglenormeLpdef. Suivant le contexte, les symbolesMetµpeuvent etre sous-entendus dans la notationLp(X,M, µon);sacecsnadarirce´Lp(X). ˆ (2) Soit (X,M, µapecemus)nuseutqfoune.r´diOnaruselbitcnemnof:XC estbontmelee´erneleitnesss’il existe un presque majorant de|f|,c-tsed-a`uerien constanteC0 telle que|f(x)| ≤Cesquetout´el´emeoprunrtpxX. Dans cecas,onde´nitlabornesupe´rieureessentiellesupess|f|comme l’inf des presque majorants. L’espaceL(X,M, µroeentablnteseeulctnenopiss´cda)es(classes d´equivalencede)fonctionsessentiellementborn´ees(larelationd´equivalencee´tant le´galite´presquepartout).Ilestmunidelanormekfk:= sup ess|f|. Unespacevectorielnorme´estunespacem´etriqueparrapporta`ladistanced(x, y) := kxyk. Une suite (xn)tediquristeeecapte´msnadsenusuite de Cauchysi pour tout >0 il existe unNNtel que pour tout > Nn, mon ad(xn, xm)< eriqu´mteapecnUse.X est ditcompletsi toute suite de Cauchy deXa une limite dansX. Unespace de Banach estunespacevectorielnorme´completpourladistanceissuedesanorme. 6
Exemple3.sesenodttes2el1sxempdesem´essnoresdcepapaessvcetoecelriseL Banach. PourλKtine´dnoλcenjugu´edommelecoλsiK=Cet commeλsiK=R. SoitX un espace vectoriel surK. Unproduit scalairesurXest une applicationh∙,∙i:X×XK i´ielesproprie´t´essuivantespourtoutx, y, x0Xetλ, µK: qu ver (1)hλx+µx0, yi=λhx, yi+µhx0, yi, (2)hx, yi=hy, xi (3)hx, xi ≥0 , (4)hx, xi= 0 si et seulement six= 0 . Unespace de Hilbertest un espace de BanachXdont la normek ∙ kdeupnoruddtei´oclu scalaireh∙,∙ipar la formulekxk=phx, xipour toutxX. Exemple4.Les espaces de Banach des exemples 1 et 2 sont des espaces de Hilbert pour p= 2. Les produits scalaires sont n hx, yi:=Xxjyj, j=1 hf=ZX(x)g(x)d , gi:f µ(x)
pourKn, et pourL2(X).
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