Cours sur l'espace de probabilité, indépendance et probabilité conditionnelle

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Chapter 2Espace de probabilit´e, ind´ependance etprobabilit´e conditionnelleSommaire2.1 Tribu et ´ev´enements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Probabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Premi`eres propri´et´es utiles pour les calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4 Ind´ependance d’´ev´enements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5 Probabilit´e conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Objectifs:• Mod´eliser une exp´erience al´eatoire, c’est-a`-dire construire un espace Ω des issues possibles (un univers) del’exp´erience al´eatoire, et le munir d’un outil (une probabilit´e) permettant de mesurer la chance d’obtenir parcette exp´erience un r´esultat donn´e, ou un ensemble de r´esultats donn´es.• Formaliser la notion d’ind´ependance entre deux ´ev´enements, et introduire la notion de probabilit´e conditionnelle.Mots-cl´es:• ensemble d´enombrable.• univers, tribu, probabilit´e, espace de probabilit´e.• ´ev´enement, ´ev´enement ´el´ementaire, ´ev´enements disjoints.• ind´ependance, probabilit´e conditionnelle.Outils:• formule d’inclusion-exclusion, formule des probabilit´es totales, formule de Bayes.• axiomes et propri´et´es d’une probabilit´e.Techniques de d´emonstration: Proc´ed´e de la ...
Publié le : samedi 24 septembre 2011
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Chapter 2
Espace de probabilit´e, ind´ependance et
probabilit´e conditionnelle
Sommaire
2.1 Tribu et ´ev´enements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Probabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Premi`eres propri´et´es utiles pour les calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Ind´ependance d’´ev´enements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5 Probabilit´e conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Objectifs:
• Mod´eliser une exp´erience al´eatoire, c’est-a`-dire construire un espace Ω des issues possibles (un univers) de
l’exp´erience al´eatoire, et le munir d’un outil (une probabilit´e) permettant de mesurer la chance d’obtenir par
cette exp´erience un r´esultat donn´e, ou un ensemble de r´esultats donn´es.
• Formaliser la notion d’ind´ependance entre deux ´ev´enements, et introduire la notion de probabilit´e conditionnelle.
Mots-cl´es:
• ensemble d´enombrable.
• univers, tribu, probabilit´e, espace de probabilit´e.
• ´ev´enement, ´ev´enement ´el´ementaire, ´ev´enements disjoints.
• ind´ependance, probabilit´e conditionnelle.
Outils:
• formule d’inclusion-exclusion, formule des probabilit´es totales, formule de Bayes.
• axiomes et propri´et´es d’une probabilit´e.
Techniques de d´emonstration: Proc´ed´e de la diagonale de Cantor.6
6
Pour mod´eliser une exp´erience al´eatoire, on introduit un espace de probabilit´e (Ω,F,P) compos´e de trois
´el´ements: un ensemble Ω, appel´e univers, une famille F de parties de Ω qui doit v´erifier un certain nombre
de propri´et´es et qu’on appellera une tribu, et enfin une probabilit´e, que l’on va aussi d´efinir.
BExemple: lancer d’un d´e a` six faces non truqu´e. On mod´elise cette exp´erience par l’univers Ω ={1,2,3,4,5,6},
1muni de la probabilit´e uniforme P({1}) = P({2}) = P({3}) = P({4}) = P({5}) = P({6}) = . Ceci permet de
6
1calculer par exempleP(r´esultat divisible par trois) =P({3,6})= .
3
On voudrait g´en´eraliser ce cas que vous connaissez bien (le cas fini ´equiprobable) pour pouvoir consid´erer des
exp´eriences al´eatoires plus g´en´erales.
Pr´eliminaires: d´enombrabilit´e
D´efinition 2.1 Un ensemble E est dit d´enombrable si et seulement si on peut trouver une bijection entre E etN.
Remarque: une bijection de N dans E est appel´ee une ´enum´eration des ´el´ements de E. Autrement dit, un
ensemble est d´enombrable si on peut num´eroter ses ´el´ements avec les entiers naturels.
B Exemple: N,Z sont d´enombrables.
Proposition 2.2 i) Toute partie d’un ensemble d´enombrable est finie ou d´enombrable.
ii) Un produit cart´esien fini de N ensembles finis ou d´enombrables est fini ou d´enombrable.
iii) Une union finie ou d´enombrable d’ensembles finis ou d´enombrables est finie ou d´enombrable.
D´emonstration: On admet ces propri´et´es.
p
B Exemple: N ,Q sont d´enombrables.
NProposition 2.3 {0,1} n’est pas d´enombrable.
D´emonstration: On utilise le proc´ed´e de la diagonale de Cantor. Raisonnons par l’absurde et
N Nsupposons que{0,1} est d´enombrable. On peut donc num´eroter ses ´el´ements{0,1} ={x ,x ,...}.0 1
NUn point de{0,1} est une suite de 0 et de 1: on note ainsi, pour tout i∈N,
x = (x ,x ,...) = (x ) .i i,0 i,1 i,j j∈N
NOn va maintenant construire un ´el´ement y = (y ) de {0,1} diff´erent de tout les x : on posej j∈N i(
0 si x = 1j,j∀j∈N, y =j
1 si x = 0j,j
NSoit i ∈ N: par construction, y = x , donc y = x ; cependant, y ∈ {0,1} . Ceci contredit donci i,i i
N{0,1} ={x ,x ,...}. 0 1
B Exemple: P(N),R ne sont pas d´enombrables.
142.1 Tribu et ´ev´enements
D´efinition 2.4 Soit Ω un ensemble. Une familleF de parties de Ω est appel´ee une tribu si elle v´erifie les propri´et´es
suivantes:
i) Ω est un ´el´ement de F,
cii) (stabilit´e par compl´ementaire) Si A est un ´el´ement de F, alors A est un ´el´ement de F,[
iii) (stabilit´e par union d´enombrable) Si les (A ) sont des ´el´ements de F, alors A est un ´el´ement de F.i i∈N i
i∈N
Remarque: Ce qui est important dans iii), c’est qu’on consid`ere une famille d´enombrable de parties de Ω, et non
pas une famille quelconque.
♠ Attention! une tribu sur Ω est un ensemble dont les ´el´ements sont des parties de l’ensemble Ω.
♣ Exercice: Soit Ω un ensemble muni d’une tribuF, et soit A et B deux ´el´ements deF.
Que sont A et B pour Ω?
Montrer que A∪B et A∩B sont des ´el´ements de F.
D´efinition 2.5 Soit Ω un ensemble muni d’une tribu F. Les ´el´ements de F sont appel´es des ´ev´enements.
Remarque: Remarquons que pour tout ensemble Ω, l’ensembleP(Ω) des parties de Ω est une tribu. Dans le cas
ou` Ω est fini ou d´enombrable, on prendra toujours comme tribu sur Ω la tribu F = P(Ω). Par contre, ce choix
est impossible quand on consid`ere un univers plus gros (c’est-`a-dire non d´enombrable) commeR (voir le cours de
licence 3`eme ann´ee). Dans ce cours, on ne s’attardera pas sur les tribus. Il est par contre important de retenir
quelles sont les op´erations permises a` l’int´erieur d’une tribu.
♣Exercice: Lancerd’un d´e`a 6 faces. Donner l’univers correspondantetl’´ev´enement”le r´esultatobtenuest pair”.
Proposition 2.6 Soit Ω un ensemble muni d’une tribu F.
i) ∅ est dans F, \
ii) (stabilit´e par intersection d´enombrable) Si les (A ) sont des ´el´ements deF, alors A est un ´el´ement deF.i i∈‘N i
i∈N
D´emonstration: Ces propri´et´es se d´eduisent des axiomes de la tribu en passant au compl´ementaire.
ci)∅ = Ω et Ω∈F, donc∅∈F. !c\ [ [ \
c c cii) A = A . Pour tout i ∈ N, A ∈ F, donc A ∈ F, donc A ∈ F et donc A =i i ii i i
i∈N i∈N i∈N i∈N !c[
cA ∈F. i
i∈N
♣ Exercice: Jeu de cartes. Consid´erons un jeu de 5 cartes num´erot´ees de 1 `a 5.
1. Premi`ere exp´erience al´eatoire: je pioche une carte et je rel`eve son num´ero. Donner l’univers correspondant,
et la partie correspondant a` l’´ev´enement “le r´esultat obtenu est strictement plus grand que 3”.
2. Deuxi`eme exp´erience al´eatoire: je pioche une premi`ere carte, et, sans la remettre, j’en pioche une deuxi`eme;
je rel`eve, dans l’ordre, les deux num´eros obtenus. Donner l’univers correspondant, et la partie correspondant
a` l’´ev´enement “la deuxi`eme carte a un num´ero plus grand que la premi`ere”.
3. Troisi`emeexp´erienceal´eatoire: jepiochedeuxcartesenmˆemetemps, etjerel`eve,sansordre,lesdeuxnum´eros
obtenus. Donner l’univers correspondant, et la partie correspondant a` l’´ev´enement “les deux num´eros sont
sup´erieurs ou ´egaux a` 3”.
154. Quatri`eme exp´erience al´eatoire: je pioche une premi`ere carte, et, apr`es l’avoir remise, j’en pioche une
deuxi`eme; je rel`eve, dans l’ordre, les deux num´eros obtenus. Donner l’univers correspondant, et la partie
correspondant `a l’´ev´enement “la deuxi`eme carte a un num´ero plus grand que la premi`ere”.
♠ Attention! Bien remarquer les diff´erences entre les trois derni`eres exp´eriences: avec ou sans remise, ordonn´ee
ou non. Profitons-en pour rappeler la diff´erence entre un couple et une paire: un couple se note entre parenth`eses,
et ses´el´ementssontordonn´es. Ainsi (2,7)et (7,2)sont deux couples diff´erents. Parcontre, une paire est une partie
a` deux ´el´ements non ordonn´ee: il n’y a qu’un seule paire compos´ee des ´el´ements 7 et 2, qu’on note entre accolades
de la fac¸on suivante: {2,7}.
2.2 Probabilit´e
D´efinition 2.7 Soit Ω un ensemble muni d’une tribu F. Une probabilit´e P sur (Ω,F) est une application de F
dans [0,1] v´erifiant les propri´et´es suivantes:
i) P(Ω) = 1,
ii) (σ-additivit´e) Si les (A ) sont des ´el´ements de F deux-a`-deux disjoints, alorsi i∈N ![ X
P A = P(A ).i i
i∈N i∈N
D´efinition 2.8 Le triplet (Ω,F,P) est alors appel´e un espace de probabilit´e.
♠ Attention! Attention aux objet manipul´es: une probabilit´e est une application, qui s’applique `a un ´ev´enement,
c’est-a`-dire `a une partie de Ω, et qui donne en r´esultat un nombre dans [0,1].
Remarque: 1. Les propri´et´es i) et ii) sont des axiomes. On a d´ecid´e qu’une probabilit´e satisfaisait par d´efinition
ces deux propri´et´es. Quandon dit ”soitP une probabilit´e...”, ces deux propri´et´essontautomatiquement satisfaites,
on n’aura pas a` les d´emontrer.
2. Pourquoi a-t-on choisi ces deux propri´et´es pour la d´efinition d’une probabilit´e? Tout d’abord, remarquons
qu’elle sont assez intuitives:
• P(Ω) = 1 signifie intuitivement qu’Ω d´ecrit bien tout les r´esultats possibles de l’exp´erience al´eatoire, qu’ ”on
ne peut pas tomber a` l’ext´erieur de Ω”.
• Quant a` la deuxi`eme propri´et´e, pensons au cas de deux ´ev´enements A et B disjoints: il semble naturel que
la probabilit´e ait une propri´et´e d’additivit´e du typeP(A∪B) =P(A)+P(B). Cependant, l’additivit´e pour
deux parties disjointes ne suffit pas `a donner la σ-additivit´e, on a donc pr´ef´er´eprendre la σ-additivit´e comme
axiome.
• Cesdeuxpropri´et´essonta`lafoissuffisantespourpouvoirfairedescalculs, etsuffisammentpeucontraignantes
pour ˆetre satisfaites dans des cas tr`es diff´erents. Elles constituent donc un bon compromis.
3. Les ´el´ements de la tribu sont les parties de l’univers auxquelles on peut attribuer un nombre – la probabilit´e
qu’`a cet ensemble d’issues possibles de se r´ealiser – avec l’application probabilit´e. Nous allons maintenant lister les
propri´et´es utiles pour les calculs pratiques: elles se d´eduisent toutes des axiomes d´efinissant une probabilit´e.
2.3 Premi`eres propri´et´es utiles pour les calculs
Soit (Ω,F,P) un espace de probabilit´e. La seule chose qu’on sait, c’est que P satisfait les deux axiomes de la
d´efinition d’une probabilit´e. On va voir qu’a` partir de ces deux axiomes, on peut d´emontrer une liste de propri´et´es
tr`es utiles pour les calculs:
16Proposition 2.9 Soit (Ω,F,P) un espace de probabilit´e.
i) P(∅) = 0,
ii) si A et B sont deux ´ev´enements disjoints, alors P(A∪B) =P(A)+P(B).
iii) (Additivit´e finie) Si A ,A ,...,A sont des ´ev´enements deux-a`-deux disjoints, alors1 2 n !
n n[ X
P A = P(A ).i i
i=1 i=1
civ) si A est dans F, alors P(A ) = 1−P(A),
v) si A et B sont deux ´el´ements de F tels que A⊂B, alors P(A)≤P(B).
vi) (Formule d’inclusion-exclusion) Si A et B sont deux ´el´ements de F, alors
P(A∪B) =P(A)+P(B)−P(A∩B).
D´emonstration: i) Onapplique le ii) de la d´efinitiona` la famille d’´ev´enementsdisjoints (Ω,∅,∅,...):
∞X
1 =P(Ω) =P(Ω)+ P(∅).
i=1
SiP(∅)> 0, la somme `a droite est infinie, ce qui est absurde. DoncP(∅) = 0.
Remarque: Mˆeme si cette propri´et´e semble ´evidente, remarquons qu’elle ne fait pas partie des
axiomes d’une probabilit´e, et qu’on l’a bien d´emontr´ee a` partir des deux axiomes de la probabilit´e.
ii) On applique le ii) de la d´efinition `a la famille d’´ev´enements disjoints (A,B,∅,∅,...):
P(A∪B) =P(A)+P(B)+0+0+...,
graˆce a` la propri´et´e pr´ec´edente.
iii)♣ Exercice: D´emontrer cette propri´et´e.
c c civ)Onappliquelapropri´et´eii)a`lafamilled’´ev´enementsdisjoints(A,A ): P(A)+P(A ) =P(A∪A ) =
P(Ω) = 1 d’apr`es le i) de la d´efinition.
cv) Soit A et B deux ´ev´enements tels que A⊂ B. Comme B = (B∩A)∪(B∩A ), avec (B∩A)∩
c c(B∩A )⊂A∩A =∅, on peut appliquer la propri´et´e ii):
c cP(B) = P(B∩A)+P(B∩A ) orP(B∩A )≥ 0
≥ P(B∩A) =P(A)
car A⊂B.
c cvi) On ´ecrit A∪B comme la r´eunion disjointe de A∩B , A∩B et B∩A (v´erifier et faire un dessin),
cet on remarque que A est la r´euniondisjointe de A∩B et A∩B, tandis que B est la r´eunion disjointe
cde A∩B et B∩A . On obtient donc:
c cP(A∪B) = P(A∩B )+P(A∩B)+P(B∩A )
c c= (P(A∩B )+P(A∩B))+(P(A∩B)+P(B∩A ))−P(A∩B)
= P(A)+P(B)−P(A∩B).

Une des id´ees de base du calcul des probabilit´es est de d´ecouper les ´ev´enements en ´ev´enements plus petits dont
on connaˆıt mieux la probabilit´e. Ceci est formalis´e par la formule des probabilit´es totales, qui g´en´eralise le principe
de partition:
176
Proposition 2.10 Soit (Ω,F,P) un espace de probabilit´e, et soit (A ) un syst`eme complet, c’est-a`-dire unei i∈I
famille finie ou d´enombrable d’´el´ements de F telle que[
• A = Ω,i
i∈I
• si i,j∈I et i =j, alors A ∩A =∅.i j
Alors pour tout ´ev´enement B ∈F, on a: X
P(B) = P(B∩A ).i
i∈I[
D´emonstration: Faire un dessin. Comme A = Ω,i
i∈I [ [
B =B∩Ω = B∩ A = (B∩A ).i i
i∈I i∈I
Comme les (A ) sont deux-a`-deux disjoints, les (B∩A ) sont a fortiori deux-`a-deux disjoints.i i∈I i i∈I
Comme I est fini ou d´enombrable, le deuxi`eme axiome de la d´efinition d’une probabilit´e assure que ![ X
P(B) =P (B∩A ) = P(B∩A ).i i
i∈I i∈I
Noter l’importance du fait que I soit fini ou d´enombrable pour pouvoir appliquer l’axiome.
Remarque: un cas particulier tr`es utile dans la pratique:
c
P(B) =P(B∩A)+P(B∩A ).
2.4 Ind´ependance d’´ev´enements
Jetireunecarteauhasarddansunjeude32cartes. Jeconsid`ereles3´ev´enementssuivants: A ={la carte tir´ee est rouge},
B ={la carte tir´ee est un coeur} et C ={la carte tir´ee est un roi}. Savoir que C est r´ealis´e ne me donne a priori
aucune indication quant au fait que cette carte soit un coeur. Par contre, si je sais que A est r´ealis´e, je sais que
j’ai ’plus de chance’ d’avoir tir´e un coeur.
Nous allons formaliser ces r´eponses intuitives. Soit (Ω,F,P) un espace de probabilit´e.
D´efinition 2.11 Soit A et B deux ´ev´enements. On dit que A et B sont ind´ependants si et seulement si
P(A∩B) =P(A)P(B).
B Exemple: Reprenons notre exemple du jeu de 32 cartes.
P(B∩C) = P(la carte tir´ee est le roi de coeur) = 1/32
P(B)P(C) = (8/32)×(4/32)= 1/32.
Donc B et C sont ind´ependants.
P(A∩B) = P(la carte tir´ee est un coeur) = 8/32= 1/4
P(A)P(B) = (16/32)×(8/32)= 1/8.
Donc A et B ne sont pas ind´ependants.
186
♠ Attention! Ne pas confondre des ´ev´enements ind´ependants et des ´ev´enements disjoints!! Par exemple, A et
c cA sont disjoints et ne sont pas ind´ependants en g´en´eral: si on sait que A est r´ealis´e, on est suˆr que A n’est pas
r´ealis´e.
cP(A∩A ) = P(∅) = 0
cP(A)P(A ) = P(A)×(1−P(A)) = 0 en g´en´eral.
♠ Attention! Soit Ω un ensemble muni d’une tribu F et de deux probabilit´es P et P . Soit A et B deux1 2
´evenements. Alors l’ind´ependance de A et B d´epend de la probabilit´e consid´er´ee. On poourrait imaginer un cas
ou` A et B sont ind´ependants pourP mais pas pourP . Donner un exemple pour Ω ={a,b,c}.1 2
♣ Exercice: Soit (Ω,F,P) un espace de probabilit´e.
1. Montrer que ∅ est ind´ependant de n’importe quel ´ev´enement A ∈ F. Montrer que Ω est ind´ependant de
n’importe quel ´ev´enement A∈F.
c c2. Soit A et B deux ´ev´enements ind´ependants. On noteA ={∅,A,A ,Ω}, etB ={∅,B,B ,Ω}. Montrer que tout
´el´ement de A est ind´ependant de tout ´el´ement de B.
La notion d’ind´ependance s’´etend aux familles de plusieurs ´ev´enements de la mani`ere suivante:
D´efinition 2.12 Soit (A ) une famille d’´ev´enements. On dit que les (A ) sont mutuellement ind´ependantsi i∈I i i∈I
si et seulement si pour tout k≥ 2, pour toute famille (i ,i ,...,i ) d’´el´ements de I deux-a`-deux distincts,1 2 k \ Y P A = P(A ).i ij j
1≤j≤k 1≤j≤k
♠ Attention! Si les (A ) sont mutuellement ind´ependants, alors ils sont ind´ependants deux par deux. Lai i∈I
r´eciproque est fausse.
♣Exercice: Onconsid`eredeuxlancersdepileoufacesuccessifs. V´erifierqueles´ev´enements{PP,PF},{PP,FP}
et{PF,FP} fournissent un contre-exemple.
♣ Exercice: Un circuit ´electrique est form´e de 3 composants, qui ont respectivement des probabilit´es d’ˆetre en
pannep ,p etp . Onsupposequelespannesdes diff´erentscomposantssontind´ependantes. Calculerlaprobabilit´e1 2 3
que le circuit soit en panne dans chacun des cas suivants:
1. Les 3 composants sont mont´es en s´erie.
2. Les trois composants sont mont´es en parall`ele.
3. Deux sont en parall`ele, et le troisi`eme en s´erie avec ce groupe de deux.
2.5 Probabilit´e conditionnelle
Sur une population de 27 malades, on donne a` dix malades un nouveau m´edicament et aux dix-sept autres un
placebo. Parmi les dix malades ayant rec¸u le m´edicament, sept d´eclarent avoir senti une am´elioration, et huit,
parmi ceux ayant rec¸u le placebo, ressentent aussi un mieux.
Un univers adapt´e a` cette exp´erience peut-ˆetre le suivant: a` chacun des 27 malades, j’associe une lettre, M ou P,
suivant s’il a rec¸u le m´edicament ou le plac´ebo, et un signe, + ou− suivant s’il a ressenti une am´eliorationou non.
L’ensemble Ω ={(M,+),(M,−),(P,+),(P,−)} rassemble toutes les configurations possibles, et on va attribuer a`
chaque ´ev´enement ´el´ementaire de Ω une probabilit´e traduisant le r´esultat du test:
10−7 3 7 17−8 9 8
P(M,−)= = , P(M,+)= , P(P,−) = = etP(P,+) = .
27 27 27 27 27 27
19On peut par exemple calculer la proportion de personnes ayant constat´e une am´elioration, c’est-`a-dire calculer la
probabilit´e:
7+8 15
P(+) = = .
27 27
Mais dans cette proportion, on ne prend pas en compte le fait que certains ont eu un placebo, d’autre le
m´edicament. On a plutoˆt envie de calculer, parmi les gens qui ont rec¸u le m´edicament, la proportion de ceux qui
ont senti une am´elioration, et de la comparer avec la proportion correspondante chez ceux ayant rec¸u le placebo:
P(M,+) 7/27 P(P,+) 8/27
P(+|M) = = = 0.7 etP(+|P)= = = 0.47.
P(M) 10/27 P(P) 17/27
On peut donc conclure que le m´edicament est plus efficace que le placebo.
Il est donc naturel d’introduire la d´efinition suivante. Soit (Ω,F,P) un espace de probabilit´e.
D´efinition 2.13 Soit A et B deux ´ev´enements tels que P(B) > 0. On appelle probabilit´e conditionnelle de A
sachant B la grandeur suivante:
P(A∩B)
P(A|B) = .
P(B)
B Exemple: on pioche au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes non truqu´e.
1/32 1 8/32 1
P(coeur|dame) = = etP(coeur|rouge) = = .
4/32 4 16/32 2
♣ Exercice: V´erifier queP(.|B) est une nouvelle probabilit´e sur (Ω,F).
Remarque: On peut consid´erer les choses de la fac¸on suivante: la probabilit´e P contient tout l’information
disponible sur l’exp´erience al´eatoire d´ecrite. Une fois que B est r´ealis´e, on a davantage d’information: il est donc
naturel de changer de probabilit´e en prenantP(.|B) afin de prendre en compte l’information suppl´ementaire.
On peut caract´eriser l’ind´ependance de deux ´ev´enements `a l’aide des probabilit´es conditionnelles.
Proposition 2.14 Soit (Ω,F,P) un espace de probabilit´e. Soit A et B deux ´ev´enements tels que P(A) > 0 et
P(B) > 0. Alors
A et B sont ind´ependants⇔P(A|B) =P(A)⇔P(B|A) =P(B)
♣ Exercice: Faire la d´emonstration.
Les deux propositions suivantes sont particuli`erement utiles dans les calculs.
Proposition 2.15 Soit (Ω,F,P) un espace de probabilit´e. Soit A et B deux ´ev´enements tels que P(A) > 0 et
P(B) > 0. Alors
P(A)
P(A|B) = P(B|A).
P(B)
♣ Exercice: Faire la d´emonstration.
Proposition 2.16 (Formule de Bayes) Soit (Ω,F,P) un espace de probabilit´e. Soit (B ) une famille finie oui i∈I
d´enombrable d’´ev´enements tels que
• les (B ) sont deux-a`-deux disjoints,i i∈I
• ∪ B = Ω,i∈I i
• ∀i∈I, P(B )> 0.i
Soit alors A un ´ev´enement. On a: X
P(A) = P(A|B )P(B ).i i
i∈N
20♣ Exercice: Faire la d´emonstration. Pourquoi a-t-on pris une famille finie ou d´enombrable de B ?i
♣ Exercice: deux usines A et B fabriquent des trottinettes. L’usine A fabrique deux fois plus de trottinettes que
l’usine B. Les trottinettes provenant de l’usine A ont dans 5% des cas un d´efaut, alors que celles provenant de
l’usine B ont dans 2% des cas un d´efaut. Je viens d’acheter une trottinette pour Th´eodule, laquelle se r´ev`ele ˆetre
d´efectueuse. Quelle est la probabilit´e qu’elle provienne de l’usine A?
♣♣ Exercice: Reprendre l’exercice avec le circuit ´electrique. Calculer, dans chacun des trois cas, la probabilit´e
que le composant 1 soit en panne sachant que le circuit ne fonctionne pas.
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