Cours sur la loi faible et forte des grands nombres

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Chapter 6Th´eor`emes LimiteSommaire6.1 Lois faible et forte des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.2 Initiation `a l’estimation statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.3 Th´eor`eme Central Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.4 Approximation normale de la loi Binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.5 Application aux statistiques : intervalle de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Objectifs :• Comprendre l’´enonc´e de la loi forte des grands nombres• Comprendre et savoir utiliser le th´eor`eme central limite dans des probl`emes d’approximation et de calculd’intervalles de confiance.6.1 Lois faible et forte des grands nombresSupposons que l’on observe plusieurs fois une certaine quantit´e al´eatoire : on consid`ere une suite (X ) den n≥1variables al´eatoires ind´ependantes et identiquement distribu´ees, a` valeurs dans R. On suppose ces variables de2carr´e int´egrable, c’est-`a-dire E[X ] < +∞. La valeur moyenne sur les n premi`eres observations, ou moyenne1empirique, se d´efinit par :nX1¯X = X .n ini=1Remarquons (en utilisant le fait que les (X ) ont toutes la mˆeme loi et sont ind´ependantes) quen n≥1nX1¯E(X ) = E(X ) =E(X ) ;n i 1ni=1   !2n n X X 1 12¯ ¯ ¯  var(X ) = E X −E(X ) =E X − E(X )n n n i in ni=1 i=1   !2n n X X X1 1 2 ...
Publié le : vendredi 23 septembre 2011
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