cours sur les anneaux de polynomes

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Chapitre 3Anneaux de polynˆomes3.1 Crit`eres d’irr´eductibilit´eD´efinition 3.1.1. Soit A un anneau commutatif int`egre. Un polynˆomeP 2A[X] est primitif si et seulement si 1 est PGCD de ses coefficients (lescoefficients sont premiers entre eux dans leur ensemble).On noteQ(A) le corps des fractions de A. L’anneau A[X] est (isomorphe a)`un sous-anneau deQ(A)[X]Proposition 3.1.2. Soit P 2 A[X] un polynˆ ome non constant (de degr´esup´erieur ou ´egal `a 1).1. Si P est irr´eductible dans A[X], alors il est primitif.2. Si P est primitif et irr´eductible dans Q(A)[X], alors il est irr´eductibledans A[X].R´eduction des coefficientsProposition 3.1.3. SoitI un id´eal dans l’anneau commutatifA, etJ l’id´ealengendr´e par I dans A[X]. La surjection canonique :A!A=I s’´etend enun morphisme d’anneau :Π : A[X] ! A=I[X]X Xk k ;P = a X 7! a Xk kk ket induit un isomorphisme : A[X]=J A=I[X].L’imageΠ(P)estappel´eelar´eductiondeP moduloI.Lecoefficientdominantd’un polynˆome P est le coefficient de plus haut degr´e.20Corollaire 3.1.4. Si I est un id´eal premier de A, alors J = (I) est un id´ealpremier dans A[X].Proposition 3.1.5. Soit P 2 A[X] un polynˆ ome primitif non constant,et I un id´eal premier qui ne contient pas le coefficient dominant de P.Si la r´eduction de P modulo I est irr´eductible dans A=I[X], alors P estirr´eductible dans A[X].3.2 Factorialit´e des anneaux de polynˆomesD´efinition 3.2.1. Soit A un anneau factoriel. On appelle contenu deP 2A[X] un PGCD de ...
Publié le : samedi 24 septembre 2011
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Chapitre
Anneaux
3.1
3
de
polynoˆmes
Crit`eresdirr´eductibilite´
De´nition3.1.1.SoitAnnaeuanumatcumo`entfitipoUne.gremoˆnyl PA[X] est primitif si et seulement si 1 est PGCD de ses coefficients (les coefficients sont premiers entre eux dans leur ensemble).
On noteQ(A) le corps des fractions deA. L’anneauA[Xi(tsomosehpr)a`]e un sousanneau deQ(A)[X]
Proposition 3.1.2.SoitPA[X]ˆnylopnuocnonemont(dnstar´eedeg supe´rieuroue´gala`1). 1. SiPdalensdu´eibctserritA[X], alors il est primitif. 2. SiPsanedblticude´rritefitimiestprQ(A)[X]ibleductrre´seitsrlia,ol dansA[X].
R´eductiondescoecients Proposition 3.1.3.SoitIunadlae´diennalsnaucommutatifA, etJli´dael engendr´eparIdansA[X]. La surjection canoniqueπ:AA/I´tesnende un morphisme d’anneau :
Π :A[X] X k P=akX k
A/I[X] X k , akX k
et induit un isomorphisme :A[X]/JA/I[X].
L’image Π(Peadprs´tlla´peeedeont)ieucPmoduloI. Le coefficient dominant dunpolynˆomePltceseedtue´rg.coentiepldehaus
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Corollaire 3.1.4.SiIidunsteempral´eeeidrA, alorsJ= (I)unidest´eal premier dansA[X]. Proposition 3.1.5.SoitPA[X]ˆoynolnpunocnonfitimirpemstant, etIcolecieentiastpdtnaedtnenimounid´eauqnicenoplerimreP. Silare´ductiondePmoduloIdelbitcusnaer´edstirA/I[X], alorsPest irr´eductibledansA[X].
3.2
Factorialite´desanneaux
depolynˆomes
D´enition3.2.1.SoitAun anneau factoriel. On appelle contenu de PA[X] un PGCD de ses coefficients. Il existe et est unique aux inver siblespre`s. On noterac(P) le contenu dePosicstsauune´osdseascleneml´´eenu: repre´sentant. Remarque3.2.2.soncontenuestsfeistueelemtnisˆoynesmeritptimiUlopn inversible.
Proposition 3.2.3.Lpeorudntscierpsetimi`sfieocadeituxdelypoomnˆ dansunanneaufactorielestunpolynˆomeprimitif. Corollaire 3.2.4.PourPetQdansA[X], avecAfactoriel, on a c(P Q) =c(P)c(Q).
Corollaire 3.2.5.SoitAun anneau factoriel. SiPA[X]est divisible dansQ(A)[X]ulnyaproompnˆrieptimifQA[X], alorsPest divisible par QdansA[X]. Proposition 3.2.6.SoitAnaucafuaennT.leirotolynoutpirr´ˆomeitlbdecue deA[X]est premier. The´or`eme3.2.7.a) SiAest un anneau factoriel, alors l’anneauA[X]est factoriel. b)Lespolynˆomesconstantsirr´eductiblesdansA[X]dsebiellesisontductrr´e A. c)Lespolynoˆmesnonconstantsirr´eductiblesdansA[X]pslonyoˆemssontle non constants primitifs deA[X]uqnosirritnaseldstcbie´udQ(A)[X]. Proposition 3.2.8)intensseEidere`tirC(.SoientAun anneau factoriel,f un´el´ementirre´ductibledeA, et n X k P=akX k=0
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unpolynoˆmenonconstantprimitifdansA[X]. 2 Si :f6 |an,i < n f|ai, etf6 |a0, alorsPibleductdansrre´seitA[X]. Exercice3.2.9.Montrer que siAtueslesdiviseursdunannnaeiutne`rg,e monˆomedeA[Xestdnˆmoesom.nos] 7/10/2010
3.3
Polynˆomesenunevariable:compl´ements
3.3.1Ladivisioneuclidiennee´tendue n m The´ore`me3.3.1.SoientU=anX+∙ ∙ ∙+a0etV=bmX+∙ ∙ ∙+b0deux polynoˆmesdansA[X], avecnm1etbm6= 0. Il existe un unique couple (Q, R)deopedˆnylsemoA[X], tels que :
nm+1 b U=V Q+R ,et m
(R= 0oudeg(R)<deg(Q) ).
3.3.2Fonctionspolynomialesete´valuation Le´valuationpermetded´enirunmorphismedanneau:
E:A[X]→ A(A, A) P7→[a7→P(a)]
L’image de ce morphisme est le sous anneau des fonctions polynomiales sur A.
Proposition 3.3.2.a) SiAest infini, alorsEest injective. b) SiAunstea`insprocqdeauet´nleeml´a,slsroyoneEsteidlal´eneegdn´re q parXX.
3.3.3D´erivation Caract´eristiquedunanneau SiAest un anneau commutatif, alors il existe un unique morphisme d’anneau η:ZA.
D´enition3.3.3.e´irtsqiaLacartcauneanundueAe(ruetare´ne´gelsterntie positifounul)delide´alKer(η).
Remarque3.3.4.L’image deη`ehpromoastiseZ/Ker(η). Pour un anneau int`egre,cestunsousanneauint`egre.Lacaracte´ristiquedunanneauint`egre estsoitz´ero,soitunnombrepremier.
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Proposition 3.3.5.SoitAresiituqceraca´temocuaennanuedgr`entfititamu p >0, alors l’application F:AA p a7→a
est un morphisme d’anneau.
D´erivation Lade´rivationestlapplication:
D:
A[X] P k P=kakX
A[X] P k1 D.P=P=k>0akkX
The´ore`me3.3.6.SoitAnauaenntniurge`te,ePA[X]. 1.Silacaracte´ristiquedeAest nulle, on a :
DP= 0PA .
2.Silacaracte´ristiquedeAest un nombre non nulp(premier), alors :
p DP= 0PA[X].
Th´eor`eme3.3.7(Formule de Taylor).SoitAfinitutaer`tgeunancommneau k decaract´eristiquenulle,pourtoutPA[X],D .P(0)est divisible park!, et : k X D P(0) k P=X . k! k
3.4
Polynˆomes`anvariables
SoitAun anneau commutatif etX1, . . . , Xndesermid´etsnin´ee. On note n A[X1, . . . , Xnmbseenlamsfdele]dseel´ementillesd´A´xeepsraniedN, avec unnombrenidetermesnonnuls,not´eescommecombinaisonslin´eairesdes k1 kn X1. . . X n,kjten´leem´esdesl:0A[X1, . . . , Xnsualofmr:e]sec´verisont X X k1knk1kn X . . . X . Xn=ak1n P=ak1,...,kn1. . . X k1,...,knk
A[X1, . . . , Xn]nudisemt´eraesops:tion X X X k1knk1knk1kn (a X . . . X) + (b X . . . X) = (a+. . . X . k1n k1n kbk)X1n k k k
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