COURS SUR LES FONCTIONS Bac Pro

Lopez

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66\\http://maths-sciences.fr Bac Pro indus LES FONCTIONS NUMÉRIQUES USUELLES I) Généralités 1) Définition Soit I un intervalle de , une fonction est une relation qui associe à tout élément x de I, un nombre réel f(x) au plus. f : I x f(x) x est la variable et f(x) est l’image de x. On note y = f(x). L’ensemble des éléments de I ayant une image est appelé ensemble de définition, noté E. 2) Représentation graphique Dans un plan muni d’un repère, la représentation graphique C d’une fonction f est l’ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)). y = f(x) est une équation cartésienne de C. f(x) 0 x 3) Sens de variation d’une fonction Si pour tous nombres x et x d’un intervalle I = [a ; b], tels que x < x on a : 1 2 1 2 - f(x ) < f(x ), alors la fonction est croissante sur I (fig 1) 1 2- f(x ) > f(x )est décroissante sur I (fig 2) 1 2- f(x ) = f(x ), alors la fonction est constante sur I (fig 3) 1 2 f(x ) 2f(x ) 1f(x ) = 2 f(x ) 1 f(x ) 1 f(x ) 2 0 x x 0 x x 0 x x 1 2 1 2 1 2 fig 1 fig 2 fig 3 Cours sur les fonctions numériques usuelles ...

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http://maths-sciences.frBac Pro indus LES FONCTIONS NUMÉRIQUES USUELLES I)Généralités 1) Définition SoitIun intervalle de \ , une fonction est une relation qui associe à tout élémentxdeI, un nombre réelf(x)au plus. f: I6 \ x6f(x) xest la variable etf(x)est l’image dex. On notey=f(x). L’ensemble des éléments deIayant une image est appelé ensemble de définition, notéE. 2)Représentation graphique Dans un plan muni d’un repère, la représentation graphiqueCd’une fonctionfest l’ensemble des points de coordonnées (x;f(x)). y=f(x)est une équation cartésienne deC. f(x) 0x 3)Sens de variation d’une fonction Si pour tous nombresx 1 etx 2 d’un intervalleI= [a;b], tels quex 1 <x 2 on a : -f(x 1 ) < f(x 2 ), alors la fonction est croissante surI(fig 1) -f(x 1 ) > f(x 2 ), alors la fonction est décroissante surI(fig 2) -f(x 1 ) = f(x 2 ), alors la fonction est constante surI(fig 3) f(x 2 ) f(x 1 ) f(x 2 )  =  f(x 1 ) f(x 1 ) f(x 2 ) 0x 1  x 2 0x 1  x 2 0x 1  x 2  fig1 fig2 fig3 Cours sur les fonctions numériques usuelles1/7

http://maths-sciences.frBac Pro indus Une flèche indique, dans le tableau de variation, le sens de variation de la fonction. a x b Sens de Cas d’une fonction variation de croissante sur l’intervalle la fonction [a;b] f 4)Parité Soit une fonction définie sur un intervalleItel que six ∈ I, alors–x ∈ I. a)fest une fonction paire si pour toutxdeI:f(-x) = f(x). Dans un repère orthonormal, sa courbe représentative présente une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées. f(-x) = f(x) -x0 b)fest une fonction impaire si pour toutxde I :f(-x) = - f(x). Dans un repère orthonormal, sa courbe représentative présente une symétrie centrale par rapport à l’origine du repère. f(x) -x 0x f(-x)

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http://maths-sciences.frBac Pro indus II) Fonction affine 1)Définition On appelle fonction affine, toute fonction définie par une expression de la formef(x) = ax + b;aetbétant des réels. Remarque : Une fonction linéaire (x6ax) est une fonction affine particulière (b= 0). 2)Représentation graphique La représentation graphique d’une fonction affine dans un repère cartésien est une droite non parallèle à l’axe des ordonnées. y = ax + best une équation de la droite représentative.  coefficientdirecteur ordonnée à l’origine a b 1  0 Dans le cas particulier oùa0, la fonction s’écrit =f(x) = b;f estune fonction constante représentée par une droite parallèle à l’axe des abscisses. 3)Coefficient directeur Le coefficient directeuradroite d’uneDpar les points passantA (x A ;y A ) etB (x B ;y B ) est donné par la relation : y-y B A a= -x B A y B +B x A  0x B A+ y A Cours sur les fonctions numériques usuelles3/7

http://maths-sciences.frBac Pro indus III) Les autres fonctions usuelles 1) fonctionf:x→ax² La représentation graphique defest une parabole. La fonctionfest paire :f(-x) = a(-x)²= ax²= f(x)  casoùacas où> 0a< 0 1 0 1 1 0 1 x 0 x 0  0 f f 0 2) fonction « racine carrée » :x6x Dans un repère orthonormal, la représentation graphique de la fonctionf:x 6 se déduit de la représentation graphique de la fonction «carrée »,x 6 x² par une symétried’axe la droite d’équationy=x.  y = x²  y= x  y=

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x 0 f 0

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http://maths-sciences.frBac Pro indus a 3) fonctionf:x6 a La représentation graphique de la fonctionf:x 6  estune hyperbole. La fonctionfest a impaire :f(-x) == - = - f(x) -a L’hyperbole présente une symétrie ayant pour centre l’origine du repère.  casoùacas où> 0a< 0 1 1 0 10 1 x 0 x 0 f f Pour de grandes valeurs dexou dey, la courbe « se rapproche » des axes du repère : on dit que les axes sont des asymptotes de la courbes. 3 4)fonctionf:x→x 3 33 La fonctionf:x → xest impaire :f(-x) = (-x)= -x= -f(x) La représentation graphique admet l’origine du repère comme centre de symétrie. 1 x 0 0 1 f Cours sur les fonctions numériques usuelles5/7

http://maths-sciences.frBac Pro indus IV) Courbes représentatives et opérations sur les fonctions 1)Représentation graphique def+g La représentation graphique C f+g de la fonctionf + gest obtenue point par point à partir des courbes C f et C g représentatives des fonctionsfetg: pour une abscissex 1 donnée, l’ordonnée du point de la courbe C f+g s’obtient en additionnant les ordonnéesf(x 1 )etg(x 1 )des points des courbes C f et C g .  C f+g C g f(x 1 ) + g(x 1 ) g(x 1 )  C f  f(x 1 ) 0 Addition point par point des courbesC f etC g 2)Représentation graphique de λ La représentation graphique C de la fonction λ f estobtenue point par point à partir de la courbe C f : pour une abscissex 1 l’ordonnée du point de la courbe donnée, C  s’obtienten e C pa multipliant l’ordonnéef(x 1 )du point d f r λ . C 2  2f(x 1 ) C f(x 1 ) 1 C  (x) 1 1 2 2 0 x 1 1 Construction des courbes C pour λ = et λ = 2 λ 2

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http://maths-sciences.frBac Pro indus V) Interprétation graphique def≥0 etf≥g 1)Résolution graphique de l’inéquationf(x)≥0 Soit la représentation graphique C f  d’unefonctionf; soitx 1  etx 2 abscisses des points les d’intersection de C avec l’axe des abscisses. f La lecture du graphique permet d’établir quef(x) ≥ 0 pourx 1 ≤ x ≤ x 2 . C f 1 0 1 x 1 x 2 2)Résolution graphique de l’inéquation(x)≥g(x) Soit C f et C g les représentations graphiques des fonctionsfetg; soitx 1 etx 2 les abscisses de leurs points d’intersection. La lecture du graphique permet d’établir que :f(x) ≥ g(x)pourx 1 ≤ x ≤ x 2 .  C f C  g 1 01 x 1  x 2

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