Cours sur les surfaces de riemann

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M1 Mathematiques approfondies, second semestre 2010-2011Surfaces de RiemannJean-Claude SikoravVersion nale (modulo des erreurs)Table des matieres1 Surfaces de Riemann et objets associes:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 11.1 De nitions1.2 Exemples de surfaces de Riemann1.3 Applications holomorphes, degre en un point:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 31.4 Fonctions holomorphes et meromorphes::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 41.5 Diviseurs, diviseurs principaux, groupe de Picard:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 51.6 Degre d’une application holomorphe propre, cas d’une fonction meromorphe1.7 Fibre tangent, structure presque complexe::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 61.8 Formes di erentielles :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 71.9 Formule de Stokes:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 91.10 Di erentielles holomorphes et meromorphes), residus1.11 Etoile de Hodge et produit scalaire sur les un-formes reelles::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 112 Fonctions et formes harmoniques::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 132.1 Laplacien et fonctions2.2 Fonctions harmoniques et di erentielles holomorphes2.3 Integrale et principe de Dirichlet::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 142 ...
Publié le : vendredi 23 septembre 2011
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M1Math´ematiquesapprofondies,secondsemestre2010-2011 Surfaces de Riemann Jean-Claude Sikorav Version finale (modulo des erreurs)
Tabledesmatie`res 1SurfacesdeRiemannetobjetsassocie´s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 1.1De´nitions 1.2 Exemples de surfaces de Riemann 1.3Applicationsholomorphes,degre´enunpoint. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 1.4Fonctionsholomorphesetme´romorphes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1.5 Diviseurs, diviseurs principaux, groupe de Picard. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 1.6Degr´eduneapplicationholomorphepropre,casdunefonctionme´romorphe 1.7Fibre´tangent,structurepresquecomplexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.8Formesdie´rentielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 1.9 Formule de Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 1.10Di´erentiellesholomorphesetm´eromorphes),re´sidus ´ 1.11EtoiledeHodgeetproduitscalairesurlesun-formesre´elles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 2 Fonctions et formes harmoniques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 2.1 Laplacien et fonctions harmoniques 2.2Fonctionsharmoniquesetdie´rentiellesholomorphes 2.3Inte´graleetprincipedeDirichlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 2.4 Formule de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 2.5 Extension harmonique 2.6 Principe de DirichletC1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.7Contrˆoledesfonctionsharmoniquesparlinte´graledeDirichlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 18 3 Construction d’un potentiel dipolaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ´ 3.1Enonce´duth´` eoreme 3.2Inte´graledeDirichletrenormali´ee s 3.3 Existence d’un minimum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.4Existencededie´rentiellesetdefonctionsme´romorphes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.5Se´parabilit´edessurfacesdeRiemann 3.6G´ene´ralisationdelaconstruction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24 4Th´eore`meduniformisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26 4.1 Surfaces de Riemann simplement connexes 4.2Propri´ete´sdessurfacesdeRiemannsimplementconnexes 4.3Preuveduth´eor`emeduniformisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29 4.4ReveˆtementuniverseldunesurfacedeRiemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.5 Les surfaces de Riemann simplement connexes et leurs groupes d’automorphismes. . . . . . . . . . .. . . . . . . . 32 5Alg´ebricit´edessurfacesdeRiemanncompactes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5.1Fonctionsme´romorphessurlasphe`redeRiemann 5.2Fonctionsme´romorphessurunesurfacedeRiemanncompactequelconque 5.3 Fonctions holomorphes de plusieurs variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36 i
5.4Varie´te´setsous-vari´et´escomplexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37 5.5Connexite´dunecourbeaneplane(irre´ductible) 5.6 Espaces projectifs complexes, cas du plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5.7Courbesalg´ebriquesplanesprojectives:partiere´guli`ere,singularite´s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39 ´ 5.8Etudedunecourbealg´ebriqueplanepre`sdunpointsingulier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 40 5.9SurfacedeRiemanncompacteassocie´e`aunecourbealg´ebriqueprojective. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 41 5.10Morphismesrationnelsetisomorphismesbirationnelsentrecourbesalge´briquesprojectives. . . . . . . . .42 ´ 5.11EquivalenceentresurfacesdeRiemanncompactesetcourbesalg´ebriquesprojectives. . . . . . . . . . . . . . .43 6GenredunesurfacedeRiemanncompacte,th´eor`emedeRiemann-Roch. . . . . . . . . . . . . . . . . . .44 6.1The´or`emedenitude,denitiondugenre ´ 6.2 Autre preuve de la finitude de`(Dontisesesmatirpme`ire))te. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45 6.3The´oriedeHodgepourlessurfacesdeRiemanncompactes 6.4De´compositiondeHodge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6.5CohomologiedeDeRhamalge´brique 6.6 Minoration de`(D) 6.7 Surfaces de genre zero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48 ´ 6.8Th´eor`emedeRiemann-Roch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48 6.9 Premiers corollaires de Riemann-Roch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49 6.10 Formule du genre d’une courbe plane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 7 Courbes elliptiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52 7.1Re´alisationdunesurfacedegenreuncommecubiqueoucommequartiqueplane 7.2 Surfaces de genre un et cubiques lisses, forme de Weierstrass. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53 7.3 Isomorphisme sur un tore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 7.4 Courbes elliptiques, loi de groupe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55 7.5Degre´localdintersection,diviseurhyperplan 7.6 Loi de groupe sur une cubique lisse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 7.7Re´alisationduntorecomplexededimensionuncommecubiquelisse. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 58 7.8 Classification des surfaces de genre un. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Bibliographie [Ah] L.V. Ahlfors,Lectures on quasiconformal mapping, second edition, Univ. Lect. Series 38, Amer. Math. Soc., 2006. [Br-K]E.Brieskorn,H.Kn¨orrer,Plane algebraic curves.6891,,reskurai¨Bh [Fa] H.M. Farkas, I. Kra,Riemann surfacesTexts in Math. 71, Springer 1980., Grad. [For] O. Forster,Lectures on Riemann surfacesTexts in Math. 81, Springer 1981., Grad. [Gal-Gau] A. Galard and D. Gauld,Dynamics of non metric manifolds, arXiv:1102.5684. ´ [Go] C. Godbillon,briqueE´lmenestedotopoligaegle´, Hermann, Paris, 1971. [Hu] J.H. Hubbard,Tehmicrehtu¨lloeyr, vol. 1, Matrix Editions, Ithaca (NY), 2006. [Kl] F. Klein,On Riemann’s theory of algebraic functions and their integrals1,ree369voD,onsessiimprtr´e fr´equentes. [Knapp] A.W. Knapp,Elliptic curves, Princeton Math. Notes 40, 1992 [Mi] 1 J. Milnor,On spaces having the homotopy type of a CW-complex, Trans. Amer. Math. Soc. 90 (1959), 272-280. InCollected papers IV, Amer. Math. Soc., 2009, pp. 35-43. [Mi] 2 J. Milnor,Topology from the differentiable viewpoint, The University of Virginia Press, 1965. [Mi] 3 J. Milnor,Singular points of complex hypersurfaces, Princeton Annals of Math. Studies 61, 1968. ii
[R] E. Reyssat,Quelques aspects des surfaces de Riemann8919r,seauh¨rkBi,77.htaMnissergo,Pr. [SG] H.-P. de Saint-Gervais,tnneemeciaerurunoursor`eth´edseceiRennamteR-samiontissdefaurnUfiro, ´ ENS Editions, 2010. [Se1] J.-P. Serre,sGebe´guqirpuorlaseecsdsslaetesrpco, Hermann, Paris, 1959. [Se2] J.-P. Serre,iradsruoCueiqetm´th, PUF, Paris, 1970. [Si] L. Siegel,Topics in complex function theory, vol. IElliptic functions and uniformization theory, Addison-Wesley, 1969. [Sp] M. Spivak,A comprehensive introduction to differential geometry, vol. 1, Publish or Perish, 1970. Nou-velle´edition,2005. [W] H. Weyl,The concept of a Riemann surface, translated from the German, Third edition, Addison-Wesley 1955.Fr´equentesre´impressionsDover. [Zy] A. Zygmund,Trigonometric series, Second edition, reprinted with corrections and some additions, Vol-ume I, Cambridge Univ. Pres, 1959.
iii
1SurfacesdeRiemannetobjetsassocie´s
1.1D´enitions Unesurface de Riemannraseposteevuni´ar´eetpmocexelidedsnemionun(courbecompelex,)uqleosnpu toujoursconnexe.Autrementditcestunespacetopologiquese´pare´connexeX, muni d’unatlas holomorphe (Ui, ϕi)iI`ou (ui)iIest un recouvrement ouvert deX lacarteϕi:UiCrohpe´mohnmoseutdeismeUisur un ouvert deC toutchangement de cartesψi,j=ϕiϕj1:ϕj(UiUj)ϕi(UiUj) est holomorphe. Pluspr´ecise´ment,lastructuredesurfacedeRiemannestde´nieparuneclassed´equivalencedatlasholo-morphes,deuxtelsatlase´tantdits´equivalentssileurreunionestencoreunatlasholomorphe.Ouencore ´ onpeutconside´rerlatlasmaximalassocie´,forme´detouteslescartes(U, ϕ:UC) telles queϕϕi1est holomorphe pour toutiI:ecatltsaocnodsaltaltneitne(n´Ui, ϕi), et est clairement le plus grand atlas holomorphe contenant (Ui, ϕiolomprehaltsaohl´eeseraappertcaeled)ne.Ucarte holomorphe. Uniformisante.SiXest une surface de Riemann etpun point deX, une carte holomorpheϕ´deinseru un voisinageUdepet envoyantpsur 0 s’appelle uneuniformisanteenp. Il en existe toujours, puisque si ϕest une carte holomorphe,ϕϕ(pnteoruutouujter,trisvpeeoounomohe´htitcitenoParrestr)aussi. uniformisanteayantpourimageledisqueunit´eΔ. Notation.Il sera commode de noter une uniformisantez(ouw,ζsiofofalitcnteno...),a`alniisnaatn,to sa valeur. On notera aussiz=x+iyu(,)`ox, y)estalorsun´retraceuo,elleeme`estsydoorcodese´rnne´se.eell Soient (X,(Ui, ϕi)iI) et (Y,(Vj, ψj)jJ) deux surfaces de Riemann. Un isomorphisme (oubiholomor-phisme) entreXetYest une bijection qui envoie l’atlas maximal deXsur celui deY(c’est en particulier unhome´omorphisme.Autrementdit,lesapplicationsψfϕ1sont holomorphes pour toutes les cartesϕ etψdans les atlas holomorphes maximaux deXet deYsuffit que ce soit vrai dans des atlas holomorphes(il deXet deY). On noteraXY´equivaelationdis´deinelcnaeni.eral Une surface de Riemann non compacte est diteouverte. Remarques.1) Si la topologie surXtioneniirl,altsaalofrunit:onmodielad´senastpnndoea´eiopr d’une carte en demandant seulement que ce soit une bijection sur un ouvert deC. Une partieAXsera alors ouverte si et seulement siϕi(AUi) est un ouvert deCpour toutillteieogesruojuotlopotenu.Cecnitid´e quelescartessontdeshome´omorphismes,maislase´paration(ainsiquelaconnexite´)nestpasautomatique etdoiteˆtred´emontr´ee. 2) Le jacobien du changement de cartesψi,j, vu comme une application entre ouverts deR2est|ψ0i,j|2qui est positif, donc de Riemann est canoniquement orient´toute rface su ee. 3)Enge´ome´triedi´erentielle,onimposeenoutre`atoutevari´et´edi´erentiableconnexedeˆtrembnoblraede´ a`linnirer´ˆetond´eunirbbanemoocpmeledet.Ctsacriopprteqe´e´te´a`tuaviuasibil´tal´mteire,c-tsed-a`deri las´eparabilite´,oulacaraapmopt´cie(tout recouvrement ouvert admet un recouvrement plus fin localement ni).OnverraquedanslecasdessurfacesdeRiemann,cettepropri´et´eestautomatique(th´eo`edRado). rem e *En particulier, soitL+lademi-droite longueL+=1×[0,u`[o11est l’ensemble des ordinaux d´enombrables,muniedelatopologieassoci´eeassocie´ea`lordrelexicographique.OnaL+=qα∈ℵ1[α, α+ 1[, etlatopologiedelordreenfaitunevarie´te´topologiquededimensionunconnexe.OnpeutmunirL+d’une structuredevari´et´edeclasseCoeˆmuemCωed-ri-ta`secR-analytique (cf [Sp], Appendix A, p.465-472). En fait il existe 21telles structures non isomorphes ([Spivak] pour le casCω, P.J. Nyikos, Adv. in Math. 93 (2004), 129-213 pour le casC). DoncL+×RetL+×L+sont des surfaces connexesCω, mais ne peuvent admettredestructuredesurfacedeRiemanncarellesnesontpasde´nombrables`alinnipuisque1× {0} estunepartiediscre`tenond´enombrable. Unexempledie´rentestlasurfacedePr¨ufer([Sp],p.466,[Hu],p.6-7),obtenueenrecollantsurledemi-plansupe´rieurouvertHdes copiesHxuteredusfrcae-ilpdumedtleunp:o´ermfeancurtsenudrinumaCω, connexe et admettantRcemmosuossne-blemisedetcron,d´dnencnobaelmorbinn`alleni.Elsapcnoda nonplusdestructuredesurfacedeRiemann.Onpourratrouvercesexemples,´etudi´esdunpointdevue hhdynamiqueiiniraMsix*.)eeapArelsegian´lef´erenc-Gau](r´tnirlaG[pelspe´ran,d 1.2 Exemples de surfaces de Riemann Les exemples 1), 2) et 4) sont des surfaces ouvertes, 3) et 5) des surfaces compactes. 1
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