cours sur les variables aléatoires réelles

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Chapter 5Variables al´eatoires r´eellesSommaire5.1 Variable al´eatoire r´eelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.2 Loi d’une variable al´eatoire r´eelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.3 Variable al´eatoire r´eelle discr`ete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.3.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.3.2 Exemples classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.4 Variable al´eatoire r´eelle `a densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.4.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.4.2 Exemples classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.5 Autres variables al´eatoires r´eelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.6 Fonction de r´epartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.6.1 Cas des variables al´eatoires discr`etes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.6.2 Cas des variables al´eatoires `a densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Objectifs: • Introduire la possibilit´e de manipuler une fonction du r´esultat d’une ...
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Chapter
5
Variables
ale´atoires
re´elles
Sommaire 5.1Variableale´atoirere´elle......................................... 5.2Loidunevariableal´eatoirer´eelle.................................... 5.3Variableale´atoirer´eellediscr`ete..................................... 5.3.1De´nition............................................. 5.3.2 Exemples classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4Variableale´atoirer´eellea`densite´.................................... 5.4.1D´enition............................................. 5.4.2 Exemples classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5Autresvariablesal´eatoiresre´elles.................................... 5.6Fonctiondere´partition.......................................... 5.6.1Casdesvariablesal´eatoiresdiscr`etes.............................. 5.6.2Casdesvariablesale´atoires`adensite´..............................
35 35 36 36 36 38 38 38 40 40 41 42
Objectifs:eexpdunltat´esudnrutcoifenorenuulipanemedt´libiissopaleriudortnI,oreue´laiotaire´ecne variableal´eatoire. ledansetetidoonndneelroliaedrteslaavnooitraCvimrobrapenleoldiuenr´rellee´ealoiatdsacrcsiad,eelsn cas`adensit´e. iorrSvaarsvlereitnaoneceriotae´laselbaidssirce`etes`tdaensit´e`apartirduelenofroitcrednpa´eitrtn.io lauciocrlaioellrvaridelaal´eablea`eriotaedritraptincfosaepr´deon.tnqorpemeutr,eci´etiarontiavS
Motscl´es:´tisneda`teete`rscdireoiat´ealle,eavirba´laeotriariableae.v itit.noperaed´ritnoofcn.a.,unevoidl
Outils:
...atisnedalvenude´th´eedodafelctonMnpourd´etermineroidnree´aptrtioi
5.1
Variableale´atoirere´elle
Unevariableal´eatoireale´atoireestunefonctionduhasarda`valeursdansR: De´nition5.1Soit,F,P)apneicplioatnedrpbobalitie´U.unespaceXdeΩdansRseppatee´levariable ale´atoirer´eelle. Lensembledesvaleursprisesparlavariableale´atoireXest l’image deΩparXe,etset´tonX(Ω)R.
Remarque:taivniLieerda´sepoimona`sulpneXrablmesunslae.Daqieurptatsidi,elilcecedstonirrueerteˆd uneapplicationnonmesurable,etpourcetteanne´e,touteslesapplicationsquelonvarencontrerserontmesurables (Voirlad´enitiondelaloidunevariableale´atoire).
Attention!e´taioerailbselatnrtlaedsivtaironnOenlnloetmeettlesrevesaesclX, Y, Z, T , U, V, W...: il faut garderenteˆtequemalgre´leurnom(variables),cesontdesapplicationsdeΩdansRs´ev´enementssont.eL traditionnellementnot´esavecleslettresA, B, C...ons`gardspriale:tiarspdeΩ.deesqtiafelttnoseceu
BExemple:nlioceannoterSno,stuepiorte´dsX1er´esultleidre´,taudrpmeX2seduatltsu´eerltednocX3le re´sultatdutroisie`me.Lintroductiondecesvariablesale´atoirespermetalorsde´tudierplusfacilementparexemple lasommedestroisd´esS=X1+X2+X3opru.nOenrtartilleravaivecdquaocpuebuaeltsiaists,memenv´enes´e pluspratiquedemanipulerdesvariablesal´eatoires.
5.2
Loidunevariableal´eatoirere´elle
De´nition5.2Soit,F,P)eproacedlit´babite,eenpsuXoiat´eallleer´reenuelbairavdee´neiusrΩnote. On B(R)latribubole´rnneiruseRdoneernnasapd´denoibuqnetrestuueciuseci´eprontinieqardneiterno,ici contientenparticuliertouslesintervallesouvertsouferm´es,touteslesdemidroitesouvertesouferme´es,etplus ge´n´eralementtouslesensemblesauxquelsonpeutsimplementpenser. La loiPXalavirbaellae´taoiredeXest lalitie´probabsur(R,B(R))d´eniepar:
A∈ B(R)
PX(A)
= =
P({ωΩ :X(ω)A}) P(XA)
Attention!la notationaux notations probabilistes: {XA}unstevi´ebrea´ecrituationdeler{ωΩ :X(ω)1 A}=X(Asiuslemppl),drellsnaama`upinemimitegl´utpeonrioluovtneestue.Ctiquapraodtned,Ωtreienap calculerlaprobabilite´.
Remarque:1.{ωΩ :X(ω)A}rtiedeΩ.Pourpouvseutenap´eitilabrpadnerprioborpaserP, il faut quecettepartiesoitdeplusun´el´ementdeFi,fluardgiuoerxuurˆetrerement.Poe´enne´vda`ueric,tesrteouajtrai danslade´nitiondelavariableal´eatoirelefaitdˆetremesurable,ta`cseedebdirecomiensapretroptropparrxau tribusded´epartetdarriv´ee:onditqueXest mesurable si et seulement si
A∈ B(R)
{ωΩ :X(ω)A} ∈ F.
1 Ainsi, siXest mesurable,{XA}=X(A) est automatiquement dansFeutregar,etonpabibil´tedsrpaore. Danscecours,onomettraceproble`meettouteslesfonctionsduhasardrencontre´esserontmesurables. 2. La loiPXabobitilsu´eerldtseucnorpenpscadearrvie´(eR,B(Re´tilibaborpatlescueeqiridss)).Onpeutau imageilitobablapre´dePbaelavirraalpre´ealoiatXrpetbaboevattecc.esCaudnnoevtauvlielqronvatrailit´equ e´tudierlavariableal´eatoireX`monaeneeluoe´hp´eeditcreal´irtoapr,X.
Attention!iotae´laelbairavuhndioctonaf(lrerelafondsconNepa´eiditcrnsoasard)avecsaloi(alrpbobalitie´uq comportementstatistique)!Sionlancedeuxde´s´equilibr´esind´ependants,quonnoteX1erpureiml´urseeldtat
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