Cours VF Part 2

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¾¾¾¾¾¾¾CHAPITRE 3 : UN PEU DE MATHEMATIQUESMartingaleQuestion naïve• Plaçons-nous en date du jour. Quelle est la meilleure estimation du prix d’un actif financier demain ?• C’est le prix du jour !Martingale• Une martingale est telle que : X est intégrable ∀n ∈NnX est F mesurable ∀n ∈Nn nE (X /F ) = X ∀n ∈Nn +1 n nRetenez : En temps discret une martingale est telle que E(X / F ) = Xn+1 nnPage 1CHAPITRE 3 : UN PEU DE MATHEMATIQUESFiltrationVariables gaussiennes21 ()x −m22 N()m, σ ()x = exp −• Une variable X est gaussienne de loi N(m, σ ) si elle a pour densité 2σ 2 π 2 σFiltration• Les variables auxquelles nous allons nous intéresser sont dépendantes du temps. • Ce qui est connu à la date t est rassemblé dans une tribu• C ’est l’information connue à la date t.• Par définition, une filtration est une famille croissante de sous tribus de F c’est à dire telle que t F ⊂ F ∀t ≤ st sPage 2¾¾¾¾¾¾¾CHAPITRE 3 : UN PEU DE MATHEMATIQUES ProcessusProcessus• Un processus stochastique (fonction aléatoire) est une suite de variables aléatoires définies sur le même espace de probabilité.Processus gaussien• Un processus X est gaussien si toute combinaison linéaire finie de (X , t ≥0) est une variable taléatoire gaussienne.Page 3CHAPITRE 3 : UN PEU DE MATHEMATIQUES Martingale (cas continu)Martingale• Une famille de variables aléatoires (X , t ≥0) est une martingale par rapport à la filtration F si Xt t test F mesurable et ...
Publié le : samedi 24 septembre 2011
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Question naïve
CHAPITRE 3 :UN PEU DE MATHEMATIQUES ¾Martingale
Plaçons-nous en date du jour. Quelle est la meilleure estimation du prix dun actif financier demain ?
Cest le prix du jour !
Martingale
Une martingale est telle que :
Xnest intégrablenN
XnestF  n mesurablenN
E(Xn+1/Fn)XnnN
¾Retenez : En temps discret une martingale est telle que E(Xn+1/ Fn) = Xn
Variables gaussiennes
CHAPITRE 3 :UN PEU DE MATHEMATIQUES ¾Filtration
Une variable X est gaussienne de loi N(m,σ2) si elle a pour densitéN m,σ2(x) = σ
Filtration
Les variables auxquelles nous allons nous intéresser sont dépendantes du temps. Ce qui est connu à la date t est rassemblé dans une tribu
C est linformation connue à la date t.
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1e− (xm)2 2πxp2σ2
F Par définition, une filtra tion est une famille croissante de sous tribus detcest à dire telle que FtFsts
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Processus
CHAPITRE 3 :UN PEU DE MATHEMATIQUES ¾Processus
Un processus stochastique (fonction aléatoire) est une suite de variables aléatoires définies sur le même espace de probabilité.
Processus gaussien
Un processus X est gaussien si tout e combinaison linéaire finie de (Xt, t0) est une variable aléatoire gaussienne.
Martingale
CHAPITRE 3 :UN PEU DE MATHEMATIQUES ¾Martingale (cas continu)
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Une famille de variables aléatoires (Xt, t0) est une martingale par rapport à la filtration Ftsi Xt
est Ftmesurable et intégrable t0 et siE(Xt/Fs) =Xsst
Propriété
Si X est une martingale E(Xt) =E(X0)t
¾Retenez : En temps continu une martingale est telle que E(St/ Fs) = Ss
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CHAPITRE 3 :UN PEU DE MATHEMATIQUES ¾Mouvement Brownien
Définition Le processus(Bt,t0) est un mouvement brownien si
P(B0=0) =1 st,BtBsest une variable aléatoire de loi gaussienne centrée et de variance t  s. n,ti, 0t1Ktnles variablesBtnBtn1,K,Bt1Bt0,Bt0sont indépendantes
La deuxième propriété est la stationnarité des accroissements du Mouvement Brownien. La troisième propriété traduit que le MB est à accroissements indépendants
Brownien généralisé
On dit que X est un MB généralisé ou de drift µ si Xt=x+t+Bt(Bt,t0)est un mouvement brownien
CHAPITRE 3 :UN PEU DE MATHEMATIQUES ¾Trajectoire de brownien
Les trajectoires dun mouvement brownien sont continues.
20 15 10
5 0 -5 -10 -15 -20
Traje ctoire s d'un brow nie n
Propriété de martingale appliquée au brownien
Temps
Le processus B est une martingale et le processusBt2t,t0est une martingale. ¾Exercice 6
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Définition
CHAPITRE 3 :UN PEU DE MATHEMATIQUES ¾Intégrable de Wiener
On dit queI(f)=0f(s)dBs=lnim0fn(s)dBsest lintégrale stochastique ou lintégrable de Wiener de f par rapport à B, par définition.
Généralisation On généralise lintégrable de Wiener et on définit0tθsdBs pour des processus stochastiques . On perd alors le caractère gaussien de lintégrable.
t 0θs
dBs
=0
1[0;t]
(ss
dBs
CHAPITRE 3 :UN PEU DE MATHEMATIQUES ¾Processus d’Itô
Définition Un processus X est un processus dItô siX0=x dXt=bt
Le coefficient b est le drift ou encore la dérive.
Le coefficientσest le coefficient de diffusion.
Intégrale d’un processus d’Itô Soit X un processus dItô.t On a alors0θs
dXs
dt+
= θb 0sts
t
dBt
t ds+θsσs 0
dBs
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Crochet
CHAPITRE 3 :UN PEU DE MATHEMATIQUES ¾Lemme d’Itô
Par définition, le crochet dun processus dItô X est le crochet de sa partie martingale.
Xtσ2ds On a< >t=0s
Lemme d’Itô
Soit f une fonction continue de R dans R, de classe C² à dérivées bornées, ' alorsf(Xt)=f(X0)+0tf'(Xs)dXs+210tf'(Xs)d<X,X
>s
CHAPITRE 3 :UN PEU DE MATHEMATIQUES ¾Girsanov
Changement de probabilité
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Soient P et Q deux probabilités sur(Ω,FT).On suppose P et Q équivalentes. Alors, il existe L, P(Ft)martingale positive telle queQ LTPsurFT etQ/Ft=LtP/Ft cest à dire queEQ(X)=EP(LtX) pour toute variable XQ intégrableFt mesurable pourtT
De plusL0= et 1EP(Lt) =1,tT
Théorème de Girsanov
Soit(Bt,t0)un MB sur un espace,F,P et SoitLt=expt0θsdBs21t0θs2ds,tTEPexp210Tθ2ds<s
Ft)sa filtration canonique.
est un processus prévisible adapté tel que
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CHAPITRE 3 :UN PEU DE MATHEMATIQUES ¾Girsanov
AlorsLT une variable positive despérance 1 sous P et L est une P martingale. est
SidQ=LTdP , cest à direEQ(X)=EP(LTX) toute variable X intégrable pour(Ft)t ~ mesurable,BtsécritBt=Bt+θsds oùBtest un Q MB. 0
Définition
CHAPITRE 3 :UN PEU DE MATHEMATIQUES ¾Brownien géométrique
Un brownien géométrique est défini pardSt
La solution de cette équation sécrit
=St
b dt+
dBt)
St=S0expb− σ22tBt
Quand les coefficients sont constants, ce processus est log-normal.
¾Exercice 7
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Cas général
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Un contrat doption dachat ou de vente dun actif sous-jacent est le contrat par lequel lacheteur de loption obtient du vendeur, moyennant le paiement dune prime, le droit, mais non lobligation dacquérir ou de vendre une quantité de lactif sous-jacent, à un prix convenu à lavance, au cours dune période ou à un moment déterminé.
Il existe deux types d'options :
Call & Put
Les options d'achat : elles donnent à l'acheteur le droit d'acheter un nombre déterminé dactifs sous-jacents à un prix fixé et désigné dans le contrat comme prix d'exercice. Les options de vente : elles donnent à l'acheteur le droit de vendre un nombre déterminé d'actifs sous-jacents à un prix fixé et désigné dans le contrat comme prix d'exercice.
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CHAPITRE 3 :UN PEU DE MATHEMATIQUES ¾Questions
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Questions ?
CHAPITRE 4 :PRIX D’UN INSTRUMENT FINANCIER ¾Les options
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CHAPITRE 4 :PRIX D’UN INSTRUMENT FINANCIER ¾Les options
Prime
Call
Option européenne et option américaine
K
Spot
Une option de typeeuropéenconfère à son détenteur la possibilité d'exercer son droit uniquement à la date de léchéance.
Une option de typeaméricainconfère à son détenteur la possibilité d'exercer tout au long de la vie de cette option jusqu'à la date de l'échéance.
Payoff
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CHAPITRE 4 :PRIX D’UN INSTRUMENT FINANCIER ¾Prix d’une option
Nous avons vu que le prix dun actif est lactualisation des flux qui vont survenir durant sa vie.
En ce qui concerne, une option, le seul flux que nous connaissons est son payoff (sa valeur terminale).
SoitStstrike, le payoff a donc pour valeur du sous-jacent à une date t et K la valeur du  la expressionMax(0;STK)expression que nous notonsSTK)+.
Tout le problème de la valorisation des options est donc dactualiser ce dernier flux,(STK)+ .
Dans la suite de notre développement, nous allons nous intéresser à la valorisation dun call, la valeur dun put sera déduite par le biais dune relation dite call-put.
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Payoff
CHAPITRE 4 :PRIX D’UN INSTRUMENT FINANCIER ¾Prix d’une option
Une option est valorisée à toute date, nous allons donc valoriser notre call à une datet telle que0tT
Il est complément illusoire de prédire depuis la date quelle sera la valeur de ST, le cous réel du sous-jacent suivant une dynamique continue.
Ceci signifie que le flux ST K est aléatoire et donc que le flux (ST- K)+est aléatoire. En bref, nous ne devons plus actualiser le fluxSTK)+mais le fluxESTK)+ E[...]désigne l espérance mathématique.
Orleprixduninstrumentestvalorisécommelasommedesfluxactualisésdonc: T Ct=er(Tt)E(STK)+ouC=E S(K))+ tT (1+r)t
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CHAPITRE 4 :PRIX D’UN INSTRUMENT FINANCIER ¾Modélisation discrète
Modélisation discrète d’un actif financier
S2,u,u p S1,u
p S0. S2,u,d  larbre est dit recombinant car u et d sont des constantes)etc (Ici 1-p S1,d
S2,d,d
¾Retenez : En temps discret, la dynamique de prix dun instrument financier est modélisé
sous la forme dun arbre.
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CHAPITRE 4 :PRIX D’UN INSTRUMENT FINANCIER ¾Modélisation discrète
Modélisation bipériodique
St
Nous allons nous placer dans un modèle bi-périodique dans lequel lactif sous-jacent peut prendre deux valeurs entre deux dates.
Une façon simple de représenter une évolution discrète est la suivante :
p
1-p
u
d
St
St
et le call a pour représentation :
Ct
q
1-q
u StK)+
(d
StK)+
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CHAPITRE 4 :PRIX D’UN INSTRUMENT FINANCIER ¾Modélisation discrète
Formons la différence Ct h Stoù h est un réel.
Cth St
u StK)+h u St
(d StK)+h d St D après ce que nous avons exposé dans les parties précédentes, on peut écrire, par actualisation :
Cth St= (u StK1)+h u St +
et
Ct
h St
=
d
St
K+h d 1+r
St
(1)
h= (u St
(2)
K)+− (d St St(ud)
K)+
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C(Luexptression)+(1)d(evientt :− )+t(u StK)+(u StKSt)+(udd)StK)+u St tS Kt( −d S)SK=1+r S u d
CHAPITRE 4 :PRIX D’UN INSTRUMENT FINANCIER ¾Modélisation discrète
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+
Nous pouvons étendre notre raisonnement à plusieurs périodes :
Nous venons de changer de probabilité de p à q et donc dévaluer le prix du call.
E =
uidniSK (1+r)n
Généralisation
Ct
(1+rd) q= (ud)
¾
u StK)+− (1q) (d (1+r)
1− =u1+r q(d) u
StK)
Ct=q
Ct
(u StK)+(1+rd) − (d StK)+ = (1+r) (ud)
+
1+ru)
Cest à dire :
Soit :
Ct
C E[Ct] = t(1+r)
CHAPITRE 4 :PRIX D’UN INSTRUMENT FINANCIER ¾Modélisation discrète
q Ctu(1q)Cdt = (1+r)
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