Étude des relations entre le comportement et la fabrication des synchronisateurs des boîtes de vitesse

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ANNEXE 4: MODELE DU STICK-SLIP Annexe 4: Modèle du stick-slip La vitesse axiale du baladeur varie beaucoup durant le processus de changement de vitesses. En effet, le baladeur démarre de la position engagée dans une des vitesses, s’accélère, puis se ralentit puis s’arrête pour la synchronisation. Après cela, il accélère de nouveau, déplace la bague de synchronisateur, engage la vitesse suivante avec un choc, puis s’arrête définitivement. Durant tout ce processus, il glisse sur des cannelures et subit une force tangentielle variable. Ainsi, on peut supposer, que du phénomène de stick-slip intervient lors du déplacement. Pour décrire cela, on utilise le modèle suivant, d’après Thomsen [41]. Le baladeur est assimilé à une masse posée sur un tapis roulant, et relié au mur fixe par un ressort et un amortisseur (Fig. A4-1). F représente la force tangentielle, la vitesse du tapis celle axiale du baladeur. Fig. A4-1 Modèle pour étudier le stick-slip [41] Les équations de mouvement du système, en forme adimensionnée: Pour le glissement: .. . .⎛ ⎞x+2β x+x+µ x−vb =0 ⎜ ⎟⎝ ⎠Pour le collage: .. .x=0 ; x+2βvb<µs ; x=vb Les paramètres adimensionnés sont: ~- t=ω0t le temps, K- ω0= la fréquence propre du système, MX- x= le déplacement de la masse, L 254F- L= le facteur de déplacement, KVb- vb= la vitesse d’excitation, ω0Lc- 2β = l’amortissement KM Fig. A4-2 Fonction du coefficient de frottement en fonction de la vitesse relative ...
Publié le : vendredi 23 septembre 2011
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ANNEXE 4: MODELE DU STICKSLIP
Annexe 4: Modèle du stickslip
La vitesse axiale du baladeur varie beaucoup durant le processus de changement de vitesses. En effet, le baladeur démarre de la position engagée dans une des vitesses, s’accélère, puis se ralentit puis s’arrête pour la synchronisation. Après cela, il accélère de nouveau, déplace la bague de synchronisateur, engage la vitesse suivante avec un choc, puis s’arrête définitivement. Durant tout ce processus, il glisse sur des cannelures et subit une force tangentielle variable. Ainsi, on peut supposer, que du phénomène de stickslip intervient lors du déplacement. Pour décrire cela, on utilise le modèle suivant, d’après Thomsen [41]. Le baladeur est assimilé à une masse posée sur un tapis roulant, et relié au mur fixe par un ressort et un amortisseur (Fig. A41).Freprésente la force tangentielle, la vitesse du tapis celle axiale du baladeur.
Fig. A41 Modèle pour étudier le stickslip [41] Les équations de mouvement du système, en forme adimensionnée: Pour le glissement:
Pour le collage:
.. . . ⎛ ⎞ = x+2βx+x+µxvb0⎝ ⎠
.. . x=0;x+2βvb<µs;x=vb
Les paramètres adimensionnés sont: t=0tle temps,
K ω0=la fréquence propre du système, M
X x=le déplacement de la masse, L
254
F L=le facteur de déplacement, K Vb vb=la vitesse d’excitation, ω0L c 2β=l’amortissement KM
Fig. A42 Fonction du coefficient de frottement en fonction de la vitesse relative [41] e Le frottement est décrit par une fonction de 3 degré (Fig. A42): 3 ( ) (v)v v µvr=signrµsκ1r+κ3r
. vr=xvb la vitesse de glissement relative.
µsµm 3 κ1= ⋅2vm µsµm 1 κ3= ⋅3 2vm Les paramètres de la fonction sont: µsle coefficient de frottement statique,
µmle coefficient de frottement minimal,
vmla vitesse relative appartenant au coefficient de frottement minimal. Pour faciliter l’étude du mouvement, on placera l’origine du système de coordonnées au point où la force de frottement et la force du ressort sont en équilibre. Les équations décrivant ce point=:
L’équation de l’équilibre des forces:
. .. =:x=0 ;x=0
3 x=−µ(v)=µκv+κvbb s1b3
A ce point, les vitesses de déplacement et d’excitation sont égales: vr=vb
255
En connaissant le point d’équilibre, on introduit la nouvelle variable pour le déplacement: u(t)=x(t)x
En remplaçant cela dans les équations du mouvement, on obtient la nouvelle forme de l’équation de mouvement: Pour le glissement:
Pour le collage:
.. . u+u+εh(u)=0
.. . 3 uε κbκ εβb;vb u=0 ;+(1v+3vb)+2v0u=
où la fonctionhest la suivante:
2 3 . . . . . . . . 2 h(u)=2βu+µ(uv)µ(v)=2βu+µ(1+sign(uv))+(κ+κvb)u3κvbu+κub b s b1 3 3 3 Le facteurεest théoriquement petit:ε<<1, en pratique on supposeε≈1.
. En fonction de la vitesse relativeu, on distingue trois états de fonctionnement:
. u=glissement sans oscillation, avec une vitesse d’excitation0 : vb.
. u<vb: glissement avec oscillation.
. uvb: glissement avec oscillation et collage (stickslip).
A41. Description du glissement avec oscillation
. La condition de base:u<vb. L’équation du mouvement:
La fonctionhest la suivante:
Les coefficients:
.. . u+u+εh(u)=0
2 3 . . . . h(u)=h1u+h2u+h u3
2 h1=2βκ1+3κ3vb
h2=−3v 3κb
h3=3
256
La solution de l’équation de mouvement a la forme suivante: u=Asinψ
ψ=t+θ(t) la phase,
θ(t)– le déphasage initial. Calcul deA(t)et deθ(t)avec la méthode de la moyenne standard:
La solution non triviale:
. 1 3 2 A=−εA(h1+h3A)2 4
. Aθ=0
4h1 A=3h3 =constEn remplaçant cela dans l’équation de la solution, on obtient une solution périodique. La solution n’est pas stable, siu=0 pourh1<0. Cela donne la condition suivante pour la vitesse d’excitation:
4βvm b<vb1=vmv13(µsµm)
Cela veut dire qu’en absence d’amortissement visqueux, l’équilibre est instable pour des vitesses d’excitation inférieures àvm. Donc, l’amortissement visqueux a un effet stabilisateur sur le système. Siβdépasse un seuil, le système est toujours stable: 3 β>(µsµm) 4 Les conditions de l’existence et de la stabilité de l’oscillation périodique sont: h1<0; h3>0 Preuve de la vérité de la deuxième condition: Etant donnéµsm, la deuxième condition est vraie: µsµm 1 h3=κ3= ⋅ >0 3 2m v L’équation modifiée de l’amplitude de déplacement:
2 vb4βv2 2 m A=2v1( )− =2vb1vbm vm3(µsµm)
Ainsi, on peut définir des valeurs limites pour l’oscillation pure. L’oscillation pure est présente si la vitesse d’excitationvbest entre les valeurs limites suivantes: vb0<vb<vb1
257
Quand la vitesse d’excitationvb diminue à partir d’une valeur grande, le glissement sans oscillation se transforme en oscillation pure à la valeurvb1. L’oscillation pure dure jusqu’à ce que la vitesse d’excitation atteintvb0, vitesse de l’apparition du stickslip. Similairement, l’amplitude de l’oscillation commence à augmenter aprèsvb1. Il atteint sa valeur maximale à vb0. A ce point:
4 vb0=vb1 5 De cela, l’amplitude de l’oscillation au début de la phase de stickslip:
A A v =max=b0= vb=vb0
4βvm 4 v1m 5 3(µsµm)
A42. Description de l’oscillation stickslip
La condition de base:vb<vb0. Dans la discussion, on s’occupe séparément de la phase glissement et de la phase collage. A421. Phase glissement Pour décrire la phase de glissement, on choisit pour moment initial la fin de la phase de
. collage, où la vitesse de la masse est égale à celle d’excitation:u=vb. A ce moment, la force de frottement et celle du ressort sont égales. L’équation du mouvement au moment initial:
. 3 t=0:u(0)=−2εβvb+ε(κ1vκ3vb) ;u(0)=vbb L’équation de mouvement sera la même que pour le mouvement d’oscillation pure:
.. . u+u+εh(u)=0
Avec ces conditions initiales, l’équation est nonlinéaire. Pour la résoudre, on fait appel à des méthodes approchées. Appliquons la méthode des perturbations. Décomposons la variable: u(t)u0(t)εu1(t)
quandt[0,t], oùtsest le début de la nouvelle phase de collage, etε<<1un paramètre. s
Remplaçons cela dans l’équation de mouvement:
et
.. . u0+u0=0 ;u0(0)=0 ;u0(0)=vb
258
La solution en ordre0:
.. . . 3 u1+u=−h(u0) ;u1(0)=−2βvb+κ1vbκ3vb;u1(0)=0 1
u0=vbsintRemplaçons cela dans la solution d’ordre1:
.. 3 3 1 u1+u1=c3c1cost+c3cos(2t)c3cos(3t)2 2 4
2 ⎛ ⎞ 15 3vb5vb c1=2βvbκ1vb+c3=2βvb(µsµm)1( )4 2vm4vm ⎝ ⎠
3 1vb 3 c=κvb=µµ3 3(s m)( ) 2vm La solution d’ordre1en prenant compte les conditions initiales: 2 1 55 1 1 u1(t)=c3c1tsint+(c3c1)costc3tcos(2t)+c3tcos(3t) 3 2 32 2 32 La solution complète pourt[0,ts]:
2 1 55 1 1 2 u(t)=vbsint+ε(c3c1tsint+(c3c1)costc3tcos(2t)+c3tcos(3t))+O(ε) 3 2 32 2 32
2 O(ε) représente les membres négligeables.
On obtient les fonctions de vitesse et d’accélération en dérivant la solution. A422. Calcul de la durée limite de glissement pour le stipslick
. . La condition limite finale:u(ts)=vb. On obtientude la dérivation de la solution. Cette
équation est transcendante, on doit la résoudre avec des méthodes approchées. Développons l’équation en série de Taylor dans l’intervalletπ,2]: s
2 ⎛ ⎞ . . .. 3π⎞ ⎛3π⎞⎛3π⎞ ⎛3π⎜ ⎟ u t=u u (s)+ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎜ts− ⎟ +Ots− ⎟⎜ ⎟ 2⎠ ⎝2⎠⎝2⎠ ⎝2⎝ ⎠
. Remplaçons l’équationu(t)=v dans celle précédente, et arrangeons les membres pour s b
obtenirts:
. 3πvbu⎜ ⎟2 ⎛ ⎞ 3π π 2⎠ ⎛3⎜ ⎟ t O t s'+ ⎜= + s− ⎟⎜ ⎟ .. 3⎞ ⎝22π ⎝ ⎠ u⎜ ⎟ 2
. .. Remplaçons les équations deu(t) etu(t) , et négligeons les puissances dets: s s
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1 13 v+cc b1 3 3π 2 8 t'= +s 3 2 vc2c b1 3 4 Selon Thomsen [41], le pourcentage d’erreur de cette approximation est inférieur à 0,3%. Toutefois, l’erreur peut augmenter en cas des- µm) plus petit. Pour compenser cela, on effectue le même développement en série, mais autour du pointts=2π:
2πc 1 t"=2πs 3π vc2c b1 3 4 Pour une phase de collage court,tsest plus précise. Pour une phase de collage plus longue, ts’’ est mieux adaptée. Pour être précis en chaque cas, considérons que la solution la plus précise est la combinaison des deux approximations:
vv b b0 κ t=t'+e(t"t')s s s s
4βv m κ=. 3(µµ) s m L’erreur de cette approximation pourtsest inférieur à 1% pour les conditions suivantes: µµ s m vb<vb0;[0,11;1];[0,07;0,61]; v m β=0,05;µs=0,25;µm=0,25;vm=0,5.
A423. Calcul de la période et des amplitudes Les conditions de départ sont:
. .. t=t;u(t)=v;u(t)=0 s s b s
L’équation du mouvement pourt]t,T[: s
u(t)=u(t)+v(tt) s b s
u(0)u(t) s T=t+la période du mouvement stickslip. s v b
260
Fig. A43 Types du mouvement stickslip [41] On ne peut pas définir une amplitude de la même façon que pour un mouvement harmonique. Continuons la discussion en traitant les deux phases de façon séparée (Fig. A43).
. Pour le collage:u=v=constb
. . .. Pour le glissement:uconst, etu=maxsiu(t)=0 m
Une solution approchée pourtmsoit:
t m
t+εtm0m1
ε<<1est un paramètre. Remplaçons cela dans l’équation du mouvement développée en série de Taylor:
.. .. ... .. ⎛ ⎞2 u(t)=u0(t)+εt u0(t)+u1(t)⎟ +O(ε)m m0m1m0m0 ⎝ ⎠
.. Approximativement,u(t)=0 si: m
.. .. ... u0(t)=0 ;u1(t)= −t u0(t) m0m0m1m0
La solution de la première condition:
.. u0(t)=0 sit m0m0
On obtient la solution pourtm1de façon similaire. Remplaçonstm0ettm1dans l’équation detm:
261
π
73 c+c 1 3 32 t=πm v b Remplaçons le temps dans l’équation de la vitesse:
. . .. . ⎛ ⎞2π2 u(t)=u0(t)+εt u0(t)+u1(t)+O(ε)= −v+εc⎟ +O(ε)m m0m1m0m0b1 ⎝ ⎠ 2Comme les extrema de vitesse ne sont pas symétriques par rapport àu=0, l’amplitude est donnée par la définition suivante: . 1⎛ ⎞ A= ⎜vu(t)v b m 2⎝ ⎠
. En remplaçantu(ton obtient pour) , vb<vb0: m
2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ π3πv5v ⎜ ⎟ b b ⎜ ⎟ A= ⎜1βv+(µµ)1v b s m ⎜ ⎟ 2 8v4v ⎝ ⎠mm⎝ ⎠ L’amplitude du déplacement est calculée de façon semblable. Les approximations pour les
valeurs de temps (Fig. A43):
3π1 52 = − tc1+c3m 2 2 32 π1 52 t= +ccm+1 3 2 2 32 Les approximations pour les valeurs de déplacement (Fig. A43): 3π = u(t)v+2c3+c1m b 4
( )+2c u tm+=vbc3 14 L’amplitude de déplacementvb<vb0:
2 ⎛ ⎞ π πvv1 3b5bπβ µ µ A=(u(tm)u(tm))=vbc=(1)vb+(sm)1⎜ ⎟+ −1 ⎜ ⎟ 2 2 4v4v mm⎝ ⎠ Le maximum de la vitesse :
µ µ 4 (sm) 3 v=v, si(1(π3)β) b0b1 5v8 m ⎛ ⎞ * v=b⎜ ⎟ vπβ 4m(1 ) ⎜ ⎟ v1+ailleurs m π 153(µµ) s m ⎩ ⎝4
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Siµµ est petit, le maximum de l’oscillation apparaît pourvb=vb0. Dans le cas de s m
µµle maximum apparaît quelque part pour grande, v]0,v[A44). Pour (Fig. s m b b0
µµpetit, on a: s m
A=A=v= maxb0 vb=vb0
4 v m 5
4βv m 1− =Av,max 3(µµ) s m
donc l’amplitude du déplacement et de la vitesse sont les mêmes à la vitesse maximale d’oscillation .
La fréquence de base du mouvement stickslip est la suivante (Fig. A45): 2π2πvb ω= = <1=ωss0 T v t+u(0)u(t) b s s
Fig. A44 La variation de l’amplitude de l’oscillation en fonction de la vitesse d’excitation
Fig. A45 La variation de la fréquence de l’oscillation en fonction de la vitesse d’excitation
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