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Resumé detaillé du travail de thèseDirecteurs de thèse :Gilles Christol (Univ. Paris VI)&Bruno Chiarellotto (Univ. Padova)Jury de Thèse :André YvesChiarellotto BrunoChristol GillesDi Vizio LuciaOesterle JosephRamis Jean-PierreReversat MarcSoutenue le 14 Juin 2006La thèse a été preparée à l’Université de Paris sous la direction de Gilles Christol et a étéco-dirigée par Bruno Chiarellotto de l’Université de Padoue dans le cadre d’une co-tutelle.La thèse est constituée de deux articles plus des chapitres en appendice.Nous avons ajouté un resumé detaillé de la thèse en françaispour que le lecteur puisse mieux s’orienter.Andrea Pulita13 Juin 2006Resumé detaillé de la Thèse1. Premier ArticleLe premier article se propose d’expliciter, pour les caractères, la correspondence donnée par lethéorème de monodromie locale p−adique récemment demontré (cf. [And02], [Ked04], [Meb02]).Définition 1.1. SoitK uncorpsultramétriquedecaractéristique0.NousdénotonsparR l’anneauK“de Robba” XiR :={f(T) := a T |a ∈K,∃ρ<1 tel que f(T)K i ii∈Zconverge pour ρ<|T|<1} (1.1.1)†et parE l’anneau de “Robba borné”K†E :={f(T)∈R | sup|a|<+∞}. (1.1.2)K iKDans cet article nous obtenons les résultats suivants :• Une classification complète des équations différentielles de rang un, solubles sur l’anneau de†RobbaR (resp. surE ), et une étude detaillée de chaque équation, à isomorphisme prés ;K K• Une correspondence explicite entre caractères de Artin-Schreier-Witt du groupe de ...
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Resumé detaillé du travail de thèse
Directeurs de thèse :
Gilles Christol (Univ. Paris VI)
&
Bruno Chiarellotto (Univ. Padova)
Jury de Thèse :
André Yves
Chiarellotto Bruno
Christol Gilles
Di Vizio Lucia
Oesterle Joseph
Ramis Jean-Pierre
Reversat Marc
Soutenue le 14 Juin 2006
La thèse a été preparée à l’Université de Paris sous la direction de Gilles Christol et a été
co-dirigée par Bruno Chiarellotto de l’Université de Padoue dans le cadre d’une co-tutelle.
La thèse est constituée de deux articles plus des chapitres en appendice.
Nous avons ajouté un resumé detaillé de la thèse en français
pour que le lecteur puisse mieux s’orienter.
Andrea Pulita
13 Juin 2006Resumé detaillé de la Thèse
1. Premier Article
Le premier article se propose d’expliciter, pour les caractères, la correspondence donnée par le
théorème de monodromie locale p−adique récemment demontré (cf. [And02], [Ked04], [Meb02]).
Définition 1.1. SoitK uncorpsultramétriquedecaractéristique0.NousdénotonsparR l’anneauK
“de Robba” X
iR :={f(T) := a T |a ∈K,∃ρ<1 tel que f(T)K i i
i∈Z
converge pour ρ<|T|<1} (1.1.1)
†et parE l’anneau de “Robba borné”K
†E :={f(T)∈R | sup|a|<+∞}. (1.1.2)K iK
Dans cet article nous obtenons les résultats suivants :
• Une classification complète des équations différentielles de rang un, solubles sur l’anneau de

RobbaR (resp. surE ), et une étude detaillée de chaque équation, à isomorphisme prés ;K K
• Une correspondence explicite entre caractères de Artin-Schreier-Witt du groupe de Galois
absolu de k((t)), et équations différentielles de rang un surR ;K
• Le calcul explicite, pour ces caractères, du foncteur de Monodromie p−adique qui associe a
††une représentation V, du groupe de Galois absolù G , un ϕ−moduleD (V) surE et park((t)) K
†conséquence une équation différentielle p−adiqueM (V) surR ;K
• Pour tout corps p−adique L de corps residuel k de caracteristique p > 0, on donne uneL
description des extensions non ramifiées cycliques de L, qui proviennent, par henselianité,
d’une extension finie séparable du corps k .L
Ces résultats passent par l’étude detaillée de la convergence/surconvergence des solutions des
équations solubles sur l’anneau de RobbaR .K
Notre travail commence par l’introduction d’une nouvelle classe d’exponentielles de type Artin-
Hasse, nommées π−exponentielles qui généralisent la bien connue exponentielle de Dwork
exp(π T) (1.1.3)0
p−1où π est une racine du polynôme X =−p. Ces exponentielles sont solutions d’équations de rang0
un solubles, et reciproquement toute solution d’une équation de rang un soluble est de ce type (après
éventuel changement de base dans le module différentiel).
Les π−exponentielles sont l’outil technique central de l’article et leur étude permet de clarifier
et de décrire très explicitement toute la théorie en rang un.
Remarque 1.2. Afin d’être simple, nous fesons dans cette introduction une suite d’hypothèses, qui
en réalité ne sont pas nécessaires. Les énoncés ne sont donc pas dans leur forme la plus générale.
Les différents définitions et les principals objets qui apparaissent dans cette introduction sont
rapélée dans les premieres chapitres de la thèse.
2000 Mathematics Subject Classification ????6
Resumé detaillé de la Thèse
2. π−exponentielles
Nous fixons une série de Lubin-Tate P(X)∈ Z [[X]] et son groupe de Lubin-Tate G . Parp P
définition la série P(X) vérifie
2 pP(X)≡wX mod X Z [[X]] , P(X)≡X mod p·Z [[X]] (2.0.1)p p
où w∈Z est une uniformisante. Le groupeG (X,Y)∈ Z [X,Y] est l’unique groupe formel pourp P p
lequel P(X) est un endomorphisme. De plus G a une structure canonique de Z−module pourP p
nlaquelle la multiplication par w est donnée par la série P(X). Les points de w −torsion deG sontP
algalors les zéros, de valuation inférieure ou égale à 1, dans une clôture algébrique Q de Q , de lap p
(n)série P (X):=P◦P◦P◦···◦P.| {z }
n fois
n alg (n)Ker(w ):={x∈Q ||x|61, P (x)=0}. (2.0.2)p
Le groupe de Tate associé aG est par définitionP
n+1 nT(G ):=lim Ker(w )−−−−−→Ker(w ) . (2.0.3)P ←− x7→P(x)
On trouve que T(G ) est un Z−module libre de rang un. Un générateur de T(G ) est une suiteP p P
(π ) compatible (i.e. P(π )=0 et P(π )=π , pour tout j>0) tel que π =0 et|π|<1.j j>0 0 j+1 j 0 0
Définition 2.1. Nous fixons un générateur π :=(π ) de T(G ).j j>0 P
pExemple 2.2. Si P(X) =X +pX, alors π est le bien connu “π de Dwork” (cf. 1.1.3).0
Proposition 2.3. Soit L un corps valué complet de caractéristique 0, qui contient les racines
m+1 mp −èmes de l’unité. Soit d = np > 1, avec (n,p) = 1, et m > 0. Soit λ := (λ ,...,λ )∈0 m
m+1
W (O ) un vecteur de Witt. Soit φ=(φ ,...,φ )∈(O ) son vecteur fantôme, i.e.m L 0 m L
j j−1p p jφ :=λ +pλ +···+p λ .j j0 1
Alors, la serie formelle (nommée π−exponentielle) mnp npT Tne (λ,T):=exp π φ T +π φ +···+π φ (2.3.1)d m 0 m−1 1 0 m mp p
converge pour|T| < 1. De plus, elle est surconvergente (i.e. converge pour|T| < 1+ε, avec ε > 0)
si et seulement si|λ|<1, pour tout i=0,··· ,m.i
En particulier, la série
m+1p m+1e (λ,T) =e (p ·λ,T), (2.3.2)d d
est toujours surconvergente.
Exemple 2.4. Pour m=0 et n=1 (i.e. d=1), on trouve
e (λ ,T) =exp(π λ T), (2.4.1)1 0 0 0
p pe (λ ,T) =exp(π λ T) =exp(π pλ T). (2.4.2)1 0 0 0 0 0
Dansl’articleontrouveuneétudedétailléedel’équationdifféréntiellesatisfaiteparuneπ−exponentielle.
−1
Proposition 2.5. L’équation différentielle satisfaite par e (λ,T ) estd
m−1 X ∂ (e (λ,T )) jT d −npL (λ):=∂ − =∂ +n· π ·φ ·T . (2.5.1)d T T m−j j−1e (λ,T )d
j=0
3O
O
/
/
/
/
/
/
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O
/
/
/
O
O
6
O
/
dOu ∂ = T . On définit s,r 6 m respectivement par φ =hφ ,...,φ ,0,...,0i, avec φ = 0, etT 0 s sdT
λ = (λ ,...,λ ), avec|λ|,...,|λ | < 1 et|λ| = 1. Par convention, si|λ| < 1 pour tout i, on0 m 0 r−1 r i
pose r =∞. Alors :
−1– L’opérateur L (λ) est trivial surR (i.e. e (λ,T )∈R ) si et seulement si r =∞, (i.e.d K d K
|λ|,...,|λ |<1).0 m
m−s s– Plus précisement l’irrégularité formelle de L (λ) est égale a d/p = np et l’irregularitéd
r m−rp−adique est égale à d/p =np .
Voici le graphe logarithmique de la fonction
ρ7→Ray(L (λ),ρ)/ρ (2.5.2)d
où Ray(L (λ),ρ) est la rayon de convergence générique en ρ de L (λ) :d d
log(Ray(M,ρ))6
log(ρ)
0← ρ -iXXX r m−rirregularité p−adique= d/p = np

iHH m−s s irregularité formelle = d/p = np
• Dans les notations précédentes, soit k le corps residuel de L. Soit ϕ:O →O un FrobeniusL L L
qui réleve la puissancep−ème dek . Nous dénotons encore parϕ:W(O )→W(O ) le morphismeL L L
d’anneau déduit par fonctorialité.
La proposition suivante dépend fortement de la théorie de Lubin-Tate :
Proposition 2.6. Pour tout λ∈W(O ), la série formelleL
pe (ϕ(λ),T )d
θ (λ,T):= (2.6.1)d e (λ,T)d best surconvergente si et seulement si le groupeG est isomorphe au groupe multiplicatif formelG .P m
Dans ce cas, on peut considérer sa valeur en 1.
Exemple 2.7. Pour d=1 on trouve
pθ (λ ,T)=exp(π (ϕ(λ )T −λ T)). (2.7.1)1 0 0 0 0
pEn particulier, si P(X)=X +pX (i.e. π est le π de Dwork), alors on retrouve la bien connue0
“splitting function” de Dwork (cf. [Dwo62,§4,a)])
pθ (1,T)=exp(π (T −T)). (2.7.2)1 0
3. Une déformation du complexe de Artin-Schreier-Witt dans le complexe de KummerbDorénavant nous supposerons queG est isomorphe àG . Ceci révient a demander que w=p.P m
Les théories de Artin-Schreier-Witt et de Kummer consistent dans la donnée de deux complexes
qui calculent la cohomologie galoisienne.
m+1
px→x
G (L) G (L)char 0 0 0 Kummerm m

char p W (k ) W (k )0 0 Artin-Schreierm L m L
F−1
4
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O
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O
O
O

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O
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O

/
Resumé detaillé de la Thèse
Le théorème suivant “déforme” le complexe de Artin-Schreier-Witt dans celui de Kummer. Les
applications qui déforment un complexe dans l’autre sont la valeur en T = 1 des π−exponentielles
m+1p
m msurconvergents θ (−,T) et e (−,T) .p p
Ce théorème constitue l’analogue d’une partie de la théorie de Sekigichi-Suwa (cf. [SS94]).
sep ϕ=1alg ϕThéorème 3.1. Posons G := Gal(L /L), G := Gal(k /k ) etO :={a∈O | a = a}.L k L LL L L
On a un diagramme commutatif
δKum 11→μ × ×m+1 H (G ,μ m+1)p L L L pm+1
px7→x
m+1pθ m(−,1)p e m(−,1)p
ϕ=1
o W (O ) W (O ) eW (O ) m mm L LL ϕ−1
1 m+1m+1 W (k ) W (k ) H (G ,Z/p Z)0→Z/p Z m mL L kL¯ δF−1
¯ moù F est le Frobenius deW (k ). De plus, θ (−,1) induit une identificationm pL
∼−1 m+117→ξ : Z/p Z−−→μ m+1 , (3.1.1)m p
m+1où ξ est l’unique racine p −ème de 1 tel que|(ξ −1)−π |<|π |.m m m m
Exemple 3.2. La dernière partie de ce théorème généralise le fait bien connu que la fonction
psurconvergente θ (1,T)=exp(π (T −T)) a pour valeur en T =1 l’unique racine p−ème de l’unité1 0
−1ξ qui vérifie|ξ −1−π|<|π| (cf. ex.2.7).0 0 00
Ceci permet de donner la description suivante des extensions cycliques non ramifiées de L dont
l’ordre est une puissance de p :
0 1Corollaire 3.3. Soit λ∈ W (k ). Soit k /k l’extension définie par λ. Alors l’extension nonm L L
0 0ramifiée L de L correspondante à k est donnée par
0L =L(θ m(ν,1)), (3.3.1)p
sep
0 ¯où ν∈W (O ) est une relèvement arbitraire d’une solution ν, dansW (k ), de l’équationm L m L
¯F(ν¯)−ν¯ =λ. (3.3.2)
Exemple 3.4. Si m=0, alors la suite de Artin-Schreier est
δ 10→Z/pZ→k −−−−−→k −−→H (G ,Z/pZ)→0, (3.4.1)L L kLpν7→ν −ν
0 sep¯ ¯Si λ∈k , alors l’extension k /k définié par λ est, par définition, le sous-corps de k stabilisé parL L
0 sep p ¯le noyau de δ(λ) et est égale à k = k (ν¯), où ν¯∈ k est une racine de l’équation ν¯ −ν¯ = λ.L
0L’extension de L/L est alors donnée par
0 pL =L(θ (ν,T) )=L(exp(π (ϕ(ν)T −νT)) ). (3.4.2)1 0| |T=1 T=1
¯Remarque 3.5. Le corollaire 3.3 n’est pas entièrement explicite car il necessite le calcul deν. Nous
† †allons voir que, bien queE ne soit pas complèt, ce corollaire s’applique aussi au cas L=E . Dans
K K
ce cas nous aurons une description meilleure qui dépend uniquement de λ, et ne nécessite pas le
calcul de ν (cf. 5.2). En effet on remarque qu’on a l’identité
m+1 m+1p p
m mθ (ν,1) =e (λ,1) . (3.5.1)p p
1 0 m+1Rappelons que l’extension k est par définition le corps fixé par le noyau du caractère δ(λ) :G →Z/p Z, où δkL
est le morphisme cohomologique de Artin-Schreier-Witt défini dans le diagramme du théorème 3.1.
5m m mAu contraire, l’écriture θ (ν,1)=e (λ,1) n’a pas de sens car la série e (λ,T) n’est pas surcon-p p p

vergente et on ne peut pas prendre sa valeur en T =1. Dans le cas du corpsE nous allons donnerK
un sens au symbole e m(λ,1) pour une classe de vecteursλ qui est suffisamment grande pour décrirep
†toutes les extensions non ramifiée deE qui proviennent par henselianité d’une extension séparable
K
de son corps residuel k((t)) (voir théorème 5.2).
4. Equations différentielles solubles de rang un
dPosons ∂ := T . Les modules différentiels solubles de rang un surR sont, dans une baseT KdT
−1convenable, définis par un équation ∂ −g(T), où g(T)∈ K[T ]. La solution de Taylor à l’infiniT
d’une telle équation s’exprime comme produit de π−exponentielles. Cette solution est l’analogue
de l’élément θ m(ν,1) du corollaire 3.3. Remarquons que le diagramme du théorème 3.1 donnep
l’équation
m+1 m+1p p
m mθ (ν,1) =e (λ,1) . (4.0.2)p p
mBien que la série entière e (λ,T) ne soit pas en général surconvergente, cette remarque justifie lap
définition suivante
−− −
Définition 4.1. Soit m > 0 et soit f (T) := (f (T),...,f (T)) un vecteur de Witt dans0 m
−1 −1
W (T O [T ]). Soit (φ (T),...,φ (T)) son vecteur fantôme. Nous posonsm K 0 m
φ (T) φ (T)1 m−
me (f (T),1):=exp π φ (T)+π +···+π . (4.1.1)p m 0 m−1 0 mp p
− −1 −1
m• La série formelle e (f (T),1) appartient à 1 + π T O [[T ]], et est donc convergentep m K
pour|T|>1.
− −• Sa différentielle logarithmique g(T) := ∂ (e m(f (T),1))/e m(f (T),1) est un polynôme enT p p
−1T sans terme constant. On pose
−L(f (T),0) :=∂ −g(T), (4.1.2)T

mcette équation est triviale surR si et seulement si sa solution e (f (T),1) appartient aR .K p K

m• On étudie la série e (f (T),1) en la décomposant en produit fini de π−exponentielles élé-p
mentaires de la forme 2.3.1. On développe le langage qui permet de passer d’une écriture à l’autre.
†−• La fonction e m(f (T),1) est algébrique surR (resp.E ) et est aussi le générateur d’unep K K
†extension de Kummer deE , car on aK
m+1 †− p m+1 −
m me (f (T),1) =e (p ·f (T),1)∈E . (4.1.3)p p K
Plus précisement, on a les résultats suivants qui font le pont entre la théorie de Artin-Schreier-Witt
pour le corps k((t)) et les équations différentielles surR .K
Théorème4.2. ToutmoduledifférentielsolublesurR aunebasedanslaquellel’opérateurassociéK
est défini à l’infini. La solution de Taylor à l’infini de cet opérateur est alors de la forme
a −0T ·e m(f (T),1) (4.2.1)p
− −1 −1pour un m> 0 convenable, un a ∈ Z , et un vecteur de Witt f (T)∈W (T O [T ]), où0 p m Km
K :=K(μ m+1).m p
−Théorème 4.3. La série formelle e m(f (T),1) est surconvergente si et seulement si l’équationp
d’Artin-Schreier-Witt
−¯F(g¯)−g¯ =f (T)∈W (k((t))) (4.3.1)m
6Resumé detaillé de la Thèse
† †sep¯a une solution g∈W (k((t)) ). En particulier si ϕ :E →E est un morphisme d’anneaux quim K K
relève la puissance p−ème de k((t)), alors la série
− − −θ m(f (T),1):=e m(ϕ(f (T))−f (T),1) (4.3.2)p p
− −1 −1est surconvergent pour tout f (T)∈W (T O [T ]).m K
−p −1Exemple 4.4. Si P(X) =X +pX, et si f (T)=T , m=1, alors on retrouve
−1 −1e (T ,1)=exp(π T ), (4.4.1)1 0
†−1 p −1dans ce cas exp(π T ) =exp(π pT )∈E . D’autre part on trouve0 0 K
−1 −p −1θ (T ,1)=exp(π (T −T )). (4.4.2)1 0
sol
Définition 4.5. Soit Pic (R ) le groupe, pour le produit tensoriel, des classes d’isomorphismeK
des modules différentiels de rang un surR . Soit K :=∪ K , où K :=K(π ). Nous posonsK ∞ m>0 m m m[
sol solPic (R ):= Pic (R ). (4.5.1)K K∞ m
m>0
Corollaire 4.6. Soit k le corps résiduel de K . On a∞ ∞
solPic (R )=Z /Z×Hom(I ,Q /Z ) (4.6.1)K p k ((t)) p p∞ ∞
CW(k ((t)))∞
=Z /Z× . (4.6.2)p ¯(F−Id)CW(k ((t)))∞
sol• Le groupe Pic (R ) est le groupe des caractères du groupe de Galois tannakien de laK∞
2catégorie des modules différentiels sur l’anneau deR .K∞
sol• Nous donnons aussi une description du sous-groupe de Pic (R ) formé par les équationsK∞
0qui sont trivialisées par une extension spécialeR deR (i.e. une extension étale finie deR quiK K
“provient” d’une extension finie séparable de k((t)) cf. [Mat02, 5.1]).
4.1 Un critère de solubilité
Nous obtenons un critère de solubilité pour les équations différentielles de rang un à coefficients
dansR , sans avoir besoin de passer à K .K ∞P
iThéorème 4.7. Soit g(T) = a T ∈R . Alors l’équation différentielle ∂ −g(T) est solublei K Ti∈Z
si et seulement si, pour tout entier n premier à p, les vecteurs a a a 2 a a a 2−n −np −np n np np
− ,− ,− ,... , , , ,...
n n n n n n
sont les vecteurs fantômes de vecteurs de Witt λ = (λ ,λ ,...) et λ = (λ ,λ ,...) qui−n −n,0 −n,1 n n,0 n,1
appartiennentàW(O ).Trèsexplicitement∂ −g(T) estsolublesietseulementsipourtoutcoupleK T
(n,m)∈Z×N, avec n premier a p, ils existent λ ∈O , de telle sorte quen,m K
m m−1p p m
ma = −n·φ := −n·(λ +pλ +···+p λ ),−np −n,m −n,m−n,0 −n,1
m m−1p p ma m = n·φ := n·(λ +pλ +···+p λ ).np n,m n,mn,0 n,1
• On remarque que si l’on considère une famille arbitraire de vecteurs{λ ,λ } dans−n n (n,p)=1
W(O ), et si l’on forme la série formelleK XX
mnpg(T) := nφ T ,n,m
n∈Zm>0
2 Remarquons que le corps K n’est pas complet. L’anneauR est alors défini parR :=R ⊗ K . De cette∞ K K K K ∞∞ ∞
façon tout module différentielle surR provient, per extension des scalaires, d’un module surR , pour un KK K m∞ m
convenable.
7il n’est pas vrai en général que cette série soit dansR , ni qu’elle converge sur une couronne. NousK
donnons une caractérisation des familles{λ ,λ } pour lesquelles cette série est bien dans−n n (n,p)=1
R .K
Le théorème précédent donne alors le corollaire suivant
Corollaire 4.8. Si K est non ramifié surQ , alors toute équation différentielle soluble de rang unp
surR est modérée (i.e. isomorphe à une equation du type ∂ −a , avec a ∈Z ).K T 0 0 p
5. Calcul explicite du foncteur de monodromie pour les caractères
Supposons que k soit un corps parfait de caractéristique p>0. Soit Λ/Q une extension finie dep
r m+1corps résiduelF , avec q =p , qui contient les racines p −èmes de 1. Nous supposons de plus queq
rΛ est munie d’un Frobenius σ :Λ→Λ qui relève la puissance p−ième deF , et tel que σ =Id et0 q Λ0
rσ (π )=π . Nous notons encore par σ (resp. σ) le Frobenius σ ⊗F (resp. Id⊗F ) sur l’anneau0 m m 0 0
K :=Λ⊗ W(k).
W(F )q
† † † †Notons parO l’anneau des entiers du corpsE . Nous fixons donc un Frobenius ϕ :O →O0K K K K
rqui prolonge σ :K→K. Alors ϕ et ϕ:=ϕ s’étendent de manière unique à toute extension finie0 0 0
†non ramifié deE .
K
• Soit G le groupe de Galois absolu du corps k((t)). Pour tout caractèrek((t))
×α :G →Λ ,k((t))
notons V la représentation de G donnée dans une basee∈V parα αk((t))
γ(e):=α(γ)·e, pour tout γ∈G .k((t))
Si maintenant
m+1α :G →Z/p Zk((t))
est un caractère, et si ξ est la racine définie dans le théorème 3.1, nous notons encore par V lam α
représentation obtenue par composition ı◦α :G →μ oum+1k((t)) p
∼m+1ı : 17→ξ : Z/p Z−−→μ m+1 . (5.0.1)m p
††• Notons parD (V ) le ϕ−module surE défini parα K
†,unr† Gk((t))(D (V ), ϕ ):=((V ⊗ E ) , 1⊗ϕ).†α α ΛD (V ) Kα
† †L’application 1⊗∂ est alors une connection surD (V ). Nous notons parM (V ) l’équation dif-T α α
férentielle de rang un surR ainsi définie.K
ab• L’abélianisé G se décompose commek((t))
ab ab abG =I ⊕G ,k((t)) k((t)) k
où G est le groupe de Galois absolu de k. Ceci implique que tout caractère α de G est produitk k((t))
d’un caractère α deI avec un caractère α de G . En termes de représentations ceci s’exprime− 0k((t)) k
en disant que
V =V ⊗V . (5.0.2)α α α− 0
†On trouve queM (V )=0.α0
8Resumé detaillé de la Thèse
ab•Soitmaintenantα :I →Λuncaractèreavecimage finie.Alorslegroupeabélienα(I )⊆k((t)) k((t))
† †μ se décompose en un produit de groupes cycliques. Pour calculerD (V ) etM (V ), on peutα αn
alors supposer que α est un caractère cyclique, c’est à dire que :
α :I →μ m (5.0.3)k((t)) `
où ` est un nombre premier.
m1/`• Pour ` premier a p on trouve que l’extension définie par le noyau de α est k((t )), et alors
m m1/` 1/`on a α(γ)=γ(t )/t pour tout γ∈I :k((t))
m m1/` 1/`γ(e):=γ(t )/t ·e.
m †1/`On relève, par hensélianité, k((t )) en une extension kummérienne deE , dont un générateur de
K
m †1/`kummer est donné visiblement par T . Donc une base deD (V ) est donnée parα
m †,unr−1/` Gk((t))e⊗T ∈(V ⊗ E ) . (5.0.4)α Λ K
On calcule alors facilement la matrice du Frobenius et de la connexion :
m m m m−1/` 1/` −1/` −1/`(1⊗ϕ)(e⊗T )=T ϕ(T )·(e⊗T ), (5.0.5)
m m−1/` m −1/`(1⊗∂ )(e⊗T )=−1/` ·(e⊗T ). (5.0.6)T
mEn particulier l’équation différentielle est L(0,a ), avec a =1/` (cf. 4.1.2).0 0
mLe cas `=p est traité dans le paragraphe suivant.
5.1 Cas de la p−torsion
Pour `=p on rencontre le problème technique de trouver un générateur de Kummer explicite de
†l’extension non ramifiée deE attachée a une extension finie séparable de k((t)) cyclique de degréeK
mp . Ce problème est résolu par le corollaire 3.3. De plus l’équation 4.0.2 montre comment décrire
ml’élement θ (ν,1). On obtient donc les théorèmes 5.2 et 5.4.p
Définition 5.1. Soit f(t) = (f (t),...,f (t)) ∈ W (k((t))) un vecteur de Witt. Si f (t) =0 m m iP P−i ia¯ t , nous posons f (t):= a¯ t eti in>n i n6n6−1i i
− − −
f (t):=(f (t),...,f (t)). (5.1.1)m0
†Le théorème suivant donne une description des extensions Kummeriennes non ramifiées deEK
dont le corps résiduel est une extension d’Artin-Schreier-Witt donnée de k((t)) (i.e. cyclique d’ordre
une puissance de p). Rappelons la suite d’Artin-Schreier-Witt :
¯F−1 δm+1 1 m+10→Z/p Z→W (k((t)))−→W (k((t)))−→H (G ,Z/p Z)→0 (5.1.2)m m k((t))
Théorème 5.2. Soit f(t)∈W (k((t))) et soit α = δ(f(t)) le caractère de Artin-Schreier-Wittm
0 0 † 0défini par f(t). Soit k ((t)) l’extension finie séparable de k((t)) fixée par le noyau de α. Soit (E )
† 0 0l’extension non ramifiée deE obtenue par hensélianité de k ((t)). Alors on aK
†† 0 −
m(E ) =E (e (f (T),1) ), (5.2.1)0 pK
0 0 − −1 −1ouK estl’extensionnonramifiéedeK attachéeparhenselianitéak /k,etf (T)∈W (T O [T ])m K
−est un relèvement arbitraire de f (t).
− −−1Exemple 5.3. 1.– Si m=0, etf (T)=T , alors, commef (T) n’a pas de terme constant, alors
0 0 0l’extension k ((t))/k((t)) est totalement ramifié (i.e. on a k =k). Plus précisement l’on a
1 1 1 0 0− = , k((t))=k((t))[t]. (5.3.1)
0 p 0(t) t t
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†† 0 0L’extension non ramifiée (E )/E qui correspond a k((t)) est donnée parK
1 1 1 †† 0 0− = , (E ) =E [T ]. (5.3.2)
K0 p 0(T ) T T
Mais, par le théorème 5.2, elle peut s’exprimer comme
†† 0 −1(E ) =E (exp(π T )). (5.3.3)0K
†† 02.– On remarque que (E ) etE sont isomorphes par l’isomorphisme (non canonique) donné par
K
0 −1 0T7→T . Si l’on exprime exp(πT ) dans la nouvelle variable T on trouve (cf. 5.3.2)
−1 0 −p 0 −1 0 −1exp(πT )=exp(π ((T ) −(T ) ))=θ((T ) ,1) (5.3.4)
et l’on a donné un sens à l’égalité
m me (λ,1)=θ (ν,1) (5.3.5)p p
qu’on avait envisagée dans 3.5.1.
Théorème 5.4. Soit f(t)∈W (k((t))) et soit α = δ(f(t)) le caractère de Artin-Schreier-Wittm
défini par f(t). Alors
†i) Une base deD (V ) est donnée parα
e⊗θ m(ν,1), (5.4.1)p
unrboù ν∈W (E ) est une solution de l’équationm K
ϕ (ν)−ν =f(T), (5.4.2)0
−1où f(T)∈W (O [[T]][T ]) est un relèvement arbitraire de f(t);m K
ii) Le Frobenius ϕ agit sur V , et l’on a0 α
m m mϕ e⊗θ (ν,1) =θ (f(T),1)· e⊗θ (ν,1) . (5.4.3)0 p p p
Donc, si
r−1Tr(f(T)):=f(T)+ϕ (f(T))+···+ϕ (f(T)),0 0
alors
m m mϕ e⊗θ (ν,1) =θ (Tr(f(T)),1)· e⊗θ (ν,1) ; (5.4.4)p p p
†iii) Laclassed’isomorphismedeM (V )dépendseulementducaractèreα etlemoduledifférentielα −
† −
M (V ) est isomorphe au module différentiel défini par l’opérateur L(f (T),0) (cf. 4.1.2) oùα
− −−1 −1f (T)∈W (T O [T ]) est un vecteur de Witt arbitraire qui relève f (t).m K
†iv) L’irrégularité deM (V ) est égale au conducteur de Swan de la représentation V .α α
sepExemple 5.5. Soit α : Gal(k((t)) /k((t))) −→ Z/pZ le caractère de Artin-Schreier défini par
−1 p −1t ∈k((t)). Si y est une solution de l’équation y −y =t , alors on a
sepα(γ) =γ(y)−y∈F , pour tout γ∈Gal(k((t)) /k((t))). (5.5.1)p
sepNotons encore par α : Gal(k((t)) /k((t)))−→ μ le morphisme obtenu par composition avecp
p5.0.1. Dans cet exemple Λ=Q (ξ ), avec ξ =1, ξ =1, etp 0 00
σ =σ =Id ⊗F (5.5.2)0 Λ
pϕ (T) =ϕ(T)=T (5.5.3)0
−α =α (5.5.4)
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