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´ ´ ´UNIVERSITE DE LA MEDITERRANEE´FACULTE DES SCIENCES DE LUMINY´ ´ECOLE DOCTORALE DE MATHEMATIQUES ET INFORMATIQUE E.D. 184`THESEpr´esent´ee pour obtenir le grade de´ ´ ´Docteur de l’Universite de la MediterraneeSp´ecialit´e : Math´ematiquesparNathalie LAGIERsous la direction du Pr. Patrick DELORMETitre :TERME CONSTANT DE FONCTIONS SUR UN ESPACE´ ´SYMETRIQUE REDUCTIF P-ADIQUEsoutenue publiquement le 13 juin 2007JURYM. Joseph BERNSTEIN Tel Aviv University RapporteurM. Jacques CARMONA Universit´e de la M´editerran´ee ExaminateurM. Patrick DELORME Universit´e de la M´n´ee DirecteurM. Guy HENNIART Universit´e Paris-Sud RapporteurM. Jean-Pierre LABESSE Universit´e de la M´editerran´ee Examinateur´M. David RENARD Ecole Polytechniqueateur´ ´ ´UNIVERSITE DE LA MEDITERRANEE´FACULTE DES SCIENCES DE LUMINY´ ´ECOLE DOCTORALE DE MATHEMATIQUES ET INFORMATIQUE E.D. 184`THESEpr´esent´ee pour obtenir le grade de´ ´ ´Docteur de l’Universite de la MediterraneeSp´ecialit´e : Math´ematiquesparNathalie LAGIERsous la direction du Pr. Patrick DELORMETitre :TERME CONSTANT DE FONCTIONS SUR UN ESPACE´ ´SYMETRIQUE REDUCTIF P-ADIQUEsoutenue publiquement le 13 juin 2007JURYM. Joseph BERNSTEIN Tel Aviv University RapporteurM. Jacques CARMONA Universit´e de la M´editerran´ee ExaminateurM. Patrick DELORME Universit´e de la M´n´ee DirecteurM. Guy HENNIART Universit´e Paris-Sud RapporteurM. Jean-Pierre LABESSE Universit´e de la M´editerran´ee Examinateur´M. David ...
Publié le : samedi 24 septembre 2011
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´ ´ ´ UNIVERSITE DE LA MEDITERRANEE ´ FACULTE DES SCIENCES DE LUMINY ´ ´ ECOLE DOCTORALE DE MATHEMATIQUES ET INFORMATIQUE E.D. 184
` THESE
presentee pour obtenir le grade de ´ ´ DocteurdelUniversite´delaMe´diterrane´e Sp´ecialite´:Mathe´matiques
par Nathalie LAGIER
sous la direction du Pr. Patrick DELORME
Titre : TERME CONSTANT DE FONCTIONS SUR UN ESPACE ´ ´ SYMETRIQUE REDUCTIF P-ADIQUE
soutenue publiquement le 13 juin 2007
JURY
M. Joseph BERNSTEIN Tel Aviv UniversityRapporteur M.JacquesCARMONAUniversit´edelaM´editerrane´eExaminateur M.PatrickDELORMEUniversite´delaM´editerrane´eDirecteur M.GuyHENNIARTUniversite´Paris-SudRapporteur M.Jean-PierreLABESSEUniversit´edelaMe´diterran´eeExaminateur ´ M. David RENARD Ecole PolytechniqueExaminateur
´ ´ ´ UNIVERSITE DE LA MEDITERRANEE ´ FACULTE DES SCIENCES DE LUMINY ´ ´ ECOLE DOCTORALE DE MATHEMATIQUES ET INFORMATIQUE E.D. 184
` THESE
pr´esente´epourobtenirlegradede DocteurdelUniversit´eM´ed´ de la iterranee Sp´ecialit´e:Math´ematiques
par Nathalie LAGIER
sous la direction du Pr. Patrick DELORME
Titre : TERME CONSTANT DE FONCTIONS SUR UN ESPACE ´ ´ SYMETRIQUE REDUCTIF P-ADIQUE
soutenue publiquement le 13 juin 2007
JURY
M. Joseph BERNSTEIN Tel Aviv UniversityRapporteur M.JacquesCARMONAUniversite´delaMe´diterran´eeExaminateur M.PatrickDELORMEUniversit´edelaM´editerrane´eDirecteur M.GuyHENNIARTUniversite´Paris-SudRapporteur M.Jean-PierreLABESSEUniversit´edelaM´editerran´eeExaminateur ´ M. David RENARD Ecole PolytechniqueExaminateur
Remerciements.
Je voudrais tout d’abord remercier Patrick DELORME pour son implication, sa disponi-bilit´eetsescomp´etencesquimontpermisdemener`abiencetravail. Jetiense´galementa`remercierJosephBERNSTEINpourlade´monstrationdulemme ´ 1etsoninte´reˆtpourcetravail,VincentSECHERREpoursescorrectionsetsapa-tience,Jean-PierreLABESSEpoursesd´ebloquagesinformatiquesainsiqueJacques CARMONA pour son attention, son sourire timide et encourageant, depuis le DEA. JeremercieGuyHENNIARTdavoirrapport´ecetteth`esedanslesmeilleursd´elaiset denavoirfaitunelectureapprofondie.JeremercieDavidRENARDdavoiraccepte´ dˆetremembredemonjury. Enn,jeremercielepersonneldelascolarite´quimaaide´edansmesd´emarches,no-tamment Madame TASTAYRE et Madame TINEL ainsi que Madame LOZINGOT de l’IML. Jede´diecetteth`ese`amesparentsquimonttransmissusammentdassuranceetde libert´epouraimerlesportautantquelesheuresa`monbureau,U2autantquePierre Bachelet,J.M.GLeCl´ezioautantquePythagore...
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Tabledesmati`eres.
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Introduction ............................................................................................................... Notations et rappels.................................................................................................... Modules de Jacquet et vecteurs-distributions............................................................. Majorations................................................................................................................. Un analogue d’un lemme de Langlands...................................................................... Unepropri´et´edelade´compositiondeCartan............................................................ Appendice...................................................................................................................
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4 9 15 28 40 52 55
Abstract: We generalize Casselman’s pairing top-adic reductive symmetric spaces and study the asymptotic behaviour of certain generalized coefficients. We also prove an analogue of a lemma due to Langlands which allows us to prove a disjunction result for the Cartan decomposition of thep-adic reductive symmetric spaces. Re´sume´Cadeelssaldu´eit-anamsexug´ensunessonabliedalitnoilase´arte´suoN: pacessym´etriquesr´eductifspqieuesnt-daeutoqidute´suoocelsnoimeteormpptymasnt decertainscoecientsge´n´eralise´s.Nousprouvonsaussiunanaloguedunlemmede Langlandsgrˆaceauquelnousobtenonsunr´esultatdedisjonctiondecertainesparties delad´ecompositiondeCartandesespacessyme´triquesre´ductifsp-adiques.
0 Introduction 0.1 Nouspre´sentonsicidesr´esultatsdanalyseharmoniquesurlesespacessyme´triques re´ductifsp-adiques. SoitFonlacolsprocnuacarert´tiise0qucran´miheidecedn (lhypoth`esedecaract´eristique0e´tantfaiteenparticulierpourutiliserlesre´sultats de [BD]). SoitGle groupe des points surFnsirunnexed´eductifcopuore´redgnuF et soitσnuruseine´dellennioatnrioutolnveiFitneqteoueuL.rbqilg´eupeaegrodec du groupeGpar le groupeHdes points surFd’un sous-groupe ouvert du groupe des points fixes deσestappel´eespace´mysirtereuqude´ifctpifducter´eroupad-ueiqng.UG peuteˆtrevucommeunespacesym´etriqueenconside´rantlinvolutiondeG×Gdno´nee par l’inversion des facteurs. Harish-Chandraade´montre´laformuledePlancherelpourlesgroupesre´ductifsr´eels [H-C]etlesgroupesr´eductifsp-adiques (cf. [Wald]). La formule de Plancherel pour les espacessyme´tri´ductifsr´eelsa´et´ee´tabliepardeuxm´ethodesdi´erentesparE.P. ques re van den Ban et H. Schlichtkrull d’une part et P. Delorme d’autre part (cf. [BSD] pour unepre´sentationdesdeuxm´ethodes). Lesfonctionssph´eriquessurcertainsespacessyme´triquesre´ductifsont´et´e´etudie´es(cf. [Hi],[HiSat],[O]).Lanalyseharmoniquesurlesespacessym´etriquesr´eductifsp-adiques g´en´erauxenesta`sesde´buts.Ondisposeder´esultatsdestructure(cf.[HWan],[HH]). On noteG/Hftiucedr´ueiqrte´mysecapsenup-adique. P. Blanc et P. Delorme ont con-struitdesfamillesrationnellesdeformeslin´eairesH-invariantes sur les representations ´ paraboliquement induites (cf. [BD], voir aussi paragraphe 0.3). Enfin on dispose d’une d´ecompositiondetypeCartandesespacessyme´triq´dctifsp [BeO],-adiques (cf. ues re u [DS], voir aussi (0.4)). Nosr´esultatsportentdabordsurlanaloguepourlesespacessyme´triquesr´eductifsde ladualit´edeCasselman(cf.[C]). On dit quePest unσ-sous-groupe parabolique siPest un sous-groupe parabolique de ¯ Gtel quePetP:=σ(PgrLepeousopp.se´ios)otneM=Pσ(P) est le sous-groupe de Leviσ-stable deP (. Soitπ, Vtnese´rpsilnoitarene)umissseaddeibleG toute. A formeline´aireH-invarianteξsur (π, Vno,)ossaiaercieuneformelin´eMH-invariante, jP(ξ), sur le module de Jacquet le long dePde (π, Vthf.or´eme`e.C1)c()reemcepit
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