Mécanique des milieux continus de formations

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MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUSDEFORMATIONSCadre généralFormulation eulérienne en vitessesTenseur gradient des vitesses de déplacementTenseurs taux de déformation et de rotationIntégration dans le tempsFormulation en déplacementsTenseur des dilatationsDilatation dans une directionAngle entre deux directionsTenseur des déformations de Green-LagrangeDEFORMATIONSTenseur des déformations d’Euler-AlmansiHypothèse des petites perturbationsTenseur gradient des déplacementsDéformation et rotation de corps solideDilatation volumiqueÉquations de compatibilitéMesure des déformationsConditions aux limitesBilanRésuméMECANIQUE DES MILIEUX CONTINUSComment décrire la transformation de ce solide ?DEFORMATIONSCadre géénnééralFormulation eulérienne en vitessesTenseur gradient des vitesses de déplacementTenseurs taux de déformation et de rotationIntégration dans le tempsFormulation en déplacementsTenseur des dilatationsDilatation dans une directionAngle entre deux directionsTenseur des déformations de Green-LagrangeTenseur des déformations d’Euler-AlmansiHypothèse des petites perturbationsTenseur gradient des déplacementsDéformation et rotation de corps solideDilatation volumiqueÉquations de compatibilitéMesure des déformationsConditions aux limitesBilanRésuméIl faut utiliser : - un déplacement de corps solide- une déformation- une rotationMECANIQUE DES MILIEUX CONTINUSDEFORMATIONSCadre généralFormulation eulérienne en vitessesTenseurr ...
Publié le : samedi 24 septembre 2011
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DEFORMATIONS
Cadre général
Formulation eulérienne en vitesses Tenseur gradient des vitesses de déplacement Tenseurs taux de déformation et de rotation Intégration dans le temps
Formulation en déplacements Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Angle entre deux directions Tenseur des déformations de Green-Lagrange Tenseur des déformations dEuler-Almansi
Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Conditions aux limites
Bilan Résumé
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
DEFORMATIONS
DEFORMATIONS
Cadre général Formulation eulérienne en vitesses Tenseur gradient des vitesses de déplacement Tenseurs taux de déformation et de rotation Intégration dans le temps Formulation en déplacements Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Angle entre deux directions Tenseur des déformations de Green-Lagrange Tenseur des déformations dEuler-Almansi Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Conditions aux limites Bilan Résumé
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
Comment décrire la transformation de ce solide ?
Il faut utiliser : - un déplacement de corps solide - une déformation - une rotation
DEFORMATIONS
Cadre général Formulation eulérienne en vitesses Tenseur gradient des vit e s ses de déplacement Tenseurs taux de déformation et de rotation Intégration dans le temps Formulation en déplacements Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Angle entre deux directions Tenseur des déformations de Green-Lagrange Tenseur des déformations dEuler-Almansi Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Conditions aux limites Bilan Résumé
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
C 0
P
X
x
C(t)
v P
v+dv
vitesse d'un point : v( x , t) . vitesse autour du point P : dv = grad X (v).dX = grad X (v).F -1 .dx = F.F -1 .dx . Tenseur gradient des vitesses de déplacement : L = F.F -1
DEFORMATIONS
Cadre général Formulation eulérienne en vitesses Tenseur gradient des vitesses de déplacement T enseu r s taux de déform a t i o n et  d e  r o t a t i o n Intégration dans le temps Formulation en déplacements Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Angle entre deux directions Tenseur des déformations de Green-Lagrange Tenseur des déformations dEuler-Almansi Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Conditions aux limites Bilan Résumé
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
Tenseur « taux de déformation »  
D = ½ (L+L t )
Tenseur « taux de rotation »
Ω = ½ (L-L t )
L = D+ Ω
DEFORMATIONS Cadre général Formulation eulérienne en vitesses Tenseur gradient des vitesses de déplacement Tenseurs taux de déformation et de rotation Intégrat i on dans le temps Formulation en déplacements Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Angle entre deux directions Tenseur des déformations de Green-Lagrange Tenseur des déformations dEuler-Almansi Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Conditions aux limites Bilan Résumé
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
Comment intégrer dans le temps les tenseurs taux de déformation et de rotation ?
C0 C( Δ t) C(2 Δ t) etc…
La configuration est actualisée à la fin de chaque incrément de temps
Configuration « lagrangienne réactualisée »
DEFORMATIONS
Cadre général Formulation eulérienne en vitesses Tenseur gradient des vitesses de déplacement Tenseurs taux de déformation et de rotation Intégration dans le temps Formulation en déplacements T enseur des dilatations Dilatation dans une direction Angle entre deux directions Tenseur des déformations de Green-Lagrange Tenseur des déformations dEuler-Almansi Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Conditions aux limites Bilan Résumé
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
C 0
P
dY dX
C(t) dydx P
dx . dy = dX . F t .F . dY
C : tenseur des dilatations
DEFORMATIONS
Cadre général Formulation eulérienne en vitesses Tenseur gradient des vitesses de déplacement Tenseurs taux de déformation et de rotation Intégration dans le temps Formulation en déplacements Tenseur des dilatations D il a ta t io n dans une direc tion Angle entre deux directions Tenseur des déformations de Green-Lagrange Tenseur des déformations dEuler-Almansi Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Conditions aux limites Bilan Résumé
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
C 0
P
dX
N X
C(t)
dx P
Dilatation λ (ou changement de longueur) dans la direction N X :
= λ (N X ) || dx || / || dX || = N X .C.N X
DEFORMATIONS
Cadre général Formulation eulérienne en vitesses Tenseur gradient des vitesses de déplacement Tenseurs taux de déformation et de rotation Intégration dans le temps Formulation en déplacements Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction A ng l e e ntre deux directions Tenseur des déformations de Green-Lagrange Tenseur des déformations dEuler-Almansi Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Conditions aux limites Bilan Résumé
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
C 0 dY P
dX
N Y
N X
α ?
C(t) dydx P
Glissement (ou changement dangle α ) entre les directions N X et N Y :
cos( α (N X, N y )) = dx . dy / || dx || || dy || = N X .C.N Y / λ (N X ) λ (N Y )
DEFORMATIONS
Cadre général Formulation eulérienne en vitesses Tenseur gradient des vitesses de déplacement Tenseurs taux de déformation et de rotation Intégration dans le temps Formulation en déplacements Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Angle entre deux directions T enseur des déformatio n s  d e  G r e e n -L a g r a n ge Tenseur des déformations dEuler-Almansi Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Conditions aux limites Bilan Résumé
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
C 0
P
dY dX
C(t) dydx P
dx . dy = dX . C . dY = dX . dY + 2dX . E . dY
tenseur de Green-Lagrange : E = ½ (C-I) = ½ (F t F-I)
DEFORMATIONS
Cadre général Formulation eulérienne en vitesses Tenseur gradient des vitesses de déplacement Tenseurs taux de déformation et de rotation Intégration dans le temps Formulation en déplacements Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Angle entre deux directions Tenseur des déformations de Green-Lagrange Tenseur des déformations dEuler-Almansi Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Conditions aux limites Bilan Résumé
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
C 0
P
dY dX
C(t) dydx P
dx . dy = dX . C . dY = dX . dY + 2dx . e . dy
tenseur dEuler-Almansi : e = ½ (I-C -1 ) = ½ (I-F -t F -1 )
DEFORMATIONS
Cadre général Formulation eulérienne en vitesses Tenseur gradient des vitesses de déplacement Tenseurs taux de déformation et de rotation Intégration dans le temps Formulation en déplacements Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Angle entre deux directions Tenseur des déformations de Green-Lagrange Tenseur des déformations dEuler-Almansi Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Conditions aux limites Bilan Résumé
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
F = I + grad(u)
faibles changements de forme : F -1 I – grad(u) . identification de C 0 et C(t) : F grad X (v)
L = grad X (v)
a 2
état courant
d 11 = 0 d 12 > 0 d 21 = 0 d 22 = 0 a 1
état initial
d = grad X (u) ou d ij = u i,j
évolution de la composante u i du déplacement le long de la direction x j de l espace
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