Mip-winserver5 mhvignal$ enseignement cours-td-L1 2007-2008 IM coursIM

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Luc Mieussens et Marie-H´el`ene VignalOption Informatique et Math´ematiquesPartie math´ematique2007-2008SUITES NUMERIQUESNous nous sommes tr`es largement inspir´es du polycopi´e de Jean-Pierre Dedieu et Jean-ClaudeYakoubsohn ´ecrit pour le L1 CIMP.11 D´efinition des suitesD´efinition 1 Une suite de nombres r´eels est une applicationU : IN →IR.On note traditionnellement U au lieu de U(n) l’image de n par U. De plus U est appel´e len nterme de rang n de la suite ou le terme g´en´eral de la suite.Notation 1 L’application est compl`etement d´etermin´ee par la donn´ee de tous lesU , ainsi onnnoteU = (U ) = (U ) = (U ) l’application donc la suite.n n n∈IN n n≥0On peut d´efinir une suite de diff´erentes mani`eres :- en donnant explicitement sa valeur en fonction de n,- `a l’aide d’une relation de r´ecurrence.Nous illustrons ceci par des exemples classiques :Exemple 1 Suite donn´ee en fonction de n :2U =n +4, pour tout n∈IN.n2On note (U ) = (n +4) .n n≥0 n≥0Exemple 2 Suites r´ecurrentes lin´eaires d’ordre 1.– Suites arithm´etiques : (U =U +b, ∀n≥ 0n+1 nU ∈IR donn´e,0ou` b∈IR est donn´e et s’appelle la raison de la suite (U ) .n n≥0– Suites g´eom´etriques ( U =qU , ∀n≥ 0n+1 nU ∈IR donn´e,0ou` q∈IR est donn´e et s’appelle la raison de la suite (U ) .n n≥0Exemple 3 Suites r´ecurrentes lin´eaires d’ordre 2.(U =aU +bU , ∀n≥ 0n+2 n+1 nU ,U ∈IR donn´es,0 1ou` a,b∈IR sont donn´es.Exemple 4 Suites r´ecurrentes non lin´eaires d’ordre 1( U =f(U ), ∀n≥ 0n+1 nU ...
Publié le : vendredi 23 septembre 2011
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LucMieussensetMarieHe´l`eneVignal
OptionInformatiqueetMath´ematiques
Partiemath´ematique
20072008
SUITES NUMERIQUES
Nousnoussommestr`eslargementinspir´esdupolycopie´deJeanPierreDedieuetJeanClaude Yakoubsohne´critpourleL1CIMP.
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De´nitiondessuites
D´enition1bromr´esitsuenedenUationenpalpcieeslseutU:INIR. On note traditionnellementUnau lieu deU(n)l’image denparU. De plusUnlteappel´ees terme de rangneng´meerelldra´e.etiusaalusedlutetioe
Notation 1rmte´einarepdolae´nntedelsuoseLapplicationestocpm`ltemenedte´Un, ainsi on noteU= (Un) = (Un)nIN= (Un)n0l’application donc la suite.
Onpeutd´enirunesuitededi´erentesmanie`res:  en donnant explicitement sa valeur en fonction den, a`laidedunerelationder´ecurrence. Nous illustrons ceci par des exemples classiques :
Exemple1deno´neeneofcniteSduniotn:
2 Un=n+ 4,
2 On note(Un)n0= (n+ 4)n0.
pour toutnIN.
Exemple 2uiteSrdoreai´esdreetnenilse´rsrruc1. Suitesarithm´etiques: ( Un+1=Un+b,n0 U0IRdonn´e, ou`bIRsedtno´nleelralatseeppatiusenosialed(Un)n0. Suitesg´eom´etriques ( Un+1=qUn,n0 U0IRond,e´n ou`qIRnne´tespaeplllearaisondelasuiteodtse(Un)n0.
Exemple 3´naeseildrorisedreitSur´esurecntre2. ( Un+2=aUn+1+bUn, U0,U1IResn´ond,
o`ua, bIR´enns.sodont
n0
Exemple 4setice´ruSdreriaerdsononlin´eurrentes1 ( Un+1=f(Un),n0 U0IR,e´nnod
ou`f
:IRIRest une application.
Remarque 1runU´eedien`quarapiuseepetnturteˆng,cest`adirepoitdrucnreatniar nn0>0u`on0INnndoste.´e On note ces suites(Un)nn0ou(Un)bigudamaqpuasillonrsy.tie´ Exemples : 1 1 Un=,n1,Un=,n2, n n(n1) 1 Un=,n3. n(n1) (n2)
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Op´erationssurlessuites
D´enition2Ois`dcnnouesxredeteui´esrleels(Un)n0et(Vn)n0. 1. On dit que(Un)n0et(Vn)n0sont identiques si pour toutnIN, on aUn=Vn. 2.Onde´nitlasommedessuites(Un)n0et(Vn)n0par la suite(Wn)n0do´ennpera
3
Wn=Un+Vn,
pour toutn0.
On note(Wn)n0= (Un+Vn)n0. 3.Onde´nitleproduitdessuites(Un)n0et(Vn)n0par la suite(Zn)n0rae´peodnn
Zn=UnVn,
pour toutn0.
On note(Zn)n0= (UnVn)n0. 4. SiVn6= 0pour toutnINe,ond´ineqeltitoudtne(Un)n0et(Vn)n0par la suite donne´epar   Un . Vn n0 5. SiλIRduroeptldeit,ine´dno(Un)n0parλ, par(λUn)nIN. 6.Lasuitenulleestnot´ee(0)n0.
Proprie´t´es
´ele´mentairesdessuites
Proprie´t´e1inaicombouteTedediaernie´oslnusxusetietserocnneeuitsuce,t`esdariqeeu pour tousλ,µdansIRiussetuolee´rsetsleetpourt(Un)et(Vn), on a(λUn+µVn)qui est encore une suite. Onditquelensembledessuitesre´ellesmunideladditionetdelamultiplicationparunr´eel est un espace vectoriel.
D´enition3ere`ocnOdisn(Un)n0nditle,oqueenusue´letire 1.(Un)n0est constante s’il existeaIRtel que
Un=a,
nIN.
2.(Un)n0est stationnaire s’il existeaIRetNINtels que
Un=a,
nN.
On dit que(Un)n0rtir`apaanteonstctsegnudarN. 3.(Un)n0eer´ilsstejomasixeetMIRtel que
UnM,
4.(Un)n0etsixelion´reesetsimmIRtel que
Unm,
n0.
n0.
5.(Un)n0etsie´seobnr(Un)n0msiorojaeee´nimt´eore.alafest` 6.(Un)n0est croissante si Un≤ Un+1,n0. 7.(Un)n0sedte´rciossantesi Un≥ Un+1,n0.
3
8.(Un)n0estixeliseueqid´opitrsepINtel que
Un+p=Un,
n0.
Ilestparfoisutiledeneconside´rerquunesouspartiedelasuite
Exemple5
(U2n+1)n0= (U1,U3,U5,∙ ∙ ∙,U2n+1,∙ ∙ ∙), (U3n)n0= (U3,U6,U9,∙ ∙ ∙,U3n,∙ ∙ ∙).
Cessouspartiessontappele´esdessoussuitesextraitesousoussuitesde(Un)n0´deintO.lnse demani`ereg´en´eralecommesuit
De´nition4onncd`sieerOk:ININueida`tseqelletercroimentte,cssancietsrt n7→k(n) pour toutmetndansINon aitn < mk(n)< k(m). On notekn=k(n)et on appelle soussuite de(Un)eparelnited´asui(Ukn)nIN.
Dans les Exemples 5, on akn= 2net donc+ 1 k:ININest bien strictement n7→2n+ 1 croissante etkn= 3net donck:ININ.esmelage´tcirtstnecrntmeteteanssoi n7→3n
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Principeoud´emonstrationparr´ecurrence
Onconside`reuneproprie´t´equid´ependdunentiernINtel quenn0avecn0INond.e´n On suppose de plus que pour toutnn0oinr´et´´rtp,peoteeteec,P(n), a un sens.
n Exemple 6P1(n) = (n <2 ),P2(n) = (Un3)uo`Unodnne´,steP3(n) = (n+ 2n).
Ilestimportantdenoterqua`cestaderiennepermetdediresiP(n) est vraie ou fausse.
The´ore`me2Soitn0INetP(n)eirdtuentn´ependanri´et´edporpenunINet qui a un sens pour tout entierntel quenn0.
Si( 1. P(n0)est vraie, 2.pour toutnn0on a(P(n)est vraieP(n+ 1)est vraie), alorsP(n)est vraie pour toutnn0. Lhypoth`ese1.ladeontisaliiaithlteecnerruce´reh`esypotsappellelin2.appse.id´tree´l´hleel
Remarque 3Lyphit´ee´hde´r`htodese(P(n)est vraieP(n+ 1)est vraie)ne veut pas dire queP(n)est vraie, cela veut juste dire que siP(n)est vraie alorsP(n+ 1)est vraie. Parexemple,onpeutconside´rerlapropri´ete´(ilpleutil y a des nuages). Ceci ne veut pas direquilpleuveaumomentou`onditcela. Unautreexempleplusmathe´matiqueestceluidonne´parP3dans les exemples 6. Il est clair que lapropri´et´eestfaussepourtoutnINese`htpoyhler,parcont2.isete.enErviasteet´di´eerh´dn+2nalors en ajoutant1e,onobtientdareptdteutaedernilage´´til(n+1)+2n+1. C’est biensuˆrlhypoth`esedinitialisationquinestpasv´eri´ee.Cecimontredailleurslimportance dev´erierTOUTESleshypothe`sesdelar´ecurrence.
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