Modélisation directe par différences finies du fonctionnement d’une sonde TDR - Etude de la sensibilité

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Modélisation directe par différences finies du fonctionnement d’une sonde TDR - Etude de la sensibilité spatiale tridimensionnelle - Fayçal REJIBA, Philippe COSENZA, Christian CAMERLYNCK, Alain TABBAGH UMR 7619 Sisyphe, Université Pierre et Marie Curie, case 105, 4 place. Jussieu, 75252 Paris cedex 05, France Abstract A three-dimensional (3D) transient electromagnetic modeling based on a full-wave formulation (Maxwell’s equations) has been undertaken in order to study the impact of heterogeneities located near a Time Domain Reflectometry (TDR) probe. We focused on 3D eneities located around the ends of rods: (a) interface perpendicular to the probe plane located below the end of rods and (b) 3D (cubic and parallelepipedic) heterogeneities whose characteristic lengths are similar to that of the probe. Whatever the rod separation and whatever the dielectric constant contrasts, an interface located just beneath the end of the rod does not affect significantly a simulated TDR signal when the interface is farther than one-rod diameter. However, all the simulations carried out with cubic and parallelepipedic heterogeneities located along TDR rods have shown that a significant longitudinal sensitivity exists. Introduction L’évaluation de la teneur en eau en proche surface dans les milieux non saturés est actuellement un objectif majeur pour la caractérisation des sols et la compréhension des mécanismes dynamiques liés au transfert ...
Publié le : samedi 24 septembre 2011
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Modélisation directe par différences finies du fonctionnement
d’une sonde TDR - Etude de la sensibilité spatiale
tridimensionnelle -
Fayçal REJIBA, Philippe COSENZA, Christian CAMERLYNCK, Alain TABBAGH
UMR 7619 Sisyphe, Université Pierre et Marie Curie, case 105, 4 place. Jussieu, 75252 Paris cedex 05, France
Abstract
A three-dimensional (3D) transient electromagnetic modeling based on a full-wave
formulation (Maxwell’s equations) has been undertaken in order to study the impact of
heterogeneities located near a Time Domain Reflectometry (TDR) probe. We focused on 3D
heterogeneities located around the ends of rods: (a) interface perpendicular to the probe plane
located below the end of rods and (b) 3D (cubic and parallelepipedic) heterogeneities whose
characteristic lengths are similar to that of the probe. Whatever the rod separation and
whatever the dielectric constant contrasts, an interface located just beneath the end of the rod
does not affect significantly a simulated TDR signal when the interface is farther than one-rod
diameter. However, all the simulations carried out with cubic and parallelepipedic
heterogeneities located along TDR rods have shown that a significant longitudinal sensitivity
exists.
Introduction
L’évaluation de la teneur en eau en proche surface dans les milieux non saturés est
actuellement un objectif majeur pour la caractérisation des sols et la compréhension des
mécanismes dynamiques liés au transfert hydrique. Actuellement les sondes TDR (Time
Domain Reflectometry) sont les outils non destructifs les plus performants pour estimer de
manière indirecte le contenu local en eau. Le principe consiste à planter des tiges métalliques
solidaires (en générale deux, voire trois), le long desquelles une impulsion électromagnétique
est émise, et à analyser le temps d’aller / retour de l’impulsion en bout de tiges. Ce temps de
parcours obtenu par pointé, est proportionnel à la racine carré de la permittivité relative du
milieu environnant. La loi de Topp est alors communément utilisée pour relier la permittivité
à la teneur en eau.
L’exploitation des résultats d’une mesure TDR se heurte à deux problèmes majeurs :
Comment quantifier l’impact du niveau d’encombrement du milieu, en contradiction directe
avec l’hypothèse d’homogénéité généralement admise lors d’une mesure par sondes TDR ?
Comment ces perturbations locales se traduisent elles au niveau du pointé de l’impulsion ?
Afin d’apporter des éléments de réponse, la modélisation du dispositif est
indispensable. Jusqu’à présent la sensibilité et le volume d’influence des sondes TDR ont fait
1
l’objet d’études expérimentales (e.g. Baker et Lascano, 1989), qui ont mis en exergue une
sensibilité effective des mesures à l’écartement entre les tiges et aux diamètres de ces
dernières pour des milieux homogènes aux caractéristiques extrêmes (air et eau).
Par ailleurs, les modélisations ont été effectuées pour des modèles géométriques 2D
dans le cadre d’une approche analytique de type électrostatique (Knight, 1991) ou plus
récemment en éléments finis par résolution de l’équation de propagation de Helmoltz pour le
champ électrique (Chambarel et Ferry, 2000). Les résultats issus de ces simulations
confirment l’impact d’hétérogénéités voisines des tiges et surtout de leurs extrémités.
Cependant, aucune étude systématique quant leur distribution et contraste vis-à-vis du milieu
n’a été menée.
Modélisation par différences finies 3D
La spécificité tridimensionnelle du phénomène en terme de propagation et de
géométrie, ainsi que le caractère impulsionnel donc transitoire de la source, nous a amené à
résoudre les équations de Maxwell par un schéma centré aux différences finies (Rejiba et al.,
2003) en trois dimensions dans le domaine temporel afin d’évaluer l’impact d’abord d’un
demi-espace aux extrémités des tiges, puis d’hétérogénéités 3D à distance voisine des sondes
et de dimensions caractéristiques proches de celles-ci.
Le maillage spatial est homogène et décalé (afin de tenir compte du couplage entre le
champ électrique et magnétique) suivant la modèle de Yee (Yee, 1966) avec un pas spatial
isotrope de 1 millimètre afin d’obtenir une résolution optimale et une taille de domaine de
calcul raisonnable. De plus des conditions absorbantes de type PML (Perfect Matched Layer)
ont été implémentées afin d’éviter les réflexions aux bords du domaine de calcul.
Les tiges de longueurs 20 cm ont une section carré de 36 mm² et sont distantes de 24 mm, soit
des caractéristiques proches de modèles existants dans le commerce. La modélisation de
l’impulsion se fait directement en champ électrique, grâce à une rampe en temps de
200 picosecondes. Cette manière de procéder évite d’avoir à considérer le parcours précédent
la création du champ électrique en tête de tige.
Lors des simulations, l’instant de référence est pris par la réflexion sur l’interface air-
sol et le temps de double parcours pour le pointé est pris par rapport aux réflexions
successives sur les anomalies ou sur les extrémités des tiges. L’absence d’atténuation due à la
conduction électrique du milieu implique une décroissance de l’amplitude uniquement due à
la divergence sphérique inhérente aux équations de propagation. Pour cette raison, les
amplitudes sont toutes normalisées.
Validation numérique et résultats de simulation
La validation du code de calcul consiste à retrouver par le pointé des réflexions les
permittivités diélectriques définies dans le modèle. On constate pour les trois exemples
présentés que l’erreur maximum pour le même type de pointé est de 2.4 % dans le cas d’un
sol sec (K=4.9 pour K
théorique
=5).
Par ailleurs, le suivi simulé d’un front humide par TDR, est aussi cohérent par rapport
à l’expérience et permet de distinguer la réflexion due au front et aux bouts des tiges.
La stratégie d’évaluation de l’impact d’une anomalie (interface, cube ou parallélépipède) en
bout de tiges sur le pointé, est basée sur le calcul d’un coefficient HE (Heterogeneity Effect)
donc l’expression est la suivante :
100
)
(
)
(
)
(
(%)
x
anomalie
sans
K
anomalie
sans
K
anomalie
avec
K
HE
s
s
s
=
dans lequel K
s
est la permittivité déduite du pointé.
2
1 - Cas d’une interface
Dans le cas d’une interface séparant deux milieux de permittivité K
s
=5
(respectivement 25) et d’une interface où K
s
=25
on constate une signature distincte grâce à un
changement de phase. De plus « l’erreur », sur le pointé, reste significative pour une distance
de l’interface de l’ordre du diamètre des tiges (quoique toujours inférieure à 5%) (fig. 1).
-5
0
5
0
5
10
15
K
s
=25
K
h
=5
K
s
=25
K
h
=15
K
s
=5
K
h
=25
K
s
=5
K
h
=15
K
s
=15
K
h
=25
K
s
=15
K
h
=5
HE (%)
Distance à partir du bout des
tiges z (mm)
z
K
s
K
h
-15
-10
-5
0
5
10
-8
-4
0
4
8
x=0; y=0
x=5; y=0
x=12; y=5
x=0;
y=5
x=19; y=0
Coordonnée du
centre z (mm)
HE (%)
y
x
Rods
Figure 1 : Cas d’une interface. Permittivité du milieu
dans lequel est située la sonde TDR : K
s
. Permittivité
sous l’interface : K
h
Figure 2 : Cas de petits cubes (d’arêtes égales au
diamètre des tiges). La permittivité diélectrique relative
du milieu est 5 et celle de l’anomalie est 25
2 - Cas de petits cubes (d’arêtes égales au diamètre des tiges)
La présence d’anomalies cubiques d’arêtes égales au diamètre des tiges a une
influence distincte suivant :
-
leur disposition dans le plan ou non des tiges
-
leur distance par rapport aux tiges
-
leur présence entre ou en dehors des tiges
-
le contraste de permittivité avec l’encaissant
On constate que la dispersion du paramètre HE, et a fortiori le nombre de changement
de phase de la réflexion, sont un peu plus importants dans le cas d’anomalies de permittivité
plus faible que celle de l’encaissant (fig 2) Cependant dans tous les cas, la présence
d’anomalies entre les tiges et au-dessus des extrémités induit des erreurs plus élevées sur
l’estimation de la permittivité relative, et ce jusqu’à une sous estimation de plus de 10%.
3 - Cas de parallélépipèdes (de longueur égale à la distance entre les tiges et de même section)
Le cas considéré ici est un encaissant de permittivité K
s
=5 et une anomalie de
permittivité K
s
=25. Le calcul de HE pour différentes orientations (les 3 axes principaux) et
différentes positions suivant Z montre que la sensibilité est maximum pour des anomalies
orientées parallèlement à Z (jusqu’à 17% de sous estimation pour la position du centre la plus
proche de la surface air-sol)
Par ailleurs, l’orientation suivant Y permet de retrouver les ordres de grandeur de ceux
évalués en 2D (bien plus élevé que pour l’anomalie cubique)
3
-15
-10
-5
0
5
10
-10
-5
0
5
10
x=0; y=0
x=5; y=0
x=12; y=5
x=0; y=5
x=19; y=0
HE
(%)
Coordonnée du centre z (mm)
y
x
Rods
-20
-15
-10
-5
0
5
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
x-parallel
y-parallel
z-parallel
y = -10.772 + 1.057x R= 0.99545
y = -5.0972 + 1.0031x R= 0.98368
HE (%)
Coordonnée suivant z du
centre du parallélépipède (mm)
Figure 3 : Cas de petits cubes (d’arêtes égales au
diamètre des tiges). La permittivité diélectrique relative
du milieu est 25 et celle de l’anomalie est 5
Figure 4 : Cas de parallélépipèdes (de longueur égale à
la distance entre les tiges et de même section)
.
Le cas
considéré ici est un encaissant où K
s
=5 et l’anomalie où
K
s
=25
Conclusion
Cette étude permet de montrer l’impact sur la sensibilité, de la troisième dimension
vis-à-vis de la propagation d’ondes électromagnétiques et des distributions géométriques
anisotropes. Pour ce faire, les simulations sont effectuées à l’aide d’un code de modélisation
3D par différences finies dans le domaine temporel associé à des conditions absorbantes de
type SUPML.
On a ainsi montré qu’en plus de l’impact du contraste de permittivité, l’orientation de
celle-ci est très importante d’un point de vue quantitatif : c’est elle qui défini la surface qui
intercepte le front d’onde incident et modifie considérablement dans certains cas la forme de
la première arrivée suffisamment énergétique, utilisée pour le pointé.
Bibliographie
Baker J.M., and Lascano R.J. (1989), The spatial sensitivity of the time-domain reflectometry,
Soil Sci.
, 147, 378-384.
Chambarel A., and Ferry E. (2000), Finite element formulation for Maxwell’s equations with
space dependent electric properties, Application to time domain reflectometry probe,
Revue Européenne des Eléments Finis
, 9, 941-967.
Knight J.H. (1991), Sensitivity of Time Domain Reflectometry Measurements to lateral
variations in soil water content,
Water Resour. Res.
, 28, 2345-2352.
Rejiba F., Camerlynck C., and Mechler P. (2003), FDTD-SUPML ADE simulation for
Ground Penetrating Radar,
Radio Sci.
, 38(1), 1005, doi:10.1029/2001RS02595.
Rejiba F., Cosenza P., Camerlynck C. and Tabbagh A. (2005), Three-dimensional transient
electromagnetic modeling for investigating the spatial sensitivity of Time Domain
Reflectometry measurements,
Water Resour. Res.
, soumis.
Yee K.S. (1966), Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell’s
equation in isotropic media,
IEEE Transactions on Antennas and Propagation
, 14,
302-320.
4
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