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´ ´ ´UNIVERSITE DE LA MEDITERRANEEAIX-MARSEILLE IIFacult´e des Sciences de Luminy`THESEpour obtenir le grade de´ ´ ´DOCTEUR DE L’UNIVERSITE DE LA MEDITERRANEEDiscipline : Math´ematiquespr´esent´ee et soutenue publiquementparFabien Pellegrinile 8 d´ecembre 2005TitreLes super groupes alg`ebriques r´eelset les structures de super Poisson-LieDirecteur de Th`ese : Ctirad Klimˇc´ıkJURYALEKSEEV Anton, RapporteurDELORME Patrick, Pr´esidentFIORESI Rita,KLIMCIK Ctirad,OVSIENKO Valentin,RATIU Tudor, RapporteurRemerciementsMes remerciements vont `a mon directeur de th`ese, Mr. Klimˇc´ık, toutd’abord pour ses intuitions math´ematiques qui m’ont ´et´e tr´es utiles, pour sapatience, sa disponibilit´e et son soutien constant ainsi que pour ses qualit´esdep´edagogue.Jeluisuis´egalementreconnaissantdem’avoirpropos´ecesujetoriginal, il est ´evident que je lui dois ma formation de chercheur.Table des mati`eres1 Introduction 72 Les Super groupes r´eels 112.1 Les super groupes alg`ebriques complexes. . . . . . . . . . . . . 112.2 Les super groupes alg`ebriques r´eels. . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 Rel`evementdesautomorphismesdeSerganovapourSL(m|n,C)et OSp(2r|s,C). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4 Le point de vue des foncteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.5 La dualit´e fonctorielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.6 Foncteur de super alg`ebre de Lie. . . . . . . . . . . . . . . . . 372.7 Annexe : ...
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´ ´ ´UNIVERSITE DE LA MEDITERRANEE
AIX-MARSEILLE II
Facult´e des Sciences de Luminy
`THESE
pour obtenir le grade de
´ ´ ´DOCTEUR DE L’UNIVERSITE DE LA MEDITERRANEE
Discipline : Math´ematiques
pr´esent´ee et soutenue publiquement
par
Fabien Pellegrini
le 8 d´ecembre 2005
Titre
Les super groupes alg`ebriques r´eels
et les structures de super Poisson-Lie
Directeur de Th`ese : Ctirad Klimˇc´ık
JURY
ALEKSEEV Anton, Rapporteur
DELORME Patrick, Pr´esident
FIORESI Rita,
KLIMCIK Ctirad,
OVSIENKO Valentin,
RATIU Tudor, RapporteurRemerciements
Mes remerciements vont `a mon directeur de th`ese, Mr. Klimˇc´ık, tout
d’abord pour ses intuitions math´ematiques qui m’ont ´et´e tr´es utiles, pour sa
patience, sa disponibilit´e et son soutien constant ainsi que pour ses qualit´es
dep´edagogue.Jeluisuis´egalementreconnaissantdem’avoirpropos´ecesujet
original, il est ´evident que je lui dois ma formation de chercheur.Table des mati`eres
1 Introduction 7
2 Les Super groupes r´eels 11
2.1 Les super groupes alg`ebriques complexes. . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Les super groupes alg`ebriques r´eels. . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Rel`evementdesautomorphismesdeSerganovapourSL(m|n,C)
et OSp(2r|s,C). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Le point de vue des foncteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5 La dualit´e fonctorielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.6 Foncteur de super alg`ebre de Lie. . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.7 Annexe : Notions de bases sur les cat´egories . . . . . . . . . . 44
3 D´ecomposition d’Iwasawa de SL(m|n,C). 47
3.1 R´ealification d’un super groupe alg`ebrique complexe. . . . . . 47
3.2 Decomposition d’Iwasawa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4 Structure de super Poisson-Lie sur SU(m|n). 63
4.1 Super groupe de Poisson-Lie r´eel. . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2 Structure de super Poisson-Lie sur SU(m|n) via le double
RSL(m|n,C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3 Annexe 1 : Propri´et´es utiles de sl(m|n,C). . . . . . . . . . . . 83
4.4 2 : Preuve de l’´egalit´e (4.8). . . . . . . . . . . . . . . . 85
R L4.5 Annexe 3 :e de C =C . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
561 Introduction
Le but de cette th`ese est d’´etendre au cas super la notion de double de
Lu-Weinstein [11]. Il est bien connu que ce concept est ´etroitement li´e `a
celui de la d´ecomposition d’Iwasawa de la r´ealification des groupes simples
Rcomplexes. En particulier, on a SL(n,C) = SU(n)AN ou` le groupe r´eel
SU(n) est le groupe des matrices complexes unitaires de d´eterminant un et
legrouper´eelAN consisteenlesmatricestriangulairessuperieurescomplexes
de d´eterminant un dont la diagonale est compos´ee de nombres r´eels positifs.
Il s’av´ere que le groupeSU(n) peut-ˆetre muni d’une structure de Poisson-Lie
Rtelle que son groupe de Poisson-Lie dual soit AN et le groupe SL(n,C)
est le double de Drinfeld commun `a SU(n) et AN. Nous remarquons que
les groupes SU(n) et AN sont des groupes r´eels, en outre SU(n,C) est la
forme r´eelle compacte de SL(n,C). Cependant, les r´esultats de Serganova
[22] sur la classification des super alg`ebres de Lie r´eelles simples impliquent
que les super groupes simples complexes ne poss´edent pas de formes r´eelles
compactes.Cecisemblecondamnernotreprojetdesup´erisationdudoublede
Lu-Weinstein du d´ebut. Afin de franchir cet obstacle, nous proposons dans
cette th`ese une d´efinition de super groupe r´eel et donc de forme r´eelle qui
est plus g´en´erale (et de ce fait plus flexible) que celle de Serganova. Notre
d´efinition aura pour avantage de rendre possible la construction des formes
r´eelles compactes, d’effectuer la d´ecomposition d’Iwasawa et d’´elaborer le
double de Lu-Weinstein. Essentiellement, nous avons d´ecouvert qu’il fallait
d´efinir les super groupes r´eels comme des super alg`ebres de Hopf complexes
(super commutatives) ´equip´ees d’une∗-structure. En r´ealit´e, il existe deux
sortes de∗-structure : les standards et les gradu´ees, voici leurs d´efinitions :
D´efinition 1.1 SoitH une super alg`ebre de Hopf. Une∗-structure standard
de H est une application paire∗ :H→H telle que
∗⊗∗ ∗(Δx) = Δ(x ), (1.1)
∗(x ) =(x), (1.2)
∗ ∗ ∗¯(λx+μy) =λx +μy¯ , (1.3)
∗ ∗ ∗(xy) =x y , (1.4)
∗ ∗S(x ) = (S(x)) , (1.5)
∗ ∗(x ) =x, (1.6)
7avec x,y∈H and λ,μ∈C.
Si la derni`ere propri´et´e est remplac´ee par la suivante
F F |x|(x ) = (−1) x, (1.7)
alorsF est une∗-structure gradu´ee.
SesF-structures gradu´ees sont en substance d´ej`a introduits dans les articles
[8], [14] et [15]. Ainsi, nous nommerons une super alg`ebre de Hopf avec
∗-structure standard (resp. gradu´ee) un super groupe r´eel standard (resp.
gradu´e). Il existe une interpr´etation fonctorielle de ces deux∗-structures.
Cependant, il serait trop long de la d´evelopper ici, aussi nous n’irons pas
plus loin dans cette direction et renvoyons le lecteur `a la section 2.5 pour
plus de d´etails. Par ailleurs, nous verrons que ces deux∗-structures donnent
au niveau infinit´esimale les automorphismes antilin´eaires de super alg`ebre de
2Lie φ introduit par Serganova (cf. [22]), ceux involutifs i.e. φ = 1 ainsi que
2ceux dont φ est l’identit´e sur la partie paire et moins l’identit´e sur la par-
tie impaire. Ces premiers automorphismes seront appel´es structures r´eelles
standards, tandis que les seconds seront nomm´es structures r´eelles gradu´ees.
La section 1 de la th`ese est consacr´ee aux d´efinitions de super groupe r´eels
standardsetgradu´es,auxrel´evementdesautomorphismesdeSerganovapour
SL(m|n,C) et OSp(2r|s,C) pour lesquels on remarquera qu’il poss´ede une
forme r´eelle compacte (pour SL(m|n,C) on la notera SU(m|n)), ainsi qu’a
l’interpr´etation fonctorielle.
Puis, dans la section 2, nous nous tournerons vers la d´ecomposition d’ Iwa-
Rsawa du super groupe r´eel gradu´e SL(m|n,C) qui est la r´ealification de
SL(m|n,C). Cette sectiona undouble objectif, en effeten plus du faitque la
Rd´ecompositiond’IwasawadeSL(m|n,C) renforcel’utilit´edenotred´efinition
de super groupe r´eel, dans le sens qu’elle n´ecessite la forme r´eelle compacte
SU(m|n), elle va nous donner la version super de AN que nous noterons
s(AN). Le super groupe s(AN) jouera un rˆole important dans la troisi`eme
section comme super groupe de Poisson-Lie dual de SU(m|n). Ainsi, nous
d´emontrerons le th´eor`eme suivant :
Th´eor`eme 1.1 Il existe une unique paire (φ,ψ) de morphismes de super
8alg`ebres
‡ ‡
φ :SU [[x ,x ]] → SL [[x ,x ]],m|n ij m|n ijij ij
‡ ‡
ψ :s(AN)[[x ,x ]] → SL [[x ,x ]],ij m|n ijij ij
telle que
‡0 00φ(i(f )).ψ(j(f )) =f, ∀f∈SL [[x ,x ]] (1.8)m|n ij ij
‡ou` . note la multiplication de la super alg`ebreSL [[x ,x ]].m|n ij ij
‡ ‡ ‡
Dans ce th´eor`emeSL [[x ,x ]],SU [[x ,x ]] et s(AN)[[x ,x ]] cor-m|n ij m|n ij ijij ij ij
respondent respectivement aux super alg`ebres de Hopf d´efinissant les super
Rgroupes r´eels gradu´esSL(m|n,C) ,SU(m|n) ets(AN). Dans le cas non su-
per, ce th´eor`eme est la version dual de la d´ecomposition d’Iwasawa, dual
signifiant dans le langage alg`ebrique des alg`ebres de Hopf.
Ensuite, nous ´etudirons les super groupes de Poisson-Lie r´eels. Comme tou-
jours dans cette th`ese, l’adjectif r´eel signifiera que la super alg`ebre de Hopf
munie d’une∗-structure (i.e. le super groupe r´eel) est ´equip´ee d’un crochet
de super Poisson-Lie compatible avec la∗-structure. Puis, nous montrerons
que le dual lin´eaire de la super alg`ebre de Lie d’un super groupe de Poisson-
Lie r´eel est alors ´equip´e d’une structure de super alg`ebre de Lie, ainsi que
d’une structure r´eelle standard ou gradu´ee suivant que le super groupe r´eel
est standard ou gradu´e. Nous privil´egirons l’approche des r-matrices clas-
siques,commeexpos´edanslecasnon-superdans[21],pourdoternotresuper
Rgroupe r´eel gradu´e SL(m|n,C) d’une structure de Poisson-Lie r´eelle. Plus
pr´ecisement, nous d´efinirons les super alg`ebres de Baxter-Lie r´eelle comme
une super alg`ebre de Lie ´equip´ee d’une r-matrice classique not´ee R et d’une
structure r´eelle (standard ou gradu´ee), ces deux derni`eres structures devant
respecter certaines relations de compatibilit´ees. La structure de Poisson-Lie
Rdont nous ´equiperons SL(m|n,C) sera intimement li´e a` sa d´ecomposition
de super Iwasawa i.e. la r-matrice de ce super crochet sera une diff´erence
des projecteurs sur les super alg`ebre de Lie de SU(m|n) et s(AN). Ensuite,
Rnous montrerons que cette structure de Poisson-Lie r´eelle de SL(m|n,C)
induit sur ces deux sous super groupes SU(m|n) et s(AN) un super crochet
de Poisson-Lie. Ceci est r´esum´e par le th´eor`eme suivant
RTh´eor`eme 1.2 Soit le super groupe r´eel gradu´eSL(m|n,C) muni du super
crochet
9m+n
X1 |f||a| L L R Rˆ ˆ{f,g} = (−1) (R (h ),h ) [∇ f∇ g−∇ f∇ g], (1.9)d a b d h h h ha ab b2
a=1
ˆ∀f,g∈SL [[y ,z ]], ou` h et h sont des bases duales de d c’est `a direm|n ij ij a b
ˆque (h ,h ) =δ . Alors on a les propri´et´es suivantes :a b d ab
i)cesupercrochetestunsupercrochetdePoisson-Liesur(SL [[y ,z ]],F),m|n ij ij
ii) I et J sont des id´eaux de Poisson,
F FF F F (|i|+|j|)|j| (|i|+|j|)|j|iii){f ,g } ={f,g} ou`y = (−1) S(z ), z = (−1) S(y ).ji jiij ij
Dans la langue des super alg`ebres de Hopf, un sous super groupe d’un super
groupe H est d´efini comme le quotient de la super alg`ebre de Hopf H par
un id´eal de super alg`ebre de Hopf. Ainsi, les id´eauxI etJ deSL [[y ,z ]]m|n ij ij
du th´eor`eme pr´ec´edent d´efinissent les sous super groupesSU(m|n) ets(AN)
Rde SL(m|n,C) . Finalement, nous conclurons par le fait que le dual de la
super alg`ebre de Lie de SU(m|n) est isomorphe `a la super alg`ebre de Lie
de s(AN) et r´eciproquement. Biensurˆ cet isomorphisme doit respecter les
structures r´eelles dont sont munies les super alg`ebres de Lie de SU(m|n) et
s(AN). C’est a` dire qu’on aura prouv´e le th´eor`eme suivant
Th´eor`eme 1.3 Soient (SU(m|n),F) et (s(AN),F) les super groupes de
Poisson-Lie r´eels, (g,φ ) et (b,φ ) ses super alg`ebres de Lie r´eelles gradu´eesG B
∗ ∗correspondantes. D´enotons par g et b les super espaces vectoriels duaux de
respectivementg etb. Alors le super crochet de Poisson-Lie et laF-structure
∗r´eelle gradu´ee deSU(m|n) induisent surg une structure de super alg`ebre de
∗Lie r´eelle gradu´ee not´ee (g ,ϕ ) isomorphe `a (b,φ ). Similairement, le superG B
crochet de Poisson-Lie et laF-structure r´eelle gradu´ee de s(AN) induisent
∗ ∗sur b une structure de super alg`ebre de Lie r´eelle gradu´ee not´ee (b ,ϕ )B
isomorphe a` (g,φ ).G
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