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Probabilit´es premi`ere ann´ee———————–Cours MagistralVersion du 20 mars 2008Universit´e Paul Sabatier - Toulouse 3IUT de Toulouse 3 AD´epartement GEA RangueilNicolas SAVYnicolas.savy@iut-tlse3.frBureau 107Table des mati`eres1 D´efinitions de base - D´enombrements 51.1 Op´erations ensemblistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 R´eunion d’ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3 Intersection d’ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.4 Compl´ementaire d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.5 Inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.6 Op´erations ensemblistes et Op´erations logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2 Cardinal d’une r´eunion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.3 Cardinal d’un produit cart´esien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 D´enombrements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.1 Nombre de partie d’un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...
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Probabilit´espremi`ereanne´e
Cours Magistral Version du 20 mars 2008
Universit´ePaulSabatier-Toulouse3 IUT de Toulouse 3 A De´partementGEARangueil
Nicolas SAVY nicolas.savy@iut-tlse3.fr Bureau 107
Tabledesmati`eres
1D´enitionsdebase-De´nombrements5 1.1Op´erationsensemblistes..................................5 1.1.1G´en´eralites.....................................5 ´ 1.1.2R´euniondensembles................................5 1.1.3 Intersection d’ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.4Comple´mentairedunensemble..........................6 1.1.5 Inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.6Ope´rationsensemblistesetOpe´rationslogiques.................6 1.2 Ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1De´nitions.....................................7 1.2.2Cardinalduner´eunion..............................7 1.2.3Cardinaldunproduitcarte´sien..........................7 1.3De´nombrements.......................................7 1.3.1 Nombre de partie d’un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2 La notion de p-listes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.3 Les arrangements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.4 Les combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.5FormuledubinˆomedeNewton..........................11 2Probabilit´espourunUniversDiscret13 2.1Ensembles,Univers,e´v´enements.............................13 ´ 2.2Probabilit´esde´ve´nementsEquiprobabilit´e.......................14 2.2.1Probabilit´es.....................................14 2.2.2Equiprobabilit´es..................................15 2.3Inde´pendance........................................17 2.4Probabilit´esconditionnelles................................18 3Variableale´atoirediscre`te23 3.1Variableale´atoire......................................23 3.1.1De´nitiong´en´erale.................................23 3.1.2Variablesale´atoiresdiscre`tes...........................23 3.1.3 Variables aleatoires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ´ 3.2Loidunevariableale´atoirediscre`te............................24 3.2.1D´enition......................................24
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` TABLE DES MATIERES
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3.2.2Fonctionder´epartition..............................25 3.3Param`etresduneloi....................................26 3.3.1E´rancemathe´matique.............................26 spe 3.3.2 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.3.3Propri´et´esdelespe´ranceetdelavariance....................28 3.4Coupledevariablesal´eatoiresdiscretes..........................28 3.4.1De´nition......................................28 3.4.2 Lois marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.4.3 Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.4.4Ind´ependance....................................30 3.4.5 Lois conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.5Loisdiscr`etesusuelles...................................31 3.5.1 Loi uniforme sur{1, . . . , n}. . . . . . . . . . . . . . . . . . .  31. . . . . . . . . 3.5.2 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.5.3 Loi binomialeB(n, p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33) . 3.5.4 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4UneVariableale´atoirecontinue,laloinormale37 4.1Loidunevariableal´eatoirecontinue...........................37 4.1.1D´enitions.....................................37 4.1.2Probl´ematiquedelanotiondeloidanslecascontinu..............37 4.1.3Fonctiondere´partitionetloia`densite´......................37 4.2 La loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.2.1Loinormalecentre´ere´duiteN(0,1) .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  39 4.2.2Loinormalege´ne´raleN(µ, σ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.3 La Loi normale comme limite en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Introduction
Tandisquelastatistiquepeuteˆtreassimil´ee`auneanalyse,parfoistre`spr´ecise,dedonne´eset estbas´eesurdesvaleursconnues,lebutdelath´eoriedesprobabilit´esestdepr´edireaumieuxles issuese´ventuellesdexpe´riencesfutures,ensebasantenge´ne´ralsurlesre´sultatsde´tudesstatis-tiques.Contrairementa`laplupartdesautresbranchesdesmath´ematiques,ellereposefortement sur la notion d’incertitudela´teduasrce´`eainsiconetest`eremanienuD.seriotae´lsane`eomenh´eped g´en´erale,lorsquelonveutre´aliserdespr´edictions,les´eve´nementscertainsouimpossiblessont descasextrˆemesetenfaitrelativementrares.Lesprobabilite´spermettentd´evaluerlesdegre´sde previsiondevenementspossiblesmaisnoncertains,etintroduisentunenotioninterm´ediaireentre ´ ´ ´ suˆretimpossible.Ellespermettentle´tablissementde-semederuilerecnesobt`erifsdjectcir titudertonedsecnalliaf´esdlentuaalssreonuitieintqcouiuindparadoxesc´el`ebestnapfrio`sdase cart´esiennedanscedomaine.Unautreavantagedecettethe´orieestquelleoreuncadrenaturel danalysepourdessyst`emestropcomplexespourquelonpuisseensaisirtouslese´le´ments(grandes populations,syste`mesdeparticules,ordinateurs,comportementscollectifs,marche´sboursiersetc.). Ainsi,laconnaissance,mˆemeparfaite,dune´chantillondepopulationnepeutconduireaunecer-` titudetotale,maisseulement`auneincertitudequipeutˆetreestime´eetquanti´eeentermede probabilite´s.
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