SCA-7212 Cours No.4 (2009) Approche bayésienne 2.1

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SCA-7212 Introduction à l’assimilation de données et applications à l’analyse atmosphériqueUQAM Hiver 2009Approche bayésienne et estimation des statistiques d’erreurDépartement des sciences de la terre et de l’atmosphèreUniversité du Québec à MontréalApproche bayésienne aux problèmes inversesFonction de densité de probabilité conjointe (pdf, probability density function ): p(x,y)* Densités de probabilité marginales associéesP(x)  p(x,y)dy, P(y)  p(x,y)dx A priori pdf P(x): probabilité que x=xt* Exemple: cas Gaussien pour lequel on connaitrait les covariancesd’erreur et que nous ayons x comme seule réalisation de x.b* La variable x est distribuée normalement de moyenne x et covariance bB 1 T 11P(x)  exp   (x  x ) B (x  x ) b b2CEn absence d’autre information, x = x est l’état le plus bprobable (maximum likelihood) 1SCA-7212 Introduction à l’assimilation de données et applications à l’analyse atmosphériqueUQAM Hiver 2009Autre perspective au problème de l’estimationstatistique ...De même, pour P(y), si y correspond aux observations odisponibles,P(y): probabilité que y = ytEstimé de la moyenne: y = yoCas gaussien:1 T 11P(y)  exp   (y  y ) R (y  y ) o o2C2* Variable aléatoire distribuée normalement, de moyenne y et de ocovariance R2SCA-7212 Introduction à l’assimilation de données et applications à l’analyse atmosphériqueUQAM Hiver 2009Théorème de Bayes• Distribution de la probabilité conditionnelle* Probabilité de y étant ...
Publié le : samedi 24 septembre 2011
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SCA-7212 Introduction à l’assimilation de données et applications à l’analyse atmosphérique UQAM Hiver 2009
Approche bayésienneet estimation des statistiques d erreur
Département des sciences de la terre et de l atmosphère Université du Québec à Montréal
Approche bayésienne aux problèmes inverses Fonction de densité de probabilité conjointe (pdf, probability density function ): p(x,y) * Densités de probabilité marginales associées P ( x ) p ( x , y ) d y , P ( y ) p ( x , y ) d x A priori pdf P(x): probabilité que x=x t * Exemple: cas Gaussien pour lequel on connaitrait les covariances d’erreur et que nous ayons x b comme seule réalisation de x . * La variable x est distribuée normalement de moyenne x b et covariance B P ( x ) 1 C exp 1 ( x x b ) T B 1 ( x x b ) 2 ’ ’ En absence d autre information, x = x b est l état le plus probable (maximum likelihood)
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Autre perspective au problème de l estimation statistique ...
De même, pour P(y), si y o correspond aux observations disponibles, P( y ): probabilité que y = y t Estimé de la moyenne: y = y o Cas gaussien: P ( y ) C 1 2 exp 12 ( y y o ) T R 1 ( y y o ) * Variable aléatoire distribuée normalement, de moyenne y o et de covariance R
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Théorème de Bayes Distribution de la probabilité conditionnelle * Probab ( ilit | é de y o é ) tant do (( nn oo é , u ) n ) e certai ( P n ( e o , o v ) al ) eur de x   p y x x pp xx , y y d y p xxy * Probabilité de x étant donné une certaine valeur de y p ( x | y y o ) p (( xx ,, yy o )) d x p ( P x (, yy ) o ) p o * Conséquemment, p ( x , y ) p ( x | y ) P ( y ) p ( y | x ) P ( x )
( x y p y x P x Théorème de Bayes p : | ) ( P |( y ))()
Représentation des distributions de probabilité associées P( y | x ) y
Hx b y t y o
P( y )
P( x )
x t x b
x
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L état le plus probable (ou mode) p(x|y): probabilité que x= x t étant donné que y a été observé * Densité de probabilité a posteriori associée à celle de l’erreur d’analyse p(y|x): probabilité de y étant donné que x est la valeur exacte * H(x) : estimé de la valeur moyenne y . Si x = x t , alors Hx t = y t + R . * ( y – H(x) ) = y t + m -R y t = m -R * y est distribuée normalement, de moyenne H(x) et de covariance R qui inclut l’erreur de mesure et l’erreur de représentativi R y y y y T m  R  m  R T T   m mT   R R
Distribution conditionnelle de y On conclut alors que p ( y | x ) C 1 3 exp 12 y H x  T R 1 y H x Remarque * Lorsque l’erreur d’observation n’est pas corrélée pour les différents types d’instruments R 1 R 0 1 1 R 0 21 00 0 0 R 31
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SCA-7212 Introduction à l’assimilation de données et applications à l’analyse atmosphérique UQAM Hiver 2009 Mode: d d dx  ln p    1 pdpx 0 ddpx 0 De par le théorème de Bayes: p ( x | y ) C exp 21 y H x T R 11 y yHyx o T e R xp 1 y 12 ( xy o x b ) T B 1 ( x x b ) exp 2 ln p ( x y ) J ( x ) 21 x x b T B 1 ( x x b ) T 21( H x y ) T R 1 ( H x y ) C Pour le casoùles statistiquessontgaussiennes, le mode et l état minimisant la variance totale coïncident. Formulation inclut le cas où H(x) est nonlinéaire. Distribution non-gaussienne pour p(x|y) associée à l assimilation d une mesure d intensité de vent ’ ’ ’ Distribution de probabilité a posteriori p(x|y) Opérateur d’observation u 2 2 0.5 X   HX , u v 0.4 v 0.3 Paramètres: u b v b 0.4 0.2 0.2 b v b 0 0.02 . 0.1 V obs 0 5 0.0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 p | exp   2 v exp u v 2 . x y u u u b 2 v b 2 2 2 V obs 2 b o P ( u , v ) 5
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Références
• Rodgers, C.D., 2000: sect. 2.3 • Tarantola, A., 2005: Inverse problem theory and methods for model parameter estimation . SIAM, Philadelphie, 342 pages. (ch.1) (disponible sur le Web à l’adresse http://www.ipgp.jussieu.fr/~tarantola/Files/Professional/Books/index.html)
Contrôle de qualité
Département des sciences de la terre et de l atmosphère Université du Québec à Montréal
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Introduction
Nature des données reçues par les centres opérationnels * Grande variété de données provenant de plusieurs sources différentes * Plusieurs problèmes peuvent corrompre les données Données incorrectes peuvent avoir un impact significatif sur l analyse Acquisition de données et le contrôle de qualité * Réception des données * Vérifie la qualité des données et rejet de celles ayant une forte probabilité d’être en erreur
Exemple: ajustementpar uneméthodedes moindres carrés en présence d une donnée en erreur grossière (tiré de Tarantola) Régression linéaire: y = ax + b
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’ ’ Impact sur l analyse d une seule donnée en erreur Rapport d une bouée dérivante: p = 1012.1 hPa ( 10 hPa trop basse) Analyse avec QC en noir Analyse sans QC en bleu
Contrôle de qualité
Sources d erreurs : * Erreurs de mesures associées à l’instrument * Erreur de représentativité * Instruments mal calibrés * Erreur d’inscription de l’observation * Erreurs dans la transmission des données
Objectif : * Rejeter toutes les erreurs autres que celles associées à l’erreur de mesure * Identificateurs associés à chaque observation durant le processus d’assimilation
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Contrôle de qualité: rejets grossiers basé sur les valeurs extrêmes climatologiques
Limit values for surface tem erature Winter Summer Area Min2 Min1 Max1 Max2 Min2 Min1 Max1 Max2 45 S - 45 N -40 C -30 C +50 C +55 C -30 C -20 C +50 C +60 C 45 N - 90 N -90 C -80 C +35 C +40 C -40 C -30 C +40 C +50 C 45 S - 90 S Limit values for surface dew- oint tem erature Winter Summer Area Min2 Min1 Max1 Max2 Min2 Min1 Max1 Max2 45 S - 45 N -45 C -35 C +35 C +40 C -35 C -25 C +35 C +40 C 45 N - 90 N -99 C -85 C +30 C +35 C -45 C -35 C +35 C +40 C 45 S - 90 S
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Information contenue dans les innovations Vecteur d innovation: y Hx b * Etat d’ébauche obtenue d’une prévision de courte échéance (6-h) contient l’information obtenue l’ensemble des observations assimilées précédemment * Comparaison des observations à l’ébauche qui résume notre connaissance a priori de l’état de l’atmosphère * L’ébauche fournit un état atmosphérique de référence contre lequel on peut comparer toutes les observations Monitoring (surveillance) des observations * innovations sont représentées par types et moyennées sur un grand volume de données, après avoir été regroupées en différentes * Permet de détecter si un instrument particulier est défectueux
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71165 : Rae Lakes NWT Canada 71167 : Porter Lake NWT Canada 71168 : Powder Lake NWT Canada
wrongly assigned station elevation
Monitoring et contrôle de qualité Statistiques basées sur les innovations (y -HX b ): exemple extrait des radiances TOVS
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Vérification contre l ébauche Ecart entre l observation et X b : y H ( X b )
y H ( X b )   o H ' b (   H ' )(   H ' ) T R H ' BH ' T o b o b • Pour une seule observation: y H ( X b ) 2   o 2  b 2 • On doit calculer H ' BH ' T ce qui peut être accompli par une méthode de Observation est rejetée si y ˆ y H x b   ( o 2   b 2 ) 1 / 2 En prenant suffisamment grand.
Difficulté associée avec la procédure du “background check” V obs .
V obs. V obs. Dépprréesseion V obs . Daénparleyssséieon vu V obs.
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