Statistique descriptive

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¾¾¾¾¾¾¾¾Statistique descriptive 1) Vocabulaire Les premières études statistiques étaient des recensements démographiques : on en a conservé le vocabulaire. L’ensemble sur lequel porte l’étude statistique s’appelle la population. Un élément de cet ensemble est un individu. La population est étudiée selon une ou plusieurs propriétés appelées caractères. Lorsque les valeurs d’un caractère sont des nombres, le caractère est dit quantitatif ; on lui donne souvent le nom de variable statistique. (si les valeurs possibles sont en nombre fini, on dit que le caractère est quantitatif discret, si les valeurs possibles sont en nombre infini, on dit que le caractère est quantitatif continu ) Lorsque les modalités du caractère ne sont pas des nombres, le caractère est dit qualitatif. L’effectif d’une valeur du caractère est le nombre d’éléments de la population observés pour cette valeur. L’effectif de la valeur x est noté n . i iS’il y a p valeurs, n , n , … n sont les effectifs respectifs des valeurs x , x , … x . 1 2 p 1 2 pL’effectif total N est le nombre d’individus de la population étudiée : i = p N = n + n + … + n = n ∑1 2 p ii = 1 La fréquence d’une classe statistique est le rapport de l’effectif de cette classe à l’effectif total de la population. (la fréquence peut aussi être exprimée en pourcentage ) effectif de x ni if = fréquence de x = = i ieffectif total N Propriété : La somme des fréquences de toutes les valeurs d’un ...
Publié le : vendredi 23 septembre 2011
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Statistique descriptive  1) Vocabulaire  Les premières études statistiques étaient des recensements démographiques : on en a conservé le vocabulaire. ¾L’ensemble sur lequel porte l’étude statistique s’appelle la .  ¾  .Un élément de cet ensemble est un ¾  .La population est étudiée selon une ou plusieurs propriétés appelées  ¾  ; on luiLorsque les valeurs d’un caractère sont des nombres, le caractère est dit donne souvent le nom de . (si les valeurs possibles sont en nombre fini, on dit que le caractère est , si les valeurs possibles sont en nombre infini, on dit que le caractère est ) ¾ modalités du caractère ne sont pas des nombres, le caractère est ditLorsque les  . ¾  d’une valeur du caractère est le nombre d’éléments de la population observés pour cette valeur. L’effectif de la valeurxiest noténi. S’il y apvaleurs,n1,n2, …npsont les effectifs respectifs des valeursx1,x2, …xp. L’effectif total N est le nombre d’individus de la population étudiée :  i=p  N =n1+n2+… +np= ni i= 1 ¾  classe statistique est le rapport de l’effectif de cette classe à l’effectifLa d’une total de la population. (la fréquence peut aussi être exprimée en pourcentage ) fifréquence dexi1d  eefofte cttiiffctfeefxil1ni  aN  Propriété: La somme des fréquences de toutes les valeurs d’un caractère vaut 1 :  i=p f1+ f2+ … +  fp=  fi= 1 i= 1 Exemple : Dans un service de maintenance, on a répertorié le nombre d’interventions par jour sur un mois.  On a obtenu la distribution suivante : Nombre d’interventionsxi 3 5 6 7 8 9   Nombre de joursni 4 9 6 3 1 2   Fréquencesfi 0,08  0,16 0,36 0,24 0,12 0,04 N = 2 4 + … + 1 = 25 ;f1 + 2 = = 0,08 …. 25  ¾ sont en très grand nombre, on peut les regrouper dans des intervallesLorsque les valeurs de la forme [ a ; b [ appelés . Le de la classe est alorsa+ 2b.
  
 
1
Exemple : Dans une succursale de banque, on a noté le montant des 2000 versements effectués au guichet pendant la journée. Montant (en €) ]0 ; 500[ [500 ; 750[ [750 ; 1000[ [1000 ; 1500[ [1500 ; effectif 440 320 400 480 36
3000[ 0
 2) Représentations graphiques  Diverses représentations graphiques permettent d’illustrer les données et de comparer des séries statistiques, par exemple :   Lediagramme en bâtons ou en barres: formés de barres dont l’abscisse estxiet de hauteur proportionnelle à l’effectifniou à la fréquencefi.   Lesdiagrammes circulaires(ou semi-circulaires) où chaque valeurxiest représentée par un secteur dont l’angle au centre est proportionnel à l’effectifnide la valeurxiou à sa fréquencefi.   Leshistogrammeslorsque les valeurs sont regroupées en classes. On construit des rectangles ayant pour base chacune des classes et ayant une aire proportionnelle à l’effectifni ou à la fréquencefi.  Exemples :   Nomb re de jours  10  8  6 Diagramme en bâtons 4
          
         
 
Histogramme 
2
0
3
5
6
7 8 9Nomb re d'interventions
2
    
 Diagramme circulaire32 ans  33ans  35 ans      3) Mesures de tendance centrale  Attention : le reste du chapitre ne s’applique qu’aux caractères quantitatifs. a) Le mode  Le mode ou valeur modale est la valeur que la variable statistique prend le plus souvent. C’est à dire la valeur du caractère ou de la classe qui a le plus grand effectif.  Attention : Si on fait des regroupements en classes la classe modale dépend du découpage retenu.
b) La médiane Définition : La médiane d’une série statistique dont les valeurs sont rangées dans l’ordre croissant est la valeur qui partage la population en deux groupes de même effectif.  Dans le cas où l’effectif est impair, on prend la valeur du milieu. Dans le cas où l’effectif est pair, on prend la demi-somme des deux valeurs du milieu.  c) La moyenne
statistique est le quotient de la somme de toutes les valeurs de cette série par l'effectif total. La moyenne est donnée par la relation :x11n1´x1#n2´x2##np´xp  
 i=p  nixi x = ec i= 1N  total) tif (où N est l’eff
 i=p n + n2x2+ … + npxp= f1x1fpxp=  fixi  x =1xN1NN  + f2x2+ … + i= 1
Remarque : Lorsque les valeurs sont regroupées en classes le calcul de la moyenne s’effectue en utilisant les centres des classes comme valeurs de la variablexi.   
 
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Moyenne élaguée: moyenne obtenue en supprimant certaines valeurs que l’on considère comme aberrantes.  Exemple :  Valeur 0,5 2 2,5 3 25 Effectif 1 2 4 2 1  Pour cette série, la moyenne est égale à 4,55. La valeur 25 paraît aberrante : en l’enlevant, on obtient la moyenne élaguée : soit environ 2,27.  d) Propriétés de la moyenne Linéarité de la moyenne
Si on multiplie chaque valeur de la série par un réela(a ¹0), alors la moyenne est multipliée para.
Preuve :  On noteN=n1+ n2+ … + np l’effectif total. La nouvelle moyenne est alors :  
a ´ # ´ # n1´a´x1#n2´a´x2##np´a´xp1Nn1x1n2x2#np
1 m1 N  Si on ajoute à chaque valeur de la série le réelb, alors la moyenne augmente deb. Preuve : La nouvelle moyenne est alors :
1 m1 N 1 m N 1 m
n1´(x1#b!#n2´(x2#b!##np´xp#b 1 n1´x1#n2´x2##np´xp#nN1´b#n2´b##np´b 1 n1´x1#n2´x2##np´xp#b´Nn1#n2##np1x#b
On regroupe ces deux propriétés dans l’énoncé suivant :
 
´xp
Si une série de valeursxia pour moyennex, la série de valeursaxi+ba pour moyenne ax+b. On parle de linéarité de la moyenne.
Moyennes partielles
Si la population d’effectif total N est partagée en deux sous groupes d’effectifsmetp, et de m y+p z série totale est x = = moyennes respectives y et z alors la moyenne de lam+p m y+p z N
 
1a x
4
4)  dispersionMesure de  Définition : L’étendue d’une série statistique est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite.  Exemple : si on étudie l’âge des ouvriers d’une entreprise est que celui-ci va de 18 ans à 54 ans, l’étendue est : 54 – 18 = 36 ans.
 
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