Structures algébriques - Etude du groupe symétrique

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6[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD Enoncés 1Etude du groupe symétrique Exercice 7 [ 02230 ] [correction]Soit n> 5. 0 0 0a b c a b cMontrer que si et sont deux cycles d’ordre 3 deS ,nExercice 1 [ 02224 ] [correction]2 alors il existe une permutation σ, paire, telle que Soient n un entier supérieur à 2, (i,j)∈{1,2,...,n} tel que i =j et σ∈S .n −1 0 0 0σ◦ a b c ◦σ = a b c .Montrer que σ et τ = i j commutent si, et seulement si,{i,j} est stable parσ.Exercice 8 [ 02231 ] [correction]Soit n> 2 et c la permutation circulaire c = ( 1 2 ... n−1 n ).Exercice 2 [ 02225 ] [correction]Déterminer toutes les permutations σ deS qui commutent avec c.nDansS avec n> 2, on considère une permutation σ et un p-cycle :n c = a a ... a .1 2 p−1Observer que la permutation σ◦c◦σ est un p-cycle qu’on précisera.Exercice 3 [ 02226 ] [correction]Déterminer la signature de : 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8a) σ = b) σ = .3 5 4 8 7 6 2 1 1 3 2 7 4 8 5 6Exercice 4 [ 02227 ] [correction]?Soit n∈N . Déterminer la signature de la permutation suivante : 1 2 ··· n−1 na) σ = .n n−1 ··· 2 1 1 2 3 ... n n+1 n+2 ... 2n−1 2nb) σ = .1 3 5 ... 2n−1 2 4 ... 2n−2 2nExercice 5 [ 02228 ] [correction]Soit n> 2 et τ une transposition deS .na) Montrer que l’application σ7→τ◦σ est une bijection deS versS .n nb) En déduire le cardinal de l’ensembleA formé des permutations paires deS .n nExercice 6 [ 02229 ] [correction]Dans (S ,◦) on considère les permutationsn τ = 1 2 et ...
Publié le : samedi 24 septembre 2011
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Etude du groupe symétrique
Enoncés
Exercice 1[ 02224 ][correction] 2 Soientnun entier supérieur à 2,(i, j)∈ {1,2, . . . , n}tel quei6=jetσSn.   Montrer queσetτ=i jcommutent si, et seulement si,{i, j}est stable par σ.
Exercice 2[ 02225 ][correction] DansSnavecn>2, on considère une permutationσet unp-cycle :   c=a1a2. . .ap. 1 Observer que la permutationσcσest unp-cycle qu’on précisera.
Exercice 3[ 02226 ][correction] Déterminer la signature de :    1 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 8 a)σ=b)σ=. 3 5 4 8 7 6 2 11 3 2 7 4 8 5 6
Exercice 4[ 02227 ][correction] ? SoitnN. Déterminer la signature de la permutation suivante :   1 2∙ ∙ ∙n1n a)σ=. n n1∙ ∙ ∙2 1   1 2 3. . .n n+ 1n+ 2. . .2n1 2n b)σ=. 1 3 5. . .2n41 2. . .2n2 2n
Exercice 5[ 02228 ][correction] Soitn>2etτune transposition deSn. a) Montrer que l’applicationσ7→τσest une bijection deSnversSn. b) En déduire le cardinal de l’ensembleAnformé des permutations paires deSn.
Exercice 6[ 02229 ][correction] Dans(S,)on considère les permutations n    τ= 12etσ= 12. . .n kk a) Calculerστσpour06k6n2. b) En déduire que tout élément deSnpeut s’écrire comme un produit deσet de τ.
Exercice 7[ 02230 ][correction] Soitn>5.    0 0 0 Montrer que sia b ceta b csont deux cycles d’ordre 3 deSn, alors il existe une permutationσ, paire, telle que    10 0 0 σa b cσ=a b c.
Exercice 8[ 02231 ][correction] Soitn>2etcla permutation circulairec1 2= (n. . .1n). Déterminer toutes les permutationsσdeSnqui commutent avecc.
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD Corrections
Corrections
Exercice 1 :[énoncé] Si{i, j}est stable parσalors{σ(i), σ(j)}={i, j}. x /∈ {i, j},(στ)(x) =σ(x) = (τσ)(x). Pourx=ialors(στ)(i) =σ(j) = (τσ)(i)et pourx=j, (στ)(j) =σ(i) = (τσ)(j). Par suiteστ=τσ. Inversement, siστ=τσalorsσ(i) = (στ)(j) = (τσ)(j) =τ(σ(j)). Puisqueτ(σ(j))6=σ(j)on aσ(j)∈ {i, j}. De mmeσ(i)∈ {i, j}et donc{i, j} stable parσ.
Exercice 2 :[énoncé] 1 Pourx=σ(ai), on a(σcσ)(x) =σ(ai+1)(en posantap+1=a1). 11 Pourx /∈ {σ(a1), . . . , σ(ap)}, on a(σcσ)(x) =σσ(x) =xcar 111 c(σ(x)) =σ(x)puisqueσ(x)/{a1, . . . , ap}. Ainsi   1 σcσ=σ(a1)σ(a2). . .σ(ap).
Exercice 3 :[énoncé] a)I(σ) = 2 + 3 + 2 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 17doncε(σ) =1. b)I(σ) = 0 + 1 + 0 + 3 + 0 + 2 + 0 + 0 = 6doncε(σ) = 1.
Exercice 4 :[énoncé] n(n1) n(n1) a)I(σ) = (n1) + (n2) +∙ ∙ ∙+ 1 + 0 =doncε(σ) = (1). 2 2 n(n1) n(n1) b)I(σ) = 0 + 1 + 2 +∙ ∙ ∙+ (n1) + 0 +∙ ∙ ∙+ 0 =doncε(σ) = (1). 2 2
Exercice 5 :[énoncé] a) L’applicationσ7→τσest involutive, donc bijective. b) L’applicationσ7→τσtransformeAnenSn\Andonc CardAn=CardSn\An, orSnest la réunion disjointe deAnet deSn\Andonc suite 1n! CardAn=CardSn=. 2 2
Exercice 6 :[énoncé]    1 22 a)στσ3= 2,στσ= 34,...,   kk στσ=k+ 1k+ 2.
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b) Il est « connu »que toute permutation deSnpeut s’écrire comme produit de   transpositions de la formek k+ 1. Ces dernières peuvent s’écrire comme 1n1n1 produit deσ, deτ, et deσ. Orσ=Id et doncσ=σet par conséquent, 1 σpeut s’écrire comme produit deσ.
Exercice 7 :[énoncé]    1 Notons queσa b cσ=σ(a)σ(b)σ(c). 0 00 Soitσ:NnNnune permutation définie par :σ(a) =a ,σ(b) =betσ(c) =c. Siσest paire alors le problème est résolu.   Siσest impaire alors soitc6=dNn\ {a, b, c}etτ=c d. στest une permutation paire satisfaisante.
Exercice 8 :[énoncé] k1 Pour commencer, notons que, pour toutk∈ {1, . . . , n}c(1) =ket par (k1) conséquentc(k) = 1. Soitσune permutation commutant aveccn. (k1) Posonsk=σ(1)∈ {1,2, ..., n}ets=cσde sorte ques(1) = 1. Commeσetccommutent,setccommutent aussi et on a pour tout26i6n, (i1)(i1) s=cscd’où (i1)(i1) (i1) (i1)(i1) s(i) =csc(i) =σs(1) =σ(1) =icarc(i) = 1. k Par conséquents=Id puisσ=c. k Inversement les permutations de la formecavec16k6ncommutent avecc.
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