these

Publié par

` ´THESE DE DOCTORAT DE MATHEMATIQUES´DE L’UNIVERSITE JOSEPH FOURIER (GRENOBLE I)pr´epar´ee a` l’Institut FourierLaboratoire de Math´ematiquesUMR 5582 CNRS-UJF´ ´ ´VARIETES HOROSPHERIQUES DE FANOBoris PASQUIERSoutenue a` Grenoble le 27 octobre 2006 devant le jury :Victor BATYREV (Tu¨bingen, Allemagne)Laurent BONAVERO (Universit´e de Grenoble I)Michel BRION (CNRS, Universit´e de Grenoble I), DirecteurOlivier DEBARRE (Universit´e de Strasbourg), Pr´esidentLaurent MANIVEL (CNRS, Universit´e de Grenoble I)Au vu des rapports de Victor BATYREV et Olivier DEBARREVari´et´es horosph´eriques de FanoBoris Pasquier27 octobre 20061RemerciementsJ’ai pris beaucoup de plaisir a` faire cette th`ese. Cela est en grande partiedu a` mon directeur de th`ese Michel Brion; je le remercie beaucoup pour letemps qu’il m’a consacr´e, pour sa patience et aussi son optimisme.Je souhaite remercier Olivier Debarre d’avoir accept´e d’ˆetre rapporteurde ma th`ese. J’ai beaucoup appr´eci´e sa relecture minutieuse ainsi que sescommentaires pertinents. Je remercie aussi Victor Batyrev d’avoir accept´ed’ˆetre rapporteur de ma th`ese et d’ˆetre venu d’Allemagne pour assister `a masoutenance.J’aimerais remercier les membres permanents de l’institut Fourier quiint`egrent parfaitement les th´esards a` la vie du labo, dont Laurent Bonaveroet Laurent Manivel qui ont accept´e de faire partie du jury. Je remercie aussile personnel administratif pour sa disponibilit´e et son efficacit´e ...
Publié le : samedi 24 septembre 2011
Lecture(s) : 16
Nombre de pages : 90
Voir plus Voir moins
` ´ THESE DE DOCTORAT DE MATHEMATIQUES ´ DE L’UNIVERSITE JOSEPH FOURIER (GRENOBLE I) prepareea`lInstitutFourier ´ ´ LaboratoiredeMathe´matiques UMR 5582 CNRS-UJF
´ ´ ´ VARIETES HOROSPHERIQUES DE FANO
Boris PASQUIER
Soutenuea`Grenoblele27octobre2006devantlejury:
VictorBATYREV(T¨ubingen,Allemagne) LaurentBONAVERO(Universit´edeGrenobleI) MichelBRION(CNRS,Universit´edeGrenobleI),Directeur OlivierDEBARRE(Universite´deStrasbourg),Pre´sident LaurentMANIVEL(CNRS,Universit´edeGrenobleI)
Au vu des rapports deVictor BATYREVetOlivier DEBARRE
Vari´ete´shorosphe´riquesdeFano
Boris Pasquier
27 octobre 2006
1
Remerciements
Jaiprisbeaucoupdeplaisir`afairecetteth`ese.Celaestengrandepartie du`amondirecteurdethe`seMichelBrion;jeleremerciebeaucouppourle tempsquilmaconsacr´e,poursapatienceetaussisonoptimisme.
JesouhaiteremercierOlivierDebarredavoiraccept´edˆetrerapporteur demathe`se.Jaibeaucoupappre´cie´sarelectureminutieuseainsiqueses commentairespertinents.JeremercieaussiVictorBatyrevdavoiraccept´e dˆetrerapporteurdemathe`seetdeˆtrevenudAllemagnepourassistera`ma soutenance.
J’aimerais remercier les membres permanents de l’institut Fourier qui int`egrentparfaitementlesthe´sards`alaviedulabo,dontLaurentBonavero etLaurentManivelquiontaccepte´defairepartiedujury.Jeremercieaussi lepersonneladministratifpoursadisponibilit´eetsonecacite´.
Enn,jeremercielesthe´sardsactuelsetanciensdelinstitutFourieret d’ailleurs, tous mes amis dont Claire, Christophe, Vincent..., et toute ma famille.Enparticulier,jetiens`aexprimeruntr`estr`esgrandmerci`ames parentspources26derni`eresann´eesetlesann´eesa`venir!
2
3
Table
Introduction
1
2
3
4
5
6
7
Notations
des
mati`eres
Varie´t´eshorosph´eriqueslisses
Classification des plongements de Fano
Majorationdudegre´etdunombredePicard 4.1 Majoration du degre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 4.2 Majoration du nombre de Picard . . . . . . . . . . . . . . . .
Sur l’amplitude projective
des
diviseurs d’une
varie´t´e
horosph´erique
D´eterminationdespolygonesG/Htrecsnia-er´ifexurss exemples 6.1 Outils de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 (SL2×C)/U. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 (SL2×SL2)/UouSL3/U. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quelquesexemplesdevarie´t´eshorosphe´riquesdeFano 7.1 Plongements de (SL2×C)/U. . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Description de quelques plongements deSL3/U. . . . . .
Bibliographie
Index
4
. . .
. .
. . .
. .
6
11
21
31
41 41 52
55
59 60 62 69
85 85 94
102
105
5
Introduction
Unevari´et´ecomplexeprojectiveXest dite de Fano si elle est normale et si son diviseur anticanoniqueKXest de Cartier et ample. On sait qu’il existeseulementunnombrenidefamillesdevarie´te´slisses,deFanoetde ee. e dimension donn´ C pendant ces familles sont seulement connues jusqu’en dimension 3. Lesvari´ete´storiquesdonnentbeaucoupdexemplesdevarie´te´sdeFano. Pluspr´ecise´ment,V.Batyrevaclassi´elesvari´et´estoriquesdeFanodedi-mensionndimefsdennsiootepopyleixrse´ntemeeressdn[Ba94] : ce sont les polytopes convexes deRntsmensda`omasZn0tnasnadocnetnerieurleurint´ ettelsqueleurpolytopedualv´erielesmeˆmeshypothe`ses. Deplus,certainespropri´ete´soucertainsinvariantsg´eom´etriquesdesvarie´-te´storiquesdeFano,commelalissite´,lenombredePicardouledegre´,se lisentfacilementsurlepolytoper´eexifassocie´.Celaapermis`aO.Debarre demajorerledegre´(KX)dednonnfiocteFsdoeaneulssiese´tsroqisvari´etde la dimensiondet du nombre de Picard [De03]. D’autre part, C. Casagrande a r´ecemmentdonne´unemajorationoptimaledunombredePirddesvarie´t´ ca es toriquesQ-factorielles et de Fano en fonction de la dimension [Ca06]. Cettethe`seapourbutdege´n´eralisertouscesre´sultatsauxvari´et´esho-rosphe´riques.SoitGenexcfnoU.ngnuglaepuorueiqbr´etiucedr´G-espace homog`eneestdithorosphe´riquederangnb´reetnrose(seicunstC)n surunevari´et´ededrapeaux.Voiciquelquesexemplesdespaceshomoge`nes horosph´eriquesG/H:
6
1 2
3
4
5
6
G (C)n G
S
L2
SL2×C
SL2×SL2
SL3
un s
U=
H {1} ous-groupe paraboliqueP U={101} 011} × {1} 1} × {101} U={100101}
U={ {10
rang n 0
1
2
2
2
dimension n dimGdimP
2
3
4
5
Unevarie´te´horosphe´riqueestunplongementdunespacehomog`eneho-rosph´eriqueG/Henuerid-,t-`acesGnautenroibete´irav-maorent´enntcole ouverteisomorphe`aG/H; son rang est celui deG/Hset´eari´.Pmiarsvle horosphe´riques,oncomptelesvari´ete´storiques(lorsqueG/Hest un tore : exemple1)etlesvari´et´esdedrapeaux(exemple2).Cesderni`tli eres son sses et de Fano. Lesvari´ete´shorosphe´riquesfontpartiedelafamilledesvari´et´essphe´riques. Lesplongementsdunespacehomoge`nesph´eriqueG/Hsalce´te´tnoe´xessi´ entermesde´ventailscolori´esparD.LunaetT.Vust[LV83].LorsqueG/H esthorosphe´riquederangn, on montre que les plongements de Fano deG/H sontclassie´sentermesdecertainspolytopesrationnels,ditsG/H-r´sfixee (voirlad´enition3.3).Cespolytopessontdedimensionn(tout comme les ´eventailscolorie´s).IlestimportantderemarquerqueladimensiondeG/H est plus grande quenge´ceva,tseniestemelutilaise´G/Hest un tore ; dans ce dernier cas, les polytopesG/Hnsidse´xefier´esopytolspletnossfixee´r-par V. Batyrev. A rang egal, les polytopesG/Hventˆetrebeau--e´rfixeueps ´ coupplusnombreuxquelespolytopesr´eexifs.LorsqueGetHsont comme danslexemple6,ilya,`aautomorphismepr`es,398polytopesG/Hsfixee´r-(calculeectu´edanslapartie6.3).Encomparaison,oncompteseulement16 polytopesr´eexifsdedimension2. V.AlexeevetM.Brionontmontr´equelensembledesclassesdisomor-phismedesvarie´t´essph´eriquesdeFanodedimensionxe´eestni[AB04]. Onverraquelaclassicationpr´ece´dentepermetdavoiruneversioneective decer´esultatpourlesvarie´t´eshorosph´eriquesdeFanodontlorbiteouverte estxe´e.
7
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.