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´UNIVERSITE DEVERSAILLES SAINT-QUENTIN-EN-YVELINES`THESEpr´esent´ee pour obtenir le grade de :DOCTEUR en Sciences de l’Universit´e deVersailles Saint-Quentin-en-YvelinesSp´ecialit´e : Math´ematiques Appliqu´eesparMuriel BOULAKIATitre :MODELISATION ET ANALYSEMATHEMATIQUE DE PROBLEMESD’INTERACTION FLUIDE-STRUCTURESoutenue le 15 Novembre 2004 devant la Commission d’examen :Mme. Maria EstebanM. Eduard FeireislM. Otared KavianM. Benoˆıt Perthame Pr´esident du juryM. Jean-Pierre Puel Directeur de th`eseM. Marius TucsnakApr`es avis des rapporteurs :M. Eduard FeireislM. Michel PierreRemerciementsMes remerciements s’adressent tout d’abord `a mon directeur de th`ese, Jean-Pierre Puel quim’adonn´elapossibilit´eded´ecouvrirundomainedesmath´ematiquesappliqu´eestr`esint´eressant.Gracˆ e a` sa disponibilit´e constante, j’ai pu b´en´eficier de ses connaissances scientifiques et de sonexp´erience. J’ai beaucoup appr´eci´e son enthousiasme communicatif qui m’a aid´e `a mener cetravail a` terme. Je le remercie aussi chaleureusement pour ses encouragements et la confiancequ’il m’a accord´ee. Ces ann´ees auront ´et´e pour moi particuli`erement enrichissantes.Je suis extrˆemement reconnaissante `a Eduard Feireisl et Michel Pierre d’avoir accept´e d’ˆetreles rapporteurs de cette th`ese. Leurs commentaires et suggestions sur la version pr´eliminairem’ont´et´e tr`es pr´ecieux. Les discussions constructives avec Eduard Feireisl durant mon doctoratm’ont ´egalement ...
Publié le : samedi 24 septembre 2011
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´UNIVERSITE DE
VERSAILLES SAINT-QUENTIN-EN-YVELINES
`THESE
pr´esent´ee pour obtenir le grade de :
DOCTEUR en Sciences de l’Universit´e de
Versailles Saint-Quentin-en-Yvelines
Sp´ecialit´e : Math´ematiques Appliqu´ees
par
Muriel BOULAKIA
Titre :
MODELISATION ET ANALYSE
MATHEMATIQUE DE PROBLEMES
D’INTERACTION FLUIDE-STRUCTURE
Soutenue le 15 Novembre 2004 devant la Commission d’examen :
Mme. Maria Esteban
M. Eduard Feireisl
M. Otared Kavian
M. Benoˆıt Perthame Pr´esident du jury
M. Jean-Pierre Puel Directeur de th`ese
M. Marius Tucsnak
Apr`es avis des rapporteurs :
M. Eduard Feireisl
M. Michel PierreRemerciements
Mes remerciements s’adressent tout d’abord `a mon directeur de th`ese, Jean-Pierre Puel qui
m’adonn´elapossibilit´eded´ecouvrirundomainedesmath´ematiquesappliqu´eestr`esint´eressant.
Gracˆ e a` sa disponibilit´e constante, j’ai pu b´en´eficier de ses connaissances scientifiques et de son
exp´erience. J’ai beaucoup appr´eci´e son enthousiasme communicatif qui m’a aid´e `a mener ce
travail a` terme. Je le remercie aussi chaleureusement pour ses encouragements et la confiance
qu’il m’a accord´ee. Ces ann´ees auront ´et´e pour moi particuli`erement enrichissantes.
Je suis extrˆemement reconnaissante `a Eduard Feireisl et Michel Pierre d’avoir accept´e d’ˆetre
les rapporteurs de cette th`ese. Leurs commentaires et suggestions sur la version pr´eliminaire
m’ont´et´e tr`es pr´ecieux. Les discussions constructives avec Eduard Feireisl durant mon doctorat
m’ont ´egalement beaucoup apport´e.
Je suis tr`es sensible a` l’honneur que m’ont fait Maria Esteban, Otared Kavian, Benoˆıt Per-
thame et Marius Tucsnak en s’int´eressant a` mon travail et en acceptant de faire partie de mon
jury de th`ese. Merci en particulier `a Otared Kavian et Benoˆıt Perthame dont j’ai suivi les cours
et dont j’ai pu appr´ecier les qualit´es d’enseignant.
Je tiens `a remercier Carlos Conca, Axel Osses et Jorge San Martin pour les travaux men´es
en commun durant mon s´ejour au Chili. Merci aussi `a Fr´ed´eric Hecht, a` C´eline Grandmont pour
les nombreuses discussions ´eclairantes et a` Takeo Takahashi.
Je remercie le laboratoire de math´ematiques appliqu´ees pour m’avoir permis de passer trois
ann´ees agr´eables, dans de tr`es bonnes conditions de travail. Je remercie aussi les coll`egues ensei-
gnants avec lesquels j’ai´etabli des relations tr`es instructives et qui m’ont guid´e dans mes d´ebuts
d’enseignante. Je n’oublie pas non plus Marie-France Tha¨ı pour les multiples services qu’elle
m’a rendus, ni tous les doctorants que j’ai cotoy´es : ces ann´ees auraient ´et´e moins appr´eci´ees
sans une bonne dose de bonne humeur!!
C’est aussi l’occasion pour moi de remercier du fond du cœur mes parents pour leur soutien
et leur affection sans limite. Ils ont constamment´et´e a` mes cˆot´es et m’ont toujours encourag´ee `a
fairecequimeplaisait.Merciaussia`Laurepournotrecomplicit´eettousnossouvenirscommuns.
Enfin, je remercie Sylvain qui partage ma vie. Sa pr´esence m’est tout simplement indispen-
sable.a` mes parents et Laure.
a` Sylvain.MODELISATION ET ANALYSE MATHEMATIQUE
DE PROBLEMES D’INTERACTION FLUIDE-STRUCTURE
R´esum´e
Cetteth`eseestcompos´eededeuxpartiestraitantdeprobl`emesd’interactionfluide-structure.
Dans la premi`ere partie, nous consid´erons le mouvement d’un solide ´elastique immerg´e dans
un fluide visqueux incompressible. L’ensemble ´evolue `a l’int´erieur d’une cavit´e fixe born´ee.
Le mouvement du solide se compose d’un d´eplacement rigide (translation et rotation) et de
d´eformations ´elastiques. Nous ajoutons un terme r´egularisant dans l’´equation du mouvement
solide afin de contrˆoler les d´eformations ´elastiques dans une norme assez forte. Nous nous
int´eressons successivement a` deux mod`eles pour la structure´elastique : le premier est un mod`ele
simplifi´e en dimension deux ou` les ´equations du mouvement solide sont d´ecoupl´ees entre elles.
Lesecondmod`eletraiteunmod`elepluscompletendimensiontroisavecdestermesdecouplages
non lin´eaires dans les ´equations du mouvement solide.
Nousmontronsalorspourlesdeuxmod`elesunr´esultatd’existencedesolutionsfaiblesd´efinies
tant qu’il n’y a pas de chocs entre la structure et la paroi de la cavit´e et tant que des conditions
de non-interp´en´etration et de pr´eservation de l’orientation du solide sont satisfaites.
Dans la seconde partie, nous nous int´eressons au mouvement d’un solide ´elastique immerg´e
dans un fluide visqueux compressible en dimension trois. Nous choisissons un point de vue
eul´erien pour mod´eliser le mouvement de la structure ´elastique. De mˆeme que dans la premi`ere
partie, nous r´egularisons fortement l’´equation du mouvement solide afin d’avoir des estimations
suppl´ementaires sur la d´eformation ´elastique. Nous montrons alors un r´esultat d’existence avec
les mˆemes conditions sur le temps d’existence que dans la premi`ere partie.
Mots cl´es : Interaction fluide-structure, ´equations de Navier-Stokes, fluides incompressibles,
fluides compressibles, th´eorie de l’´elasticit´e, existence de solutions faibles.
AMS Classification : 35Q30, 37N15, 74B05, 74B20, 74F10, 76D03, 76N10.MODELLING AND MATHEMATICAL ANALYSIS
OF FLUID-STRUCTURE INTERACTION PROBLEMS
Abstract
This thesis is composed of two parts which deal with fluid-structure interaction problems.
In the first part, we consider the motion of an elastic structure immersed in a viscous incom-
pressiblefluid.Thefluidandthestructurearecontainedinafixedboundedset.Thedisplacement
of the structure is composed of a rigid displacement (translation and rotation) combined with
an elastic deformation. We add a regularizing term in the equation of the solid motion in order
to control elastic deformations in a strong enough norm. We deal successively with two models
for the elastic structure : the first one is a simplified model in two space dimensions with discou-
pled solid equations. The second one is a more complete model in three space dimensions with
nonlinear coupling terms in the equations of the solid motion.
We obtain for each model an existence result of weak solutions defined as long as no collisions
occur and as long as the conditions of non-interpenetration and of preservation of orientation
are satisfied.
In the second part, we are interested by the three dimensional motion of an elastic structure
immersedinaviscouscompressiblefluid.Wechooseaneulerianpointofviewtomodeltheelastic
structure motion. As in the first part, we strongly regularize the equation of the solid motion in
order to get additional estimates on the elastic deformations. Then we show an existence result
with the same conditions on the existence time as in the first part.
Key words : Fluid-structure interaction, Navier-Stokes equations, incompressible fluids, com-
pressible fluids, elasticity theory, existence of weak solutions.
AMS Classification : 35Q30, 37N15, 74B05, 74B20, 74F10, 76D03, 76N10.Table des mati`eres
Introduction 11
I Probl`eme d’interaction entre un fluide incompressible et une structure
´elastique 25
1 Existenced’unesolutionfaiblepourunprobl`emed’interactionfluideincompressible-
solide ´elastique en dimension deux. Un premier mod`ele. 29
1 Pr´esentation du probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 R´esultat principal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4 Repr´esentation des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5 Probl`eme en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6 Preuve du th´eor`eme principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2 Existenced’unesolutionfaiblepourunprobl`emed’interactionfluideincompressible-
solide ´elastique en dimension trois 41
1 Introduction et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.1 Position du probl`eme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.2 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.3 Le mod`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.4 R´esultats annexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2 Formulation variationnelle et r´esultat principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.1 Estimation d’´energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.2 Espace fonctionnel ou` sera cherch´ee la solution . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3 Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4 R´esultat principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3 Repr´esentation des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4 Probl`eme en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.1 Le probl`eme lin´earis´e en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2 Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3 R´esolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.4 Point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5 R´esultats de compacit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8010
5.1 Compacit´e de la densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.2 Compacit´e des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.1 Passage a` la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.2 Prolongement de la solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
II Probl`eme d’interaction entre un fluide compressible et une structure
´elastique 105
1 Existenced’unesolutionfaiblepourunprobl`emed’interactionfluidevisqueux
compressible-solide ´elastique 107
1 Introduction et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
1.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
1.2 Le mod`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
1.3 Estimation d’´energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
1.4 R´esultats annexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2 Formulation variationnelle et r´esultat principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3 R´esolution du probl`eme approch´e en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.1 Le probl`eme lin´earis´e en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.2 R´esolution du probl`eme lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.3 Passage au probl`eme non lin´eaire en dimension finie . . . . . . . . . . . . 130
3.4 Prolongement de la solution sur un intervalle ind´ependant de N . . . . . 132
4 Passage au probl`eme continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
N4.1 Convergence forte de (X ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133N∈N
N4.2 Convergence forte de (% ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135N∈N
N4.3 Convergence forte de (u ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141N∈N
4.4 Passage `a la limite dans la formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . 143
5 Passage a` la limite en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.1 Estimation sur la densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.2 Passage a` la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.3 Identification de la pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6 Passage a` la limite en δ le cœfficient de pression artificielle . . . . . . . . . . . . . 166
6.1 Estimation sur la densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.2 Passage a` la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.3 Identification de la pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

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