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¶Universite Paul Sabatier | Toulouse III¶Institut de Mathematiques de¶UFR Mathematiques Informatique Gestion¶Ecole Doctorale Mathematiques et ApplicationsLaboratoire Emile PicardµTHESEpr¶esent¶ee en vue de l’obtention du grade de¶Docteur de l’Universite Toulouse IIIMention Math¶ematiques et ApplicationsparGr¶egoire MONTCOUQUIOLD¶eformations de m¶etriques Einstein sur desvari¶et¶es µa singularit¶es coniquesSoutenue le mardi 6 d¶ecembre 2005 devant le jury compos¶e de :M. O. Biquard professeur, universit¶e Strasbourg I examinateurM. M. Boileau universit¶e Toulouse IIIM. G. Carron professeur, universit¶e de Nantes rapporteurM. M. Herzlich universit¶e Montpellier II examinateurM. F. Pacard professeur, universit¶e Paris XII pr¶esident du juryM. J.-M. Schlenker universit¶e Toulouse III directeur de thµeseau vu des rapports de :M. G. Besson directeur de recherches, universit¶e Grenoble IM. G. Carron professeur, universit¶e de NantesRemerciementsJe tiens µa remercier en premier lieu Jean-Marc Schlenker, qui a accept¶e dem’encadrer pendant cette thµese. Il a su ^etre pr¶esent et disponible, toujourspr^et µa m’¶ecouter et aµ me relancer quand j’en avais besoin. Il m’a t¶emoign¶e unegrande conflance, me laissant la libert¶e que je souhaitais dans l’orientation demes recherches. Le sujet qu’il m’a propos¶e, situ¶e µa l’intersection de plusieursbranches des math¶ematiques, m’a permis d’¶etendre mes connaissances µa desdomaines que je ne connaissais pas ...
Publié le : samedi 24 septembre 2011
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¶Universite Paul Sabatier | Toulouse III
¶Institut de Mathematiques de
¶UFR Mathematiques Informatique Gestion
¶Ecole Doctorale Mathematiques et Applications
Laboratoire Emile Picard
µTHESE
pr¶esent¶ee en vue de l’obtention du grade de
¶Docteur de l’Universite Toulouse III
Mention Math¶ematiques et Applications
par
Gr¶egoire MONTCOUQUIOL
D¶eformations de m¶etriques Einstein sur des
vari¶et¶es µa singularit¶es coniques
Soutenue le mardi 6 d¶ecembre 2005 devant le jury compos¶e de :
M. O. Biquard professeur, universit¶e Strasbourg I examinateur
M. M. Boileau universit¶e Toulouse III
M. G. Carron professeur, universit¶e de Nantes rapporteur
M. M. Herzlich universit¶e Montpellier II examinateur
M. F. Pacard professeur, universit¶e Paris XII pr¶esident du jury
M. J.-M. Schlenker universit¶e Toulouse III directeur de thµese
au vu des rapports de :
M. G. Besson directeur de recherches, universit¶e Grenoble I
M. G. Carron professeur, universit¶e de NantesRemerciements
Je tiens µa remercier en premier lieu Jean-Marc Schlenker, qui a accept¶e de
m’encadrer pendant cette thµese. Il a su ^etre pr¶esent et disponible, toujours
pr^et µa m’¶ecouter et aµ me relancer quand j’en avais besoin. Il m’a t¶emoign¶e une
grande conflance, me laissant la libert¶e que je souhaitais dans l’orientation de
mes recherches. Le sujet qu’il m’a propos¶e, situ¶e µa l’intersection de plusieurs
branches des math¶ematiques, m’a permis d’¶etendre mes connaissances µa des
domaines que je ne connaissais pas avant de le rencontrer.
Je voudrais remercier ensuite Gilles Carron et G¶erard Besson, qui se sont
int¶eress¶esaµmestravauxbienavantquejeleurdemanded’^etremesrapporteurs.
Leurscommentairesm’ont¶et¶etrµespr¶ecieuxpour lar¶edactiondecettethµeseet
les discussions que j’ai eues avec eux ont toujours ¶et¶e trµes enrichissantes, tant
sur le plan humain que math¶ematique.
Je remercie sincµerement Olivier Biquard, Marc Herzlich et Frank Pacard
d’avoiraccept¶edefairepartiedujury,ainsiqueMichelBoileau,dontl’¶etendue
des connaissances m’a toujours impressionn¶e, notamment lors des s¶eances du
s¶eminaire Groupes et G¶eom¶etrie du mardi matin.
Merci aussi µa tout le personnel du laboratoire Emile Picard, gr^ace aµ qui
ces ann¶ees µa Toulouse se sont si bien pass¶ees, et en particulier µa Rita Gomes,
Agnµes Requis et Marie-Line Chemin, sans qui j’aurais eu du mal µa terminer
ma thµese µa distance.
Merci enfln µa tous les gens que j’ai rencontr¶e pendant cette thµese et qui sont
devenus des amis, depuis les anciens de salle six (Arnaud, Nicolas, Sonia,...)
jusqu’aux plus r¶ecents (Yohann et Johanna, C¶ecile, Julien, Anne) en passant
par Manu, Guy, Julien, Mathieu et son appareil photo, Laurent, Guillaume,
Nicolas, Erwan, et j’en oublie suremen^ t. Merci µa tous ceux qui m’ont aid¶e
pour la soutenance, et particuliµerement µa Philippe et Marie-H¶elµene. Merci aµ
ma famille, aµ mes parents, qui j’espµere sont flers de moi aujourd’hui.
Et surtout, merci aµ Vanessa, qui attendait ce moment avec impatience, et
qui a su me donner la motivation et l’¶energie aut ouµ c’¶etait n¶ecessaire.Introduction
L’¶etude des vari¶et¶es Einstein, un domaine de recherche actif depuis plusieurs dizaines d’an-
n¶ees, est r¶ecemment revenue au coeur de l’actualit¶e math¶ematique, gr^ace notamment aux tra-
vauxdeG.Perelman[20]surlaconjecturedeg¶eom¶etrisationdeThurstonviale otdeRicci.Les
exemplesdevari¶et¶esadmettantdesm¶etriquesEinsteinsontplusenplusnombreux,maisrestent
souvent cantonn¶es µa des familles bien particuliµeres. Ainsi, on conna^‡t de nombreux exemples
de vari¶et¶es Einstein µa courbure n¶egative, mais trµes peu sont non homogµenes. Le problµeme de
trouver de telles vari¶et¶es est rendu plus di–cile par le fait qu’elles sont rigides dans le cas
compact : on ne peut pas les d¶eformer pour obtenir d’autres vari¶et¶es Einstein. Ces r¶esultats
de rigidit¶e sont connus depuis longtemps pour les vari¶et¶es hyperboliques et pour les espaces
sym¶etriques en g¶en¶eral [18]. Mais la situation n’est plus la m^eme dµes que l’on quitte les vari¶et¶es
ferm¶ees:larigidit¶eestalorseng¶en¶eralsubordonn¶eeaµd’autresparamµetres,commeparexemple
la structure conforme du bord µa l’inflni pour les vari¶et¶es hyperboliques.
Dans leur c¶elµebre article [13], Hodgson et Kerckhofi montrent que contrairement au cas
compact, il est possible de d¶eformer des vari¶et¶es hyperboliques µa singularit¶es coniques. Plus
pr¶ecis¶ement, pour une large classe de c^ones-vari¶et¶es hyperboliques de dimension 3, l’espace
des structures coniques hyperboliques au voisinage d’une c^one-vari¶et¶e donn¶ee est param¶etr¶e
par les angles coniques. Si l’on se donne une petite variation des angles, il existe donc une
unique structure de c^ones-vari¶et¶es hyperboliques proche de la structure de d¶epart et r¶ealisant
la variation donn¶ee des angles coniques. Leur r¶esultat principal est le th¶eorµeme de rigidit¶e
inflnit¶esimale suivant : si M est une c^one-vari¶et¶e hyperbolique de dimension 3 de volume flni,
dont le lieu singulier forme un entrelacs et dont tous les angles coniques sont inf¶erieurs µa 2…,
alors il est impossible de la d¶eformer sans modifler ses angles. Cet article, compl¶et¶e par des
travaux plus r¶ecents (voir notamment [14], [16] et [26]), a ¶et¶e le point de d¶epart de nombreux
d¶eveloppements dans l’¶etude de la g¶eom¶etrie des vari¶et¶es hyperboliques de dimension 3, tels
que la g¶eom¶etrisation des petites orbifolds ou l’¶etude des groupes kleiniens ([5], [7]).
Leprincipedelad¶emonstrationduth¶eorµemederigidit¶einflnit¶esimaledeHodgsonetKerck-
hofi est de r¶eussir µa appliquer la m¶ethode de Calabi-Weil (cf [8], [12], [25]) aux c^ones-vari¶et¶es :
on montre que la repr¶esentation d’holonomie n’admet pas de d¶eformations non triviales de la
formevoulue.Celan¶ecessited’¶etablirdesformulesd’int¶egrationparpartiesainsiqu’unr¶esultat
du type th¶eorµeme de Hodge. Ce genre de di–cult¶es est inh¶erent µa l’¶etude des c^ones-vari¶et¶es;
nous verrons dans cette thµese comment les aborder.
Dans le cas des vari¶et¶es ferm¶ees, Koiso [15] a donn¶e un analogue de la m¶ethode de Calabi-
Weil, qui n’utilise plus la repr¶esentation d’holonomie mais ¶etudie directement les d¶eformations
delam¶etrique(cfaussi[2],x12.H).Cettedeuxiµemem¶ethodepr¶esentel’avantagedes’appliquer,
en dimension sup¶erieure, µa une classe de vari¶et¶es plus vaste, et en particulier aux vari¶et¶es
Einstein (v¶eriflant de bonnes conditions de courbure).
Il est int¶eressant de regarder si ces techniques s’appliquent aux vari¶et¶es µa singularit¶es co-
niques, et permettent d’obtenir une g¶en¶eralisation du th¶eorµeme de Hodgson et Kerckhofi. Il
devrait ^etre alors possible de construire, aµ partir d’une vari¶et¶e hyperbolique µa cusps (que l’on
peut consid¶erer comme une c^one-vari¶et¶e d’angles coniques nuls), des c^ones-vari¶et¶es Einstein
proches, dont les angles coniques (su–samment petits) sont donn¶es. On peut choisir ces angles
5Introduction
delaforme2…=n;enprenantensuiteunrev^etementappropri¶e,onobtientunevari¶et¶ecompacte
non singuliµere, dont la m¶etrique a priori non homogµene est Einstein, µa courbure sectionnelle
n¶egative. Comme il a ¶et¶e mentionn¶e, on conna^‡t actuellement trµes peu d’exemples de telles
vari¶et¶es riemanniennes; la construction ci-dessus en donnerait toute une famille.
Le but de cette thµese est d’utiliser ces techniques pour montrer qu’inflnit¶esimalement, la
situation en dimension sup¶erieure µa 3 est la m^eme qu’en dimension 3. Dans un premier temps,
une adaptation de la m¶ethode de Koiso permet de d¶emontrer que, sous des hypothµeses voisines
de celles du th¶eorµeme de Hodgson et Kerckhofi, on ne peut pas d¶eformer une c^one-vari¶et¶e
hyperboliqueendesc^ones-vari¶et¶esEinsteinsansenmodiflerlesanglesconiques.Enparticulier,
on red¶emontre dans le cas de la dimension trois le th¶eorµeme de rigidit¶e inflnit¶esimale ci-dessus.
Dans un deuxiµeme temps, une ¶etude plus pouss¶ee de l’¶equation d’Einstein lin¶earis¶ee permet
de construire, pour toute variation donn¶ee des angles, une d¶eformation Einstein inflnit¶esimale
r¶ealisant au premier ordre la variation voulue des angles coniques.
Pr¶esentation des r¶esultats et plan de la thµese
Dans le premier chapitre, on met en place le cadre et les difi¶erents outils utilis¶es dans la
suite de cette thµese. On commence par donner dans la section 1.1 la d¶eflnition pr¶ecise des
c^ones-vari¶et¶es envisag¶ees, et on remarque alors que les d¶eformations inflnit¶esimales d’une telle
structure peuvent toujours se mettre sous une forme standard (i.e. appartenant µa une certaine
famille de d¶eformations) au voisinage du lieu singulier. En particulier, une d¶eformation ne
2 2modiflantpaslesanglesalapropri¶et¶ed’^etreL ,µad¶eriv¶eecovarianteL ;c’estentreautrespour
2cette raison que l’on sera amen¶e ensuite µa travailler principalement dans le cadre L . Notons
que contrairement au cas hyperbolique, les d¶eformation standards forment ici une famille de
dimension inflnie.
La section suivante rappelle la d¶eflnition des m¶etriques et d¶eformations inflnit¶esimales Ein-
stein et expose le problµeme des d¶eformations triviales. Afln de s’acquitter de ce dernier, on
cherche aµ imposer la condition de jauge de Bianchi, ce qui revient µa pouvoir r¶esoudre une
¶equationdenormalisation.Ontrouveensuitedanslasection1.3quelquesr¶esultatsdelath¶eorie
des op¶erateurs non born¶es d’un espace de Hilbert qui nous seront utiles pour r¶esoudre cette
¶equation.
La fln des pr¶eliminaires est consacr¶e aux problµemes d’int¶egrations par parties, et en parti-
culier aµ la d¶emonstration du th¶eorµeme suivant :
1 (r;s) 1 (r+1;s) ⁄Th¶eorµeme (1.4.3). Soient u2C (T M), v2C (T M) tels que u,ru, v,r v soient
2 ⁄dans L . Alors hu;r vi=hru;vi:
Lesr¶esultatsdecettesection1.4serontd’usageconstantdanslasuitedelathµese.Iciencore,
2on verra qu’il est naturel de travailler avec des objets appartenant aµ des espaces L . En plus
des th¶eorµemes d’int¶egrations par partie, on donne leur interpr¶etation en termes d’op¶erateurs
non born¶es ainsi que d’autres r¶esultats utilisant les m^emes techniques.
Le but du deuxiµeme chapitre est d’arriver µa d¶emontrer le r¶esultat suivant :
6Th¶eorµeme (2.2.1). SoitM unec^one-vari¶et¶ehyperboliquecompacte,dontlelieusingulierforme
une sous-vari¶et¶e ferm¶ee de codimension 2, et dont tous les angles coniques sont strictement
inf¶erieurs µa 2…. Alors toute d¶eformation Einstein inflnit¶esimale ne modiflant pas les angles
coniques est triviale.
Lesrestrictionsimpos¶eesµalag¶eom¶etriedesc^ones-vari¶et¶essontessentiellementlesm^emesque
dans l’article de Hodgson et Kerckhofi [13] (on aurait pu remplacer l’hypothµese \M compacte"
par l’hypothµese \M de volume flni", mais les choses sont quand m^eme plus simples dans le
cas compact). La condition sur la g¶eom¶etrie du lieu singulier est plus cruciale : c’est elle qui
permetd’avoirunbonmodµelelocaletquipermetainsidefairelescalculs.Demaniµereg¶en¶erale,
le lieu singulier d’une c^one-vari¶et¶e peut ^etre beaucoup plus compliqu¶e. Enfln, la condition sur
les angles coniques est une hypothµese technique qui para^‡t de prime abord assez myst¶erieuse.
En fait, on verra dans la section 2.1.4 que les angles coniques r¶egissent en partie la croissance
au voisinage du lieu singulier des solutions d’un laplacien; plus les angles sont petits, plus on
contr^ole ces solutions.
L’outil principal dans la d¶emonstration de la rigidit¶e inflnit¶esimale est connu sous le nom
de technique de Bochner. En partant d’une ¶equation du type Pu = 0 ouµ P est un op¶erateur
difi¶erentiel du deuxiµeme ordre de type Laplacien, on exprime P comme somme d’un op¶
⁄auto-adjointpositifQ Qdedegr¶e2etd’unop¶erateurRdedegr¶e0faisantintervenirlacourbure.
Une telle d¶ecomposition
⁄P =Q Q+R
s’appelle une formule de Weitzenb˜ock; on en rencontrera aµ de nombreuses reprises dans cette
thµese. Ensuite, si elle est valide, une int¶egration par parties donne
20=hPu;ui=jjQujj +hRu;ui:
2Si l’op¶erateur R est tel que hRu;ui ‚ cjjujj avec c > 0, on trouve alors u = 0. Le lecteur
int¶eress¶e par le sujet pourra se r¶ef¶erer µa [2],x1.I.
La premiµere partie du deuxiµeme chapitre consiste en une ¶etude d¶etaill¶ee de l’¶equation de
normalisation et de l’op¶erateur correspondant
⁄L=r r+(n¡1)Id =¢+2(n¡1)Id
agissant sur les 1-formes. Le but est de trouver des bons domaines sur lesquels L est auto-
adjointetdoncinversible.Pourcefaire,etaprµesavoirpr¶ealablementexhib¶euned¶ecomposition
adapt¶ee en s¶eries de Fourier g¶en¶eralis¶ees (x2.1.3), on ¶etudiera le comportement des solutions
de l’¶equation homogµene au voisinage de la singularit¶e. On montrera que ce comportement est
¶etroitement li¶e aux angles coniques; par exemple, la norme ponctuelle d’une solution donn¶ee
kau voisinage d’une composante connexe du lieu singulier d’angle conique fi est en r avec k2
¡1 ¡1f§1§2p…fi ;§2p…fi =p2Zg. Les restrictions impos¶ees sur les angles coniques permettent
de contr^oler su–samment les solutions de l’¶equation homogµene, et flnalement les solutions de
l’¶equation de normalisation tout court. On aboutit ainsi au th¶eorµeme suivant :
Th¶eorµeme (2.1.6). Soit M une c^one-vari¶et¶e hyperbolique dont tous les angles coniques sont
2 ⁄strictement inf¶erieurs µa 2…. Soit ` une forme lisse appartenant µa L (T M). Alors il existe une
1 ⁄unique forme ·2C (T M) solution de l’¶equation L· =` telle que ·,r·, d–·, etrd· soient
2dans L .
7Introduction
Unefoiscer¶esultat¶etabli,ilestrelativementfaciledefairefonctionnerlam¶ethodedeKoiso
pour d¶emontrer le th¶eorµeme 2.2.1; c’est l’objet de la section 2.2. Partant d’une d¶eformation
2inflnit¶esimaleEinsteinh pr¶eservantlesangles(doncµad¶eriv¶eecovarianteL )d’unec^one-vari¶et¶e0
hyperbolique,donttouslesanglesconiquessontinf¶erieursµa2…,lad¶emonstrationdesatrivialit¶e
sefaitendeuxtemps.Onad’abordbesoindesed¶ebarrasserdesd¶eformationstriviales,onutilise
donc le r¶esultat mentionn¶e ci-dessus pour r¶esoudre l’¶equation de normalisation. On applique
⁄ensuite une technique de Bochner µa la d¶eformation normalis¶ee h = h ¡– ·. En utilisant la0
formule de Weitzenb˜ock idoine et le premier r¶esultat d’int¶egration par parties, on obtient
r r– d h+(n¡2)h=0:
⁄Unedeuxiµemeint¶egrationparparties,unpeupluscompliqu¶ee,permetdeconclurequeh =– ·,0
etdoncquel’onabienrigidit¶einflnit¶esimalerelativementauxanglesconiquesauseindesc^ones-
vari¶et¶es Einstein.
Le troisiµemechapitrede la thµeseest principalementconsacr¶e µala d¶emonstration du r¶esultat
suivant :
Th¶eorµeme (3.3.4). Soit M une c^one-vari¶et¶e hyperbolique dont les angles coniques fi ;:::fi1 p
sont tous strictement inf¶erieurs µa …. Soit fi_ = (fi_ ;:::fi_ ) une variation donn¶ee du p-uplet des1 p
angles coniques. Alors il existe une d¶eformation Einstein inflnit¶esimale normalis¶ee h (i.e. telle
0que E (h)=0 et flh =0) induisant la variation des angles coniques donn¶ee.
Larestrictionsurlesanglesprovientencoreunefoisdel’¶equationdenormalisation.Enefiet,
on utilisera le r¶esultat suivant, version plus pr¶ecise du th¶eorµeme 2.1.6 :
Th¶eorµeme (3.1.1). Soit M une c^one-vari¶et¶e hyperbolique dont tous les angles coniques sont
2 ⁄strictement inf¶erieurs µa …. Soit ` une section de L (T M). Alors l’op¶erateur
⁄ 2;2 ⁄ 2 ⁄L=r r+(n¡1)Id : L (T M)!L (T M)
est un isomorphisme.
Ici aussi, la morale est que pour avoir plus de contr^ole sur les solutions de l’¶equation il
est n¶ecessaire de restreindre les angles coniques. Dans la suite de la section 3.1, on montre
une version au contraire plus g¶en¶erale de ces r¶esultats de normalisation, s’appliquant µa toute
2d¶eformation L .
La construction des d¶eformations Einstein inflnit¶esimales n¶ecessite aussi d’¶etudier en d¶etail
⁄ ”l’op¶erateurr r¡2R, qui correspond aµ l’op¶erateur d’Einstein lin¶earis¶e pour des d¶eformations
normalis¶ees. C’est l’objet de la section 3.2, qui est en plusieurs aspects analogue µa la section
2.1. On y d¶emontre le r¶esultat suivant, premiµere ¶etape d’un th¶eorµeme d’inversion locale :
Th¶eorµeme (3.2.4). Soit M une c^one-vari¶et¶e hyperbolique dont tous les angles coniques sont
2…inf¶erieurs µa . Alors l’op¶erateur3
⁄ 2;2 2 2 2”P =r r¡2R : L (S M)!L (S M)
est un isomorphisme.
8On peut alors passer µa la d¶emonstration du th¶eorµeme 3.3.4, dans la derniµere partie du
troisiµeme chapitre. La m¶ethode de construction est la suivante : on part d’une d¶eformation
inflnit¶esimale h , Einstein au voisinage du lieu singulier, et induisant la variation voulue des0
1;2angles. On cherche alors µa lui rajouter une d¶eformation L (donc ne modiflant pas les angles)
de telle sorte que la somme v¶erifle l’¶equation d’Einstein lin¶earis¶ee. Cela revient aµ r¶esoudre une
¶equation de la forme
⁄ ”(r r¡2R)h=`;
0ouµ ` = E (h ) est un 2-tenseur v¶eriflant la condition de jauge de Bianchi, et µa s’assurer que0
la solution trouv¶ee v¶erifle aussi cette condition. La d¶eformation h¡h est alors Einstein et0
a les propri¶et¶es voulues, et les r¶esultats de la section 3.2.6 permettent de bien comprendre le
comportement au voisinage du lieu singulier de la d¶eformation Einstein ainsi construites.
Enfln,l’appendiceregroupequelqueslemmestechniques,dontonajug¶epr¶ef¶erabledemettre
la d¶emonstration dans une section aµ part du reste du texte.
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