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ORSAYN d’ordre:UNIVERSITE PARIS XIUFR SCIENTIFIQUE D’ORSAYTHESEpresenteepour obtenirLE GRADE de DOCTEUR EN SCIENCESDE L’UNIVERSITE PARIS XI ORSAYSpecialite: MathematiquesparRomain DUJARDINSujet: Dynamique d’applications non polynomiales et courants laminaires.Soutenue le 9 decembre 2002, devant la Commission d’examen:M. Dominique CERVEAU ExaminateurM. Julien DUVAL RapporteurM. Hakan ELIASSONM. John Erik FORN SS RapporteurM. Fran cois LABOURIE PresidentM. Nessim SIBONY Directeur de theseiiiiiAvant proposJ’ai longtemps ete sceptique sur les cascades de remerciements accompagnant en general ce genred’introduction. L’echeance approchant, il a fallu me rendre a l’evidence: j’avais moi aussi envie de mepr^eter a ce jeu un peu narcissique consistant a determiner \ceux qui ont compte pour moi". Voici lefruit de cette retro/introspection.Nessim Sibony a consacre un temps incalculable a l’ecoute de mes elucubrations hebdomadaires.Il a su me laisser une totale liberte de recherches tout en me faisant pro ter de sa grande experience etde sa clarte de vues lors des passages plus delicats. Il m’a egalement pousse a participer pleinement ala vie de notre petit groupe de travail, qui m’a beaucoup appris. Pour tout cela je lui dois enormement.Les professeurs Julien Duval et John Erik Forn ss ont l’un et l’autre manifeste leur interet pourmes travaux et m’ont fait l’honneur d’accepter la lourde t^ache de rapporter le ...
Publié le : samedi 24 septembre 2011
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ORSAY
N d’ordre:
UNIVERSITE PARIS XI
UFR SCIENTIFIQUE D’ORSAY
THESE
presentee
pour obtenir
LE GRADE de DOCTEUR EN SCIENCES
DE L’UNIVERSITE PARIS XI ORSAY
Specialite: Mathematiques
par
Romain DUJARDIN
Sujet: Dynamique d’applications non polynomiales et courants laminaires.
Soutenue le 9 decembre 2002, devant la Commission d’examen:
M. Dominique CERVEAU Examinateur
M. Julien DUVAL Rapporteur
M. Hakan ELIASSON
M. John Erik FORN SS Rapporteur
M. Fran cois LABOURIE President
M. Nessim SIBONY Directeur de theseiiiii
Avant propos
J’ai longtemps ete sceptique sur les cascades de remerciements accompagnant en general ce genre
d’introduction. L’echeance approchant, il a fallu me rendre a l’evidence: j’avais moi aussi envie de me
pr^eter a ce jeu un peu narcissique consistant a determiner \ceux qui ont compte pour moi". Voici le
fruit de cette retro/introspection.
Nessim Sibony a consacre un temps incalculable a l’ecoute de mes elucubrations hebdomadaires.
Il a su me laisser une totale liberte de recherches tout en me faisant pro ter de sa grande experience et
de sa clarte de vues lors des passages plus delicats. Il m’a egalement pousse a participer pleinement a
la vie de notre petit groupe de travail, qui m’a beaucoup appris. Pour tout cela je lui dois enormement.
Les professeurs Julien Duval et John Erik Forn ss ont l’un et l’autre manifeste leur interet pour
mes travaux et m’ont fait l’honneur d’accepter la lourde t^ache de rapporter le manuscrit. Je leur en
suis particulierement reconnaissant.
Je remercie egalement vivement les professeurs Dominique Cerveau, Hakan Eliasson et Fran cois
Labourie pour leur presence dans le jury.
Charles Favre a joue a merveille son r^ole de \grand frere", m’encourageant continuellement, et
passant {lui aussi{ un temps considerable a ecouter mes travaux. J’ai aussi largement bene ci e des
conseils {toujours avises{ de Vincent Guedj, et de la puissance cognitive impressionnante de Tien-
Cuong Dinh. Je n’oublierai pas que depuis l’epoque de nos reunions hebdomadaires a l’ENS, tous trois
m’ont toujours tra^ t e en egal.
En n, puisque je n’aurai pas si souvent l’occasion de l’exprimer de la sorte, j’en pro te pour
saluer et remercier ici ma famille ainsi que mes amis (en ordre disperse) mathematiciens, musiciens,
journalistes, sociologues, vignerons, philosophes, chimistes, marins, professeurs, thesards et penseurs
de tout poil, pour l’atmosphere dont ils m’entourent, et bien sur^ Charlotte, pour tout le reste.ivv
Abstract.
This thesis is concerned with holomorphic dynamics in two complex variables, and the
theory of laminar currents which is closely related to it.
We study the dynamics of a class of holomorphic mappings, introduced by Hubbard and
Oberste Vorth, that are de ned in some neighborhood of the unit bidisk and need not be
rational. They have the same relationship with complex Henon mappings as polynomial-like
maps do with polynomials in one variable. These maps are proven to display several
dynamical properties that parallel those of polynomial di eomorphisms, as established
by Bedford, Lyubich, Smillie, Forn ss and Sibony: existence of attracting closed positive
currents, as well as a unique measure of maximal entropy, which describes the asymptotic
distribution of saddle orbits.
Laminar currents {a generalization of Sullivan’s \foliation cycles"{ were introduced by
Bedford, Lyubich, and Smillie in the setting of two-dimensional holomorphic dynamics. We
develop a general theory of such currents. We rst give a geometric criterion on a sequence
of plane algebraic curves, with degree growing to in nit y, ensuring that the cluster values (in
the sense of currents) are laminar; as a consequence laminarity of the dynamical \Green"
current is derived for a class of rational selfmaps of the projective plane, including birational
ones. For currents obtained in this way, we give a geometric interpretation of the wedge
product, assuming a potential theoretic condition; we also prove such currents satisfy an
\analytic continuation" property. This enables us to realize these currents as foliation cycles
on an abstract lamination.
Key words and phrases: holomorphic dynamics, Henon-like mappings, invariant currents,
transcendental dynamics, laminar currents, wedge product of currents, birational mappings.
AMS classi cation codes (2001): 37Fxx, 32H50, 32U40.vii
Table des matieres
Introduction 1
Presentation des resultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
21 Applications d’allure Henon dans C 17
1.1 The graph transform for currents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2 Henon-like mappings and other examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3 Topological entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.4 Mixing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.5 Entropy and product structure of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.6 Some transcendental examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2 Courants laminaires 57
2.1 Courants uniformement laminaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2tsement laminaires a plis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.3 Courants laminaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
23 Construction de courants laminaires dans P 77
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
23.2 Laminar currents as limits of divisors in P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
23.3 Applications to holomorphic dynamics in P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.4 Birational invariance and applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4 Intersection geometrique 95
4.1 Complements de theorie du pluripotentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.2 De nition et exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.3 Courants uniformement laminaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
24.4ts fortement approximables dans P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.5 Un cas particulier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5 Structure des courants approximables 117
5.1 Courants horizontaux fortement approximables. . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.2 Fonction de defaut et prolongement analytique. . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.3 Construction de laminations: la methode de Su. . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.4 Courants fortement approximables: cas general. . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Bibliographie 145viiiIntroduction
Deux articles interessants guren t au sommaire du volume 47 (de l’annee 1926) de la
grande revue suedoise Acta Mathematica. Apres avoir consacre une dizaine d’annees a l’itera-
tion des fractions rationnelles, Pierre Fatou et Gaston Julia, les deux ma^ tres fran cais du
domaine, decident en e et d’etendre la theorie de deux manieres complementaires.
Fatou signe un article intitule \Sur l’iteration des fonctions transcendantes entieres", dans
lequel il pose les bases du sujet, montrant en particulier que dans ce cadre l’ensemble de Julia
(dans la terminologie actuelle!) est parfait et qu’il y a une in nit e de cycles periodiques. Il
zetudie en detail la dynamique dez +1 +e , ainsi que celle dea+hsinz (0<h< 1,a2 R),
zet conjecture que l’ensemble de Julia de e est la totalite du plan complexe C.
L’article de Julia, intitule \Sur les familles de fonctions holomorphes de plusieurs varia-
bles", ne porte pas a proprement parler sur l’iteration, mais en est une extension. L’auteur
etudie l’ensemble des points ou une famille de fonctions holomorphes f :D! C cesse d’^etre
2normale, ou D designe un domaine de C (si D C on voit l’analogie avec l’ensemble de
Julia). Il montre qu’un tel ensemble est parfait et que la distance a cet ensemble veri e le
principe du maximum. Il etablit egalement que ces ensembles sont exactement les points d’ac-
cumulation des suites de sous ensembles analytiques de D.
L’objet de ce memoire est de contribuer aux deux directions ouvertes par Fatou et Julia.
Premierement, nous etudions la dynamique de certaines applications, non necessairement ra-
2tionnelles, de nies dans des domaines de C . Plus precisement, nous nous interessons a une
2classe de di eomorphismes de nis au voisinage d’un bidisque dans C , et qui sont aux appli-
cations de Henon complexes ce que les applications d’allure polynomiale sont aux polyn^ omes
dans C, et etablissons pour ces applications un certain nombre de proprietes dynamiques
analogues a celles des applications de Henon complexes.
Par ailleurs nous analysons en detail la structure de la limite, au sens des courants, de
certaines suites de sous ensembles analytiques apparaissant naturellement dans ce cadre. Nous
developpons en e et une etude systematique des courants laminaires, a travers divers aspects:
construction de tels courants, intersection, proprietes de prolongement analytique, etc.
A n de comprendre nos motivations, il n’est pas inutile, sans remonter jusqu’ a Fatou et
1Julia, d’avoir un aper cu de la theorie des systemes dynamiques depuis le debut des annees
1960. Que le lecteur ne s’y meprenne pas, il ne s’agit en aucune fa con pour nous de se \placer"
dans cette histoire, mais uniquement d’en operer une lecture breve et selective, a n de degager
les racines des objets que nous considererons par la suite. Nous mettrons en lumiere les etapes
1. Pour ne pas alourdir indumen^ t la bibliographie generale, nous avons indique en note de bas de page les
references n’apparaissant que dans cette introduction.2 Introduction
essentielles du cheminement qui a mene a l’etude des systemes dynamiques holomorphes de
plusieurs variables complexes, ainsi qu’ a l’introduction des courants laminaires. Nous ne nous
attarderons pas sur les de nitions dynamiques, pour lesquelles nous renvoyons le lecteur aux
monographies de Robinson [Ro] ou de Katok-Hasselblatt [KH]. Nous presenterons ensuite le
sujet de cette these, ainsi que les resultats que nous avons obtenus.

La decouverte par S. Smale de l’exemple du \fer a cheval" et de la notion de systeme
dynamique (uniformement) hyperbolique font sou er un vent d’espoir sur la theorie des
systemes dynamiques au debut des annees 60. Non seulement, le modele du fer a cheval
explique completement la dynamique au voisinage d’un point homocline, qui pourtant faisait
2dire a Poincare au debut du siecle :
\On sera frappe par la complexite de cette gur e, que je ne chercherai m^eme pas a
tracer. Rien n’est plus propre a nous donner une idee de la complication du probleme
des trois corps, et en general de tous les problemes de Dynamique (...)"
mais de plus le concept d’hyperbolicite, associe a celui de stabilite structurelle (introduit par
Anosov) para^ t ^etre la clef de l’etude de \la plupart" des systemes dynamiques. Smale ne
3tardera pas a se rendre compte lui m^eme de son optimisme quelques annees plus tard , et
4c’est S. Newhouse qui portera le coup fatal a cette idee en montrant que ni l’hyperboli-
cite, ni la stabilite ne sont generiquement satisfaites. Il reste que les sytemes hyperboliques
{notamment a travers leurs nombreuses generalisations{ et le modele du fer a cheval sont
devenus un modele de reference pour le developpement ulterieur de la theorie.
Une caracteristique des systemes dynamiques hyperboliques mise en evidence par Hirsch,
5Palis, Pugh et Shub est l’existence de \feuilletages" locaux (nous dirions maintenant lami-
nations) en varietes stables et instables pres d’un compact hyperbolique invariant (ces feuille-
tages sont particulierement simples dans le cas d’un fer a cheval). Ruelle et Sullivan [RS1] ont
remarque, que si le compact hyperbolique K est localement maximal (c’est a dire s’il existe
nun voisinage U de K pour lequel K = \ f (U)), ces feuilletages sont \incompressibles"n2Z
i.e. munis d’une mesure transverse invariante, et, fait tout a fait remarquable, c’est dans ce
6contexte qu’a ete introduite la notion de cycle feuillete c’est a dire un courant (au sens de
De Rham) localement de ni par l’integration sur les familles mesurees de feuilles. Ruelle et
Sullivan de nissen t egalement une mesure d’intersection geometrique de ces courants, dont
ils montrent que c’est la mesure de Bowen, c’est a dire l’unique mesure maximisant l’entropie
sur K. Les cycles feuilletes sont devenus ensuite (notamment depuis l’article [Sul]) un outil
usuel de l’etude des feuilletages.
2. Cite par Smale au Congres International des Mathematiciens, 1962.
3. Abraham et Smale Non-genericity of
-stability in Global Analysis, Proc. Symp. Pure Math. 14
4. The abundance of wild hyperbolic sets and nonsmooth stable sets for di eomorphisms. Inst. Hautes
Etudes Sci. Publ. Math. 50(1979).
5. Neighborhoods of hyperbolic sets. Invent. Math. 9 (1970).
6. Nous reviendrons en detail sur ces de nitions au paragraphe suivant.

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