Cours - Comparaison des suites

Publié par

bbbbbbbc Christophe Bertault - MPSIComparaison des suitesDans l’armoire des suites, la notion de limite crée des tiroirs qui permettent de faire un certain tri : dans le « tiroir∞ » sontrangées toutes les suites de limite∞, dans le « tiroir 2 » toutes les suites de limite 2... et dans le « tiroir sans limite » toutes les2suites sans limites. Or dans certains tiroirs, il serait intéressant que de nouveaux sous-tiroirs soient créés : les suites (n ) etn∈Nn(2 ) , par exemple, sont toutes deux dans le « tiroir∞ », mais on sent bien qu’elles portent des infinis de tailles différentes;n∈N 1 1même chose dans le « tiroir 0 » avec les suites et .nn 2∗n∈N n∈NLa figure ci-dessous résume schématiquement l’ambition de ce chapitre.Pas de −∞ π ∞−2 0 1 limiteLes tiroirs« limite » √ n 3 −n −2 n nsinn−n e n! 1 n (−1)− √ 1 1 n3 −n −n n+ n nn + n!−4 e −n +2n e 4 n+lnnn−2 n sinn √n nLes nouveaux 4 n 2−2 n n (n+2)! e nsinn1−n n+1 (−1) n−√ √ √ 2 3n 4tiroirs! −n 4 2 3n n+ n n +1n+sinn e +n 1+e n +3 n +2 e +1 ... ... ... ... ... ... ... ... √n n3 1 −n« Tiroir−2 » « Tiroir n » « Tiroir n! » « Tiroir (−1) » « Tiroir nsinn »« Tiroir−n » « Tiroir− » « Tiroir e »n1 Négligeabilité1.1 DéfinitionDéfinition (Négligeabilité) Soient (u ) et (v ) deux suites. On dit que (u ) est négligeable devant (v ) s’iln n∈N n n∈N n n∈N n n∈Nexiste une suite (ε ) de limite nulle et un rang à partir duquel u = ε v . Cette relation se note u = o(v ) et se litn n∈N n n n n ...
Publié le : samedi 24 septembre 2011
Lecture(s) : 26
Nombre de pages : 11
Voir plus Voir moins

b
b
b
b
b
b
b
c Christophe Bertault - MPSI
Comparaison des suites
Dans l’armoire des suites, la notion de limite crée des tiroirs qui permettent de faire un certain tri : dans le « tiroir∞ » sont
rangées toutes les suites de limite∞, dans le « tiroir 2 » toutes les suites de limite 2... et dans le « tiroir sans limite » toutes les
2suites sans limites. Or dans certains tiroirs, il serait intéressant que de nouveaux sous-tiroirs soient créés : les suites (n ) etn∈N
n(2 ) , par exemple, sont toutes deux dans le « tiroir∞ », mais on sent bien qu’elles portent des infinis de tailles différentes;n∈N
1 1
même chose dans le « tiroir 0 » avec les suites et .
nn 2∗n∈N n∈N
La figure ci-dessous résume schématiquement l’ambition de ce chapitre.
Pas de −∞ π ∞−2 0 1 limiteLes tiroirs
« limite »
 √ n 3 −n −2 n nsinn−n e n! 1 n (−1)− √ 1 1 n3 −n −n n+ n nn + n!−4 e −n +2n e 4 n+lnnn−2 n sinn √n nLes nouveaux 4 n 2−2 n n (n+2)! e nsinn1−n n+1 (−1) n−√ √ √ 2 3n 4tiroirs! −n 4 2 3n n+ n n +1n+sinn e +n 1+e n +3 n +2 e +1 ... ... ... ... ... ... ... ... √n n3 1 −n« Tiroir−2 » « Tiroir n » « Tiroir n! » « Tiroir (−1) » « Tiroir nsinn »« Tiroir−n » « Tiroir− » « Tiroir e »
n
1 Négligeabilité
1.1 Définition
Définition (Négligeabilité) Soient (u ) et (v ) deux suites. On dit que (u ) est négligeable devant (v ) s’iln n∈N n n∈N n n∈N n n∈N
existe une suite (ε ) de limite nulle et un rang à partir duquel u = ε v . Cette relation se note u = o(v ) et se litn n∈N n n n n n
n→∞
« u est un petit o de v ».n n
un
En pratique, si (v ) ne s’annule pas à partir d’un certain rang, dire que u = o(v ) revient à dire que lim = 0.n n∈N n n
n→∞ n→∞ vn
Explication Dans cette définition, il faut multiplier (v ) par une suite de limite nulle pour obtenir (u ) ; c’estn n∈N n n∈N
bien dire que u est toute petit devant v , et même de plus en plus à mesure que n croît — d’où la terminologie : (u ) estn n n n∈N
négligeable devant (v ) . On se sert de ce vocabulaire quand on veut comparer deux infinis ou deux zéros : on peut ainsi diren n∈N
que tel infini est plus petit que tel autre, etc.
1
2 3n n 1 1 22 4 3 4 nExemple n = o(n ) car lim = 0. n = o(n ) car lim = 0. = o car lim = 0.
4 4 2n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ 1n n n n
n
! Vous ne rencontrerez jamais l’expression « u = o(0) » en mathématiques. Banissez-la donc de$$$ Attention n
n→∞
vos copies! Cette expression a pourtant bien un sens, mais elle nous parle de la suite nulle — sans intérêt :
u = o(0) ⇐⇒ u = 0 à partir d’un certain rang.n n
n→∞
Nous avons introduit ci-dessus la notation « petit o » sous sa forme la plus élémentaire — mise en relation de deux suites.
Cette notation existe en réalité sous des formes assez diverses en mathématiques. Par exemple, vous rencontrerez souvent des
expressions du genre « u = v + o(w ) ». En l’occurrence, cette expression signifie simplement que u = v + x oùn n n n n n
n→∞
x = o(w ); bref : u et v ne diffèrent que d’un petit o de w .n n n n n
n→∞
1c Christophe Bertault - MPSI
Explication
1 1 1 5 1• Partons de l’affirmation : = − + +o . Peu importe ici pourquoi cette affirmation est vraie.
2 3 2n→∞n+1 n n n n
1 1 1 5
Grosso modo, cette proposition affirme que lorsque n est assez grand, ≈ − + . Or une approximation n’a
2 3n+1 n n n
1 1 1 5 1
de sens que si l’on peut mesurer l’erreur commise. Ici il nous est dit que ≈ − + à un o près. Le
2 3 2n+1 n n n n
1 −2o représente le niveau de précision de l’approximation. C’est un peu comme quand on dit que π≈ 3,14 à 10 près.
2n
−2• Imaginez justement qu’on vous dise : « π est égal à 3,14012 à 10 près ». Vous répondrez naturellement : « Pourquoi
−2 −2ne pas se contenter de l’approximation 3,14 puisqu’on raisonne à 10 près? » Et vous aurez raison : raisonner à 10
−2 −2près, c’est négliger tout ce qui est plus petit que 10 . Ainsi l’approximation π≈ 3,14 à 10 près est aussi précise que
−2l’approximation π≈ 3,141592 à 10 près, bien qu’on ait deux décimales correctes dans un cas et six dans l’autre.
5 1 5
Lemêmephénomèneseproduitavecles petitso. Ainsi,puisque = o ,la quantité est inutiledansla relation
3 2 3n n→∞ n n
1 1 1 5 1 1 1 1 1
= − + +o ; nous pouvonsdonc lui couper la tête et affirmer que = − +o .
2 3 2 2 2n→∞ n→∞n+1 n n n n n+1 n n n
Cette nouvelle proposition n’est ni plus ni moins précise que la précédente, mais elle est plus lisible.
Vousdevezvoushabitueràpenserlespetitsocommedesniveauxdeprécisionouencorecommedesseuilsdevisibilité,
et penser de vous-mêmes à « nettoyer » les formules que vous écrivez comme nous venons de le faire ci-dessus.
Théorème (Limites et petits o) Soient (u ) une suite et ℓ∈R. Alors : lim u =ℓ ⇐⇒ u = ℓ+o(1).n n∈N n n
n→∞ n→∞
Cas particulier fondamental : lim u = 0 ⇐⇒ u = o(1). En résumé : o(1) = « une suite de limite nulle ».n n
n→∞ n→∞
Démonstration
u −ℓn
lim u = ℓ ⇐⇒ lim = 0 ⇐⇒ u −ℓ = o(1) ⇐⇒ u = ℓ+o(1). n n n
n→∞ n→∞ n→∞ n→∞1
1.2 Opérations sur les petits o
∗Théorème (Les petits o absorbent les constantes multiplicatives) Soient (u ) et (v ) des suites et λ∈R .n n∈N n n∈N
Si u = o(v ), alors u = o(λv ) et λu = o(v ).n n n n n n
n→∞ n→∞ n→∞
Démonstration Montrons que u = o(λv ). Par hypothèse, il existe une suite (ε ) de limite nulle et unn n n n∈N
n→∞
ε εn n
rang N à partir duquel u =ε v . Alors u = (λv ) à partir du rang N et lim = 0. D’où le résultat.n n n n n
n→∞λ λ
Montrons que λu = o(v ). Reprenons les notations précédentes. On a λu = (λε )v à partir du rang N etn n n n n
n→∞
lim λε = 0. D’où le résultat. n
n→∞

1 1 1 1 2 1 2 1
n nExemple Si l’on admet l’égalité : e = 1+ +o , alors : 2e = 2+ +2 o = 2+ +o .
n→∞ n→∞ n→∞n n n n n n
′Théorème (La somme de deux petits o est un petit o) Soient (u ) , (u ) et (v ) des suites.n n∈N n n∈N n n∈N
′ ′Si un = o(vn) et si u = o(vn), alors un +u = o(vn).n n
n→∞ n→∞ n→∞
Démonstration Parhypothèse,ilexisteunesuite (ε ) delimitenulleetunrangN àpartirduquelu =ε v ,n n∈N n n n
′ ′ ′ ′ ′ ′ainsi qu’une suite (ε ) de limite nulle et un rang N à partir duquel u = ε v . Alors u +u = (ε +ε )vn n∈N n n n n n n n nn o
′′à partir du rang max N,N et lim (ε +ε ) = 0. D’où le résultat. n n
n→∞
27
c Christophe Bertault - MPSI

1 1 1 1 1 1
nExemple Admettons momentanément les égalités : e = 1+ +o et sin = +o .
n→∞ n n n n→∞ n n
1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1
nAlors : e +sin = 1+ +o + +o = 1+ +o +o = 1+ +o .
n→∞ n→∞ n→∞n n n n n n n n n n
Théorème (Un petit o d’un petit o est un petit o) Soient (u ) , (v ) et (w ) des suites.n n∈N n n∈N n n∈N
La relation « être négligeable » est transitive : si u = o(v ) et si v = o(w ), alors u = o(w ).n n n n n n
n→∞ n→∞ n→∞
Démonstration Parhypothèse,ilexisteunesuite (ε ) delimitenulleetunrangN àpartirduquelu =ε v ,n n∈N n n n
′ ′ ′ ′ainsi qu’une suite (ε ) de limite nulle et un rang N à partir duquel v =ε w . Alors u = (ε ε )w à partirn n∈N n n n n n n nn o
′′du rang max N,N et lim ε ε = 0. D’où le résultat. n n
n→∞

1 1 1
2nExemple Admettons momentanément l’égalité : e = 1+ +o .
2 2n→∞ n n
11 1 1 1 1 1 1
2nAlors puisque = o : e = 1+o +o o = 1+o +o = 1+o .
2 n→∞ n→∞ n→∞ n→∞n n n n n n n
′ ′Théorème (Avec le produit, tout va bien) Soient (u ) , (v ) , (w ) , (u ) et (v ) des suites.n n∈N n n∈N n n∈N n∈N n∈Nn n
′ ′ ′ ′• Si u = o(v ) et si u = o(v ), alors u u = o(v v ).n n n nn n n n
n→∞ n→∞ n→∞
• Si u = o(v ), alors u w = o(v w ).n n n n n n
n→∞ n→∞

1 1 1 1 1 1
nExemple Admettons momentanément les égalités : e = 1+ +o et sin = +o .
n→∞ n→∞n n n n n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1
nAlors : e sin = 1+ +o × +o = +o + + o +o ×o
2n n→∞ n n n n n→∞ n n n n n n n
1 1 1 1 1 1 1
= +o + +o +o = +o .
2 2 2n→∞ n→∞n n n n n n n| {z }
1
= o( )
nn→∞
Théorème (Avec les suites extraites, tout va bien) Soient (u ) et (v ) des suites.n n∈N n n∈N
Si ϕ :N−→N est strictement croissante et si u = o(v ), alors u = o v .n n ϕ(n) ϕ(n)
n→∞ n→∞
$$$ Attention ! Il est formellement interdit de composer une relation de négligeabilité par la gauche : si 12u = o(v ), on n’a pas forcément f(u ) = o f(v ) . Par exemple n = o(n ), mais si on compose à gauche par x→ ,n n n n
n→∞ n→∞ n→∞ x
1 1
= o .
2n n→∞ n
1.3 Exemples fondamentaux
α βThéorème (Exemples fondamentaux de petits o) Soient a,b,α,β∈R. (i) Si α <β, alors n = o(n ).
n→∞
βn n α(ii) Si|a| <|b|, alors a = o(b ). (iii) Si α> 0, alors lnn = o(n ).
n→∞ n→∞
α n n(iv) Si a> 1, alors n = o(a ). (v) Alors a = o(n!).
n→∞ n→∞
Explication Ce théorème explique, dans la langue des petits o, que l’infini de la factorielle est plus puissant que celui
des exponentielles, que l’infini des exponentielles est plus puissant que celui des puissances, etc.
36
c Christophe Bertault - MPSI
Démonstration
α−β(i) Puisqueα <β,alorsα−β < 0,donc lim x = 0(résultatsurlesfonctions puissances).Parcomposition,
x→∞
αnα−β α βlim n = 0, i.e. lim = 0, i.e. enfin n = o(n ).
βn→∞ n→∞ n→∞n na a n n(ii) Puisque b = 0 et < 1, alors lim = 0, et donc a = o(b ).
n→∞ n→∞b b
(iv) et (v) Déjà vu : ce sont respectivement la comparaison exponentielles/puissances et la comparaison expo-
nentielles/factorielle.
2 Equivalence
2.1 Définition
Définition (Equivalence) Soient (u ) et (v ) deux suites. On dit que (u ) est équivalente à (v ) s’il existen n∈N n n∈N n n∈N n n∈N
une suite (η ) de limite 1 et un rang à partir duquel u =η v . Cette relation se note u ∼ v .n n n n n nn∈N
n→∞
unEn pratique, si (v ) ne s’annule pas à partir d’un certain rang, dire que u ∼ v revient à dire que limn n n = 1.n∈N
n→∞ n→∞ vn
Explication Dans cette définition, il faut multiplier (v ) par une suite de limite 1 pour obtenir (u ) ; c’estn n∈N n n∈N
bien dire que u est environ égale à v , et de plus en plus proche à mesure que n croît — d’où la terminologie : (u ) estn n n n∈N
équivalente à (v ) . On se sert de ce vocabulaire quand on veut comparer deux infinis ou deux zéros : on peut ainsi dire quen n∈N
tel et tel infinis ont la même taille ou le même ordre de grandeur, etc.
1 1
2 +n +n+5 1 1 1 22 2 n nExemple n +n+5 ∼ n car lim = 1. + ∼ car lim = 1.
2 2n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ 1n n n n
n
$$$ Attention ! Vous ne rencontrerez jamais l’expression « u ∼ 0 » en mathématiques. Banissez-la donc de vosn
n→∞
copies! Cette expression a pourtant bien un sens, mais elle nous parle de la suite nulle — sans intérêt :
u ∼ 0 ⇐⇒ u = 0 à partir d’un certain rang.n n
n→∞
Théorème (Lien limite/équivalence) Soient (u ) et (v ) deux suites.n n∈N n n∈N
(i) Si u ∼ v , alors soit (u ) et (v ) ont toutes les deux une limite, en l’occurrence la même, soit aucune den n n n∈N n n∈N
n→∞
ces deux suites ne possède de limite.
(ii) Si lim u =ℓ où ℓ est un réel non nul, alors u ∼ ℓ.n n
n→∞ n→∞
Explication
• Dans l’optique de la première figure du chapitre, l’assertion (i) signifie que deux suites qui sont dans le même « tiroir-
équivalence » sont aussi dans le même « tiroir-limite »; en d’autres termes : les « tiroirs-équivalence » sont bien des
sous-tiroirs des « tiroirs-limite ».
• L’assertion (ii) signifie que les tiroirs associés aux limites finies non nulles n’ont pas de sous-tiroir. Nous n’avons donc créé
des sous-tiroirs que pour quatre « tiroirs-limite » : le « tiroir−∞ », le « tiroir 0 », le « tiroir∞ » et le « tiroir sans limite ».
4

Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.