cours de geometrie différentielle

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´ ´ ´ ´DEVELOPPEMENTS RECENTS EN GEOMETRIE´DIFFERENTIELLENom de l’enseignant responsable : Strobl ThomasTitreducourspropos´e:D´eveloppementsr´ecentsen g´eom´etriediff´erentielleGrand domaine scientifique : G´eom´etrie diff´erentielleAdresse ´electronique du responsable : strobl@math.univ-lyon1.frNo de t´el´ephone du responsable : 0472714731Semestre desir´e : deuxi`emePr´e-requis : ...
Publié le : vendredi 23 septembre 2011
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´ ´´ ´ DEVELOPPEMENTS RECENTS EN GEOMETRIE ´ DIFFERENTIELLE
Nom de l’enseignant responsable :Strobl Thomas Titreducourspropos´e:esgne´morse´ectn´erenti´etriedielleleve´Dtnemeppo Grand domaine scientifique :ertnie´irde´mteeoG´eiell Adresse´electroniqueduresponsable:strobl@math.univlyon1.fr Nodete´le´phoneduresponsable:0472714731 Semestredesir´e:dme`exieu Pre´requis:nnoC.elnereleitmoe´gne´id´rteianceaissaseesdeb
Re´sume´ducours Cecoursabordequatrethe´mesdede´veloppementsre´centseng´eom´etrie die´rentielle: Groupoides et algebroides de Lie Gcraetri´eomiossdePeediDnote eoG´coietrme´gexelpmilare´nes´ee quti(gesn´´ealere´si)seFibr´esetclsaescsraca´tresi LesgroupoidesdeLiesontuneg´en´eralisationnaturelledesgroupes de Lie.Un exemple typique est le groupoide fondamental Π(M) d’une vari´et´elisseMe;miinesstclhesohdsessdeipotomtutinscolascde´e (avecextre´mit´esxedmaisabitraires).AtoutgroupoidedeLieon associeunalgebroidedeLie,unege´ne´ralisationdalg`ebredeLiedune partetdubre´tangentdautrepart:Parde´nition,cestunbr´e vectorielEMavec une structure de Lie sur les sections et une projection deEngtatenerl´ebrusT M, telle que le produit de Lie satisfaituneidentite´deLeibniz.(Lesnotionsdelathe´oriedesbre´s seront introduites).L’algebroide de Lie de Π(M), par exemple, est simplementE=T Mˆemelemle. La question de clarifier les conditions sous lequelles un algebroide deLiesinte`greenungroupoidedeLie(lage´n´eralisationdutroisie`me the´ore`medeLie)estrest´eelongtempsouverte.Lesconditionsne´cessaires etsusantesdint´egrabilit´eont´et´ed´ecritesre´cemmentparCrainicand Fernandes,Ref.[1].Lapr´esentationdeceresultatseraunsujetprincipal de ce cours. 1
´ ´´ ´´ 2 DEVELOPPEMENTSRECENTS EN GEOMETRIE DIFFERENTIELLE UnestructuredePoissonmunitlesfonctionssurunevarie´t´edune structuredalg`ebredeLie.Lesvarie´t´essymplectiquesetlesduaux dalg`ebresdeLieensontdesexemples.Lesvari´et´esdeDiracsontune ge´n´eralisationsimultane´edesvari´ete´sdePoissonetpr´esymplectiques (cesdernie`resapparaissentparexemplecommee´tapeinterme´diaireen re´ductionsymplectique).Lebre´cotangentdunevarie´te´dePoisson ouplusg´ene´ralementdunestructuredeDiracestunexemplenon trivialdalg´ebroidedeLie.Nousverronsquetoutevarie´t´edePoisson (deDirac)admetunfeuilletagesingulierensousvari´et´essymplectiques (pr´esymplectiques). Lesstructurescomplexesge´n´eralise´esonte´t´er´ecemmentintroduites parHitchin(cf.Ref.[2]).Ilsagitdunege´n´eralisationsimultan´eedes vari´et´escomplexesordinairesetsymplectiques.Onpeutaussilesvoir commeunestructuredeDiraccomplexie´e.Danscecontexte,nous nous contenterons d’introduire les notions principales. Lesbre´s,lesconnexionssurlesbr´es(parexempleprincipaux) ainsiquelesclassescaract´eristiquesinduitessontunsujetclassiquede lag´eome´triedi´erentielle(cf.,e.g.,Ref.[3]).Ilsjouentaussiunroˆle importantdanslecontextedesthe´oriesdeYangMillsquide´crivent lesinteractionsfondamentales`alexceptiondelagravitation(d´ecrite parlarelativite´ge´ne´raledEinstein).Siletempslepermetnousdiscuteronsaussidesge´ne´ralisationsdanslecontextedesalg´ebroidesde Lie(connexionsdetypealgebroideetclassescaract´eristiquesinduites). References [1] MariusCrainic, Rui L. Fernandes, Integrability of Lie brackets, Ann. of Math. (2), Vol. 157 (2003), no. 2, 575–620. (Cf. also math.DG/0611259, Lectures on Integrability of Lie Brackets). [2] Nigel Hitchin, Generalized CalabiYau manifolds, Quart.J.Math.Oxford Ser. 54 (2003) 281308. Cf. also Marco Gualtieri, math.DG/0401221, Generalized complex geometry, Oxford University DPhil thesis. [3] D.Husemoller, Fibre Bundles, 1993, Springer.
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