Cours-FI-III

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Chapitre 3Elements de la theorie desmartingales3.1 De nitions et proprietes3.1.1 CaracterisationsDe nition 3.1.1 Une martingale est un processus aleatoire M = (M ) , ak 0knvaleurs reelles, de ni sur un espace probabilise ltr e ( ; (F ) ;P), et veri antk 0knla propriete suivante80 k < n E(M j F ) = Mk+1 k kOn dit aussi qu’un processus aleatoire reel M = (M ) est une sous-martingalek 0kn(resp. une sur-martingale), s’il veri e les inegalites suivantes80 k < n E(M j F ) M (resp. E(M j F ) M )k+1 k k k+1 k kLes proprietes de martingales que nous avons introduites precisent les tendances locales d’unprocessus aleatoire. Plus precisement, on note que tout processus aleatoire M = (M )k 0knpeut se mettre sous la formekXM = M + M avec M = (M M )k 0 k k k k 1l=1La propriete de martingale (resp. sous-martingale, ou sur-martingale), exprime le fait que lesaccroissements conditionnels moyens et previsibles, sont nuls (resp. positifs, ou negatifs).Supposons par exemple que M represente l’evolution aleatoire de la fortune d’un joueur.kDans ce cas, la propriete de martingale exprime le fait que le jeu est equitable en moyenne, en81 82 CHAPITRE 3. ELEMENTS DE LA THEORIE DES MARTINGALESce sens ou le joueur ne peut accro^ tre ou diminuer son esperance de gain (M M ), a l’aidek+1 kdes information precedentesE(M M jF ) = 0k+1 k kOn remarquera dans ce cas que le fortune moyenne du joueur reste ...
Publié le : samedi 24 septembre 2011
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Chapitre 3
Elementsdelatheoriedes martingales
3.1De nitionsetproprietes 3.1.1 Caracterisations
De nition 3.1.1sulaetapnorecssoireUnitramenutseelagM= (Mk)0kn,a valeursreelles,de nisurunespaceprobabilise ltre( ,(Fk)0kn,P)tna irevte, laproprietesuivante 0k < nE(Mk+1| Fk) =Mk OnditaussiquunprocessusaleatoirereelM= (Mk)0knest une sous-martingale (resp.unesur-martingale),silveri elesinegalitessuivantes 0k < nE(Mk+1| Fk)Mk(resp.E(Mk+1| Fk)Mk)
Les proprietes de martingales que nous avons introduites precisent les tendances locales d’un processus aleatoire. Plus precisement, on note que tout processus aleatoireM= (Mk)0kn peut se mettre sous la forme k Mk=M0+XMkavec Mk= (Mk Mk 1) l=1 La propriete de martingale (resp. sous-martingale, ou sur-martingale), exprime le fait que les accroissementsconditionnelsmoyensetprevisibles,sontnuls(resp.positifs,ounegatifs). Supposons par exemple queMkr.euuojnudenutrofalitnolaetaioeredresentelevoluper Dans ce cas, la propriete de martingale exprime le fait que le jeu est equitable en moyenne, en 81
82 DE LA TH EMENTS ELCHAPITRE 3. DES MARTINGALES EORIE ulejoueurnepeutaccroˆtreoudiminuersonesperancedegain(Mk+1 Mk,)deaila ce sens o  des information precedentes E(Mk+1 Mk| Fk) = 0 On remarquera dans ce cas que le fortune moyenne du joueur reste constante 0knE(Mk) =E(M0) Laproprietedesousmartingalecorrespondaunjeufavorableaujoueuravecdesgains conditionnels certains 0k < nE(Mk+1 Mk| Fk)0 conduisantalacroissanceenmoyennedesafortune E(M0). . .E(Mk)E(Mk+1). . .E(Mn) Terminonscettesectionparunecaracterisationpratiquedelaproprietedemartingale,enterme de processus transformes. Nous utiliserons cette caracterisation dans le chapitre concernant les mathematiques nancieres,lorsquenousneutraliseronsdesmarches nanciers. Proposition 3.1.1Soit(Mk)0knspacepronisuruneioerd esulaetatl eeribabsilussecorpn ( ,(Fk)0kn,P). Le processus(Mk)0knest une martingale si, et seulement si, pour tout processusprevisible(Uk)0knno,palaroprietesuivanet El=Xn0UkMk!=E(U0M0) Preuve: (Mk)0knest une martingale, alors on a clairement Si =X El=Xn0UkMk!l=n0E(UkMk) n =E(U0M0) +XE(E(UkMk| Fk 1)) l=1 n =E(U0M0) +XE(UkE(Mk| Fk 1)) =E(U0M0) l=1 Pourmontrerlareciproque,oncommenceparnoterquelonanecessairement 0knE(Mk) =E(M0) Pourveri ercetteassertion,ilsutdechoisirleprocessusprevisibleconstantUk= 1. En e et, dans cette situation, nous avons k k Mk=XMl=XUlMl l=0l=0
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3.1.DEFINITIONSETPROPRIETES D’apres nos hypotheses, on obtient k E(Mk) =E(XUlMl) =E(U0M0) =E(M0) l=0 SoitTune v.a. positive entiere, telle que les evenements{Tk}sivieprntiesoeridatsec,selb 1{Tk}∈ Fk 1. On a clairement T n MT=XMk=XUkMk k=0k=0 avecleprocessusprevisibleUk= 1Tk∈ Fk 1. D’apres nos hypotheses, nous obtient que E(MT) =E(U0M0) =E(M0) On associe a tout evenementA∈ Fkval,.e.ainteer T=k1A+ (k+ 1) 1Ac Par construction, les evenements {Tl}=A csisill=kk+ 1 sil >(k+ 1) sontprevisibles.Dautrepart,nousavonslesdecompositions MT=Mk1A+Mk+11Ac =Mk1A+Mk+1(1 1A) =Mk+1 1AMk+1 Dapresladiscussionprecedente,onobtient A∈ Fk(E(MT) =)E(Mk+1) E(1AMk+1) =E(M0) Compte tenu du fait queE(Mk+1) =E(M0 que), ceci entraˆne A∈ FkE(1AMk+1) = 0 D’apres les proprietes des esperances conditionnelles, on en conclut que E(Mk+1| Fk) = 0 En repetant ces raisonnement, pour tous les indicesk∈ {0, . . . , n}, on montre que le processus Mkoi.nsotirppoedalueevlapreveiach.Cecelagnitramenutneemirsaesecnste
84 DES MARTINGALES EORIE EMENTS DE LA THCHAPITRE 3. EL 3.1.2 Compensateurs Soit (Mk)0kn surune martingale de nie e un espace probabilise ltr ( ,(Fk)0kn,P) Le processus aleatoire forme des carres (Mk2)0knest une sous martingale sur ( ,(Fk)0kn,Pteet)C.eustreirerppotdelemenimplltesaCedetilagenizrtwach-Shyuc E(Mk21+|Fk)E(Mk+1|Fk)2=Mk2
De nition 3.1.2ssaneicoOngtiealunaarem(Mk)0knnespsuruorabcapeseibil ( ,(Fk)0kn,P)sible,lssecorpeiverpsu(hMik)0knd einapr k k hMik=X[E(Ml2| Fl 1) Ml2 1] =XE([Ml Ml 1]2| Fl 1) l=0l=0 Leprocessusaleatoire(hMik)0kne,epelstaple compensateur, la variation quadratique previsible, ou encorele processus croissantitramalaelagn,aeiocss (Mk)0kn.
Danslade nitionprecedente,nousavonsutiliselaconventionE([M0 M 1]2| F 1) =E(M02), lorsquel= 0. L’importance de ce processus resulte de la proposition suivante.
Proposition 3.1.2Soit(Mk)0kn surune martingale reelle de nie un espace probabilise ltre( ,(Fk)0kn,P)otaeerisueslsaLe.ocpr Mk2 hMik estunemartingaleparrapportala ltration(Fk)0kn.
Preuve: Pourveri erlapremiereassertion,onobserveque E(Mk2+1| Fk) =E([Mk+ (Mk+1 Mk)]2| Fk) =Mk2+ 2MkE((Mk+1 Mk)|Fk) +E((Mk+1 Mk)2| Fk) =Mk2+E((Mk+1 Mk)2| Fk) Onendeduitladecompositionsuivante [Mk+12 hMik+1] [Mk2 hMik] = [Mk1+2 Mk2] [hMik+1 hMik] = [Mk1+2 Mk2] E((Mk+1 Mk)2| Fk) = [Mk21+ Mk2] [E(Mk21+| Fk) Mk2]
3.1.DEFINITIONSETPROPRIETES Il est alors clair que la propriete de martingale est satisfaite E(Mk1+2 hMik+1| Fk) =Mk2 hMik
De nition 3.1.3ngtiesaleeresllsociOnascnuoeuameralpde(Mk)0knet (Nk)0knlte er,surunmˆemeepscapeorabibils( ,(Fk)0kn,P), le processus previsible(hM, Nik)0knaripd,en k k hM, Nik=X[E(MlNl| Fl 1) Ml 1Nl 1] =XE(MlNl| Fl 1) l=0l=0 avec la conventionE([M0 M 1][N0 N 1]| F 1) =E(M0N0), lorsquel= 0.
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Le prochain theoreme est une extension de la proposition precedente a des produits quelconques de martingales.
Theoreme 3.1.1Soit(Mk)0knet(Nk)0kn, un couple de martingales reelles, et de niessurunmˆceprobabilise ltre( ,(Fk)0kn,P). Dans cette situation, eme espa lesprocessusaleatoiresde nipar MkNk [M, N]ketMkNk hM, Nik sont des martingales par rapp(Fk)0kn ortala ltration
Preuve: Dapreslaformuledintegrationparparties(2.4),nousavonsladecomposition k k MkNk=XMl 1Nl+XNl 1Ml+ [M, N]k l=1l=1 D’autre part, nous avons vu dans l’exercice 3.1.5 que les processus k k XMl 1NletXNl 1Ml l=1l=1 sont des martingales. On en conclut que k k MkNk [M, N]k=M0N0+XMl 1Nl+XNl 1 l=1l=1
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