étude du signe d'une expression

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FICHE MÉTHODE : ÉTUDIER LE SIGNE D'UNE EXPRESSIONEn Mathématiques, on est souvent amené à étudier le signe d'une expression. Cela peut se produire lors de l'étude des variations d'une fonction(car le signe de la dérivée donne le sens de variation de la fonction). Cela peut également se produire lors de l'étude de la position d'une courbe parrapport à une autre. Ou, tout simplement, pour établir certaines inégalités.Le problème de l'étude du signe, c'est que, suivant la nature de l'expression, la stratégie n'est pas toujours la même. Tantôt, le signe est immédiat,tantôt on procède à une factorisation puis on dresse un tableau de signes, tantôt on peut obtenir le signe en manipulant des inégalités. L'objectif decette fiche méthode est de vous présenter ces différentes stratégies possibles.Exemple 1 : cas où le signe est immédiatement visible (ou presque !)2 - xSoit ƒ la fonction définie, sur  , par : ƒ(x) = -( x + 2x + 2) ePréciser le sens de variation de la fonction ƒ.SOLUTION :Nous savons que le sens de variation de ƒ est donné par le signe de sa dérivée ƒ'. Calculons donc ƒ'.2ìïux()=-(x +2x+2)La fonction ƒ est du type : ƒ = uv avec í -xïvx()=eîOn a donc : ƒ'= u'v + uv'- x 2 -xCe qui donne : ƒ'(x) = (-2x - 2) e - ( x + 2x + 2) · (- e )-x 2 - xEn factorisant par e , puis en réduisant : ƒ'(x) = x e2 -xOr, on sait que : x  0 et e > 0 pour tout réel xOn a donc : ƒ'(x)  0 pour tout réel xConclusion : la fonction ƒ est strictement croissante sur  ...
Publié le : vendredi 23 septembre 2011
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FICHE MÉTHODE : ÉTUDIER LE SIGNE D'UNE EXPRESSION En Mathématiques, on est souvent amené à étudier le signe d'une expression. Cela peut se produire lors de l'étude des variations d'une fonction (car le signe de la dérivée donne le sens de variation de la fonction). Cela peut également se produire lors de l'étude de la position d'une courbe par rapport à une autre. Ou, tout simplement, pour établir certaines inégalités. Le problème de l'étude du signe, c'est que, suivant la nature de l'expression, la stratégie n'est pas toujours la même. Tantôt, le signe est immédiat, tantôt on procède à une factorisation puis on dresse un tableau de signes, tantôt on peut obtenir le signe en manipulant des inégalités. L'objectif de cette fiche méthode est de vous présenter ces différentes stratégies possibles. Exemple 1 : cas où le signe est immédiatement visible (ou presque !) 2x Soitla fonction définie, sur, par :(x)=(x+2x+2)e Préciser le sens de variation de la fonction. SOLUTION : Nous savons que le sens de variation deest donné par le signe de sa dérivée'. Calculons donc'. 2 u(x)= −(x+2x+2)  = La fonctionest du type :uvavecx v(x)=e On a donc :'=u'v+uv' x2x Ce qui donne :'(x)=(2x2)e(x+2x+2)×(e) x2x En factorisant pare, puis en réduisant :'(x)=xe 2x Or, on sait que :x0 etepour tout réel> 0x On a donc :'(x)0 pour tout réelx Conclusion : la fonctionest strictement croissante sur.
Exemple 2 : cas où l'on dresse un tableau de signe 22 Résoudre, dans, l'inéquation :+0 22x12x SOLUTION : Le signe d'un produit ou d'un quotient est généralement plus simple à étudier que celui d'une somme. Nous allons donc, ici, réduire au même dénominateur : 2(12x)2(22x) 0 (22x)(12x) 8x6 En réduisant le numérateur :0 (22x)(12x) 4x3 En simplifiant par 2 :0 (1x)(12x) 4x3 Et comme (1x)(12x)=(x1)(2x1), on a finalement :0 (x1)(2x1)
Nous pouvons maintenant dresser un tableau de signes :
1 3 Iax1+∞ 2 4 Signe de 4x3− −0+ + Signe dex1− −0+ Signe de 2x10++ + Signe du quotient− +0− + 1 3 Conclusion :S=] ; ]]1 ;+∞[ 2 4 Fiche méthode : étude de signePage1
Calculs et justifications des signes 3 4x30x4 x10x1 1 2x10x2
G. COSTANTINIhttp://bacamaths.net/
Exemple 3 : cas où l'on manipule des inégalités 1 Soitgla fonction définie sur [1 ;+∞[ parg(x)=1,1x+ .Étudier les variations degsur [1 ;+∞[.(BAC ES 2001) x 1 SOLUTION : comme dans l'exemple 1, calculons la dérivéeg'deg:g'(x)=1,12 x 2 1,1x1 Réduisons au même dénominateur :g'(x)=2 x On pourrait factoriser le numérateur puis faire un tableau de signes. Mais, il y a plus simple : On sait que :x1 2On ne change pas le sens de l'inégalité car la fonction En élevant les deux membres "au carré" :x12 + xaxest strictement croissante sur. 2 En multipliant par 1,1 :1,1x1,1 > 1 2 D'où :1,1x1 > 0 On en déduit :g'(xpour tout) > 0x1 La fonctiongest donc strictement croissante sur [1 ;+∞[.
Exemple 4 : inéquation avec logarithmes et second degré
Résoudre l'inéquation :
2 (lnx)lnx420
SOLUTION : contrainte :x> 0. On poseX=lnxafin de se ramener à une inéquation du second degré enX:
2 XX420 2 On calcule le discriminantΔ=b4ac=169 (a=1 ;b=1 etc=42). On obtient deux racines distinctes : b− Δb+ Δ X1==6 etX2==7 2a2a Rappel : lorsqueΔ> 0, on a : 2 D'où la factorisation :XX42=(X7)(X+6) 2 ax+bx+c=a(xx1)(xx2) Notre inéquation s'écrit :(lnx7)(lnx+6)0 On conclut avec un tableau de signes : Ax0+∞Calculs et justification des signes 6 7 e e signe de lnx7 7 − −0+ lnx70 lnx7xe 6 signe de lnx+6 0+ + lnx+60 lnx6xe signe du produit+ 00 +
67 Conclusion :S=]0 ;e][e;+∞[ Exercices proposés : x 1) Soitϕ la fonction définie surpar :ϕ(x)=e(x+1) Dresser le tableau de variation deϕ. En déduire le signe de la fonctionϕ. En déduire que la courbe de la fonction exponentielle est situéeau dessusde la droite d'équationy=x+1. (Voir aussi l'exercice proposé n° 1 de la fiche méthode : "positions relatives de deux courbes") x x2x 2) Résoudre,dans, les inéquations : (e2)(e3)0 et (xx)e0. 13) Soitla fonction définie sur ]0 ;+∞[ par :(x)= x+ lnx2x.   x 2 (x1)(lnx1) Démontrer que l'on a :'(x)=. En déduire le tableau de variation de. 2 x 2 tt 4) Démontrerque, pour toutt[1 ; 2], on a :ee0.
Fiche méthode : étude de signe
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