Les difficultés structurelles

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6Chapitre 2Les di cultes structurelles1. L’equivalence et l’implication1.1. L’implication P =)Qa) Utiliser une implication vraieOn sait que la proposition P =)Q est vraie.2 2 2Exemple : ABC triangle rectangle en A =) AB +AC =BCModus Ponens : pour calculer la longueur d’un des c^otes du triangleAbsurde : pour montrer qu’un triangle n’est pas rectangle. On suppose qu’il l’est et on2 2 2calcule AB +AC BC2 2 2Contraposee : M^eme but que precedemment. On montre que AB +AC = BC et onen deduit que le triangle n’est pas rectangle.b) Prouver une implicationDirectement : on suppose P vraie et on montre Q (Hypaux P )Contraposee : on suppose (non Q) vraie et on montre (non P ) (Hypaux non Q)Absurde : on suppose P vraie et (non Q) vraie (Hypaux P , Abs non Q)c) Des exemplesVoir les transparents : Pythagore, theoreme direct, reciproque et contraposees ; extraitd’un livre (Declic) ; 2 copies problematiques, exemples d’activites (proprietes directes oureciproques ; est-ce le m^eme theoreme ; triangle, es-tu rectangle)d) RemarqueVerite de l’implication : P =)Q est vrai quand (non P ) vraie. C’est ce qu’on retrouvedans la demonstration litigieuse.Une mauvaise idee : partir de l’hypothese. Pour demontrer P =) Q, on suppose Pvraie et on cherche a montrer Q. En general, l’hypothese P doit intervenir au cours duraisonnement, il n’en est pas le point de depart.1.2. L’equivalencea) Les dangers de l’equivalence : le transparent sur les ...
Publié le : samedi 24 septembre 2011
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Chapitre 2
Lesdiculte´sstructurelles
1.L´equivalenceetlimplication 1.1. L’implicationP=Q a) Utiliser une implication vraie On sait que la propositionP=Qest vraie. Exemple:ABCtriangle rectangle enA=AB2+AC2=BC2 Modus Ponens:laloulercalcpouroˆcsednudrueugnlengiatrduest´ Absurdetriangle n’est pas rectangle. On suppose qu’il l’est et on: pour montrer qu’un calculeAB2+AC2BC2 Contrapos´eeeuqomnOertncee´pe´rne.tedmm:MˆutquemebAB2+AC26=BC2et on en deduit que le triangle n’est pas rectangle. ´ b) Prouver une implication Directement: on supposePvraie et on montreQ(HypauxP) Contrapose´e: on suppose (nonQ) vraie et on montre (nonP) (Hypaux nonQ) Absurde: on supposePvraie et (nonQ) vraie (HypauxP, Abs nonQ) c) Des exemples Voirlestransparents:Pythagore,theoremedirect,r´eciproqueetcontrapos´ees;extrait ´ ` dunlivre(De´clic);2copiesprobl`ematiques,exemplesdactivite´s(proprie´t´esdirectesou re´ciproques;est-celemˆemeth´eor`eme;triangle,es-turectangle) d) Remarque Ve´rit´edelimplication:P=Qest vrai quand (nonP) vraie. C’est ce qu’on retrouve danslade´monstrationlitigieuse. Unemauvaiseid´ee:partirdelhypoth`eseemontrer.Pourd´P=Q, on supposeP vraieetoncherche`amontrerQth`ehypol,l´eraesnE.ne´gPdoit intervenir au cours du raisonnement,ilnenestpaslepointded´epart.
1.2.L´equivalence a)Lesdangersdel´equivalence:letransparentsurlessyst`emes´equivalents. b)R´esolutionde´quations:lexercice= c)Dese´quivalencescach´ees:lese´galite´sdensembles. Lese´quivalencessontsourcedenombreuseserreursdanslesraisonnements,meˆmedansla r´esolutiondesyste`mesaveclam´ethodedeGauss.Ilvautmieuxraisonnerpardoubleimplication. 2. Le statut des lettres, les quantificateurs 2.1. Le statut des lettres Ilyaambiguite´danslevocabulaire:soitxRet soitxtlleuqeel´ree. . .. S’agit-il d’unxou x? TransparentsurlebarycentredansleDimath`eme.Lestatutdeslettreschangepresque`achaque phrase.Onpeutd´ecouperletexteen8parties:
Didactiquedesmathe´matiques2 I)Mpt quelconqueM, f(M) = −− II)MqcqAqcq,M,A, f(M) =f(A) +MA III)Mqcq,Axe´A,M f(M) =f(A) IV)Mire´ve´xef(M) = 0 V)Aqcq,Me´erix´evf(M) = 0 VI)Axe,´Mxe´ VII)un nouveau point VIII)Mceseiset(qamsi´nqcraitAqcq dans II)
2.2. Montrerx, P(x) Textedede´monstration:soitxitnoidacrn:eudegllemntueneinentuqeu´eveavecquelcon cherchons`amontrerP(x) ”. Lobjet,d´esign´eparxioteds.euqsiaMapa`ritrunnejeobuetqonlcsnelettx,e´dsegidax, cestlemˆemeobjet,x´e,jusqua`landelad´emonstrationdeP(x). Transparents : montrer le convergence, d’une suite,finjective,uf=vf Dicult´esouerreursdanslade´monstrationdunoCfnentnsuoitiliser(prenonslereeusd´exdrcmasehuorprevuteε= 1. . .) ptulnseuq,eclnoque(lconsquetuanuddnepe´diuueeqemmˆt,jeobrenUboejqty=f(x), yuqtnocleate´uenq,xaussi. . .) ereds´R´eceiruodre´isletertpeldeosnlniegrnuens`,astaonustseestjeergnoblquelconque,lettrequidoitservirjusqua`landelade´monstration(e,y=g(e),y0= h(e). . .) rrecte,delamˆemeLtulisitaoi,nocesrdtteloperrpruevuox, Pi(x) ” successifs peut occasionnerdesdiculte´sdanslacompre´hensiondutexteded´emonstration.Cestlecas pourlar´ecurrence.
2.3. Utiliserx, P(x) Textedede´monstration:soitxquelconque, alors on aP(xtoˆtttecpyhe`htoeespeullisinOtu).pourunobjetd´eja`nomme´ant´erieurementdanslecontexte. Exemples : onecUndeteanste´roalhtopruei:ε= 1, on a. . .”, “ Une rotation conserve lalignement.Conside´ronslarotationdecentrelorigineetdleπ/4 ” ang. . . rueinemenae´re´tetbjmmnotduinoujbte´ddeUonpner:tEantnε2agal`e´η1ditde´edu lacontinuite´def, on obtient unη2tel que ... ” ´ leuqqnoc:eutiosd´eduitdunobjetUonjbteεueqonlce.qucrEitnutionacslonivalede´ fonctionfpourε/´edunend2.Oeixtsieltiuqη1tel que ... Diculte´spourutiliserunehypoth`ese ioislrolIaftuhcrvlesriuomsndae´ion:tratenleuqtejbuqeuqnocilutstieourpouep ge´ome´trie,savoirchoisirlatransformationquivaconserverlebonalignementou choisir la “ bonne ” origine qui facilitera les calculs vectoriels pour les barycentres. . .En analyse, choisir le “ bon ”εturuopunerisilh`otypehtinuit´eesedecon; Lorsque le “ε” porte sur un objet complexe : une fonction, une transformation en ge´ome´trie,unensembledeparties. . ., il faut fabriquer cet objet.
2.4. Montrerx, P(x) Il faut fabriquer un objet, le choisir. Plus le choix est large, plus il est difficile de choisir. – 2 –
´ les difficultes structurelles e.Cieoronecunstedetnatsroe´htaltestobje`aprd´ejtnade´eshte´snalLnsp:elonerE(eipmex x=πd´laonemCe.rtex,cosx=1). aire´editermurinaveledale`eme´rothe:plemExe(nctesixedeme`roe´htiliserunOnpeutut). Oeunp´etdirnxpar une formule : Dansunepreuvedecontinuit´e:posonsη=ε/2 ”. Cela utilise leεquelconque, lettre choisieant´erieurementdansletexte,pourprouverεtilielau.Cnetsixelissuaesleer´duce ε/2. Diculte´sdanslade´monstrationdunqerdleumoCnerpsteettraisexncteee`aach´roprunepe´´ite jet.Seslrpuop`eblroepolesr´meortruopubolrevu Danslespreuvesdecontinuit´e,ilfautsupposerqueleproble`meestre´solupourpouvoir choisir unηtiraonemd´stontxetedsenadeselscouiqarchd´emˆemeelamorvurntetnO.vnei de l’existence du barycentre. Dire que n’importe quel objet convient quand c’est le cas
2.5. Utiliserx, P(x) transparentf(A1A2) =f(A1)f(A2) odnOlsnaadi´uexje`saiuettialpiusr´nensmdoiitdn´omrmeenreldtosbeojenstmq de´monstration aqChobuetmjee:uiilquomprrotpesptiod,nonnuretroarsan´epnitid´emetata´hd,noqieu soitMle milieu de[AB].Mest confondu avec le point d’intersectionM0de[AB]avec laparalle`lea`(BC)passant par le milieu de[AC]. meneptuodre´isngerdesobjetsquelcnsruosmoe´tnce´tishoanisert´urieeisulpeuqsroL-no ques, on peut utiliser une notation fonctionnelle :dnpour le plus petit diviseur denplus grand que 1. Erreurs dans l’utilisation d’unmoemdrmuN`adeantspondrresstee´rp´ipsoretbjxoeumdnomeˆeocracstnere´ids die´rentesoude´pendantsdobjetsdie´rents dee,riettsinpoux´moe´gnEtinctepeuventtr,dxesietcndesiregu,nocednofussualr parexemple,danslesprobl`emesdalignementoudemilieu.Ilestalorsunpeudicilepour les´el`evesdecomprendrepourquoionleurdonnedesnomsdie´rents. alreilbue´irporpactteat´l`aeeh´etcnxOesie
2.6. L’ordre des quantificateurs Changerlordreaugmenteladiculte´:penser`aladi´erenceentrelaconvergencesimpleetla convergenceuniformeouentrelacontinuite´etlacontinuit´euniforme. Transparent Tous pour un, un pour tous 2.7. Les “achce´s Il existe au plus unxv´eriantP(x) ne comporte pas de quantificateur. Elle se formalise en 0 x,x0,(P(x) etP(x0)) =x=x. etsed´emontreenutilisantunestrate´gieenou par l’absurde. xexiste et est uniquesnaDprroepun.(´eeti´aliteuertna`evemenniquensqadesmeL.uto le langage courant, quand on dit “vue unique sur la mer ”, cette phrase n’a pas de sens). On peut construirexqeeueˆrtue-tiapseestcit´eunicettete,mulseuneruvronteliale`onacrustoitc.n ´ Ilfautde´montrerquilnepeutyenavoirplusdun. Transparent Primitives. – 3 –
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