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Paradigmes géométriques et formation initiale des professeurs des écoles, en environnements papier-crayon et informatique Chapitre 3 127 Chapitre 3 : Les paradigmes géométriques face aux concepts didactiques, aux instructions officielles et aux contenus mathématiques Chapitre 3 : Les paradigmes géométriques face aux concepts didactiques, aux instructions officielles et aux contenus mathématiques Les paradigmes géométriques sur lesquels je vais travailler dans toute la suite étant définis, il est intéressant, avant de les exploiter dans ma recherche, de les positionner • d’une part par rapport à d’autres éléments de didactique des mathématiques, en particulier le concept de cadres et changement de cadres développé par Douady ainsi que les organisations praxéologiques proposées par Chevallard. Ce sera l’objet des deux premiers paragraphes de ce chapitre. • d’autre part par rapport aux instructions officielles de l’école et du collège, ce sera l’objet du troisième paragraphe. Par ailleurs, ce travail de thèse sur les paradigmes géométriques ne peut s’effectuer, nous l’avons dit, sans le support de contenus mathématiques. Ceux-ci seront divers mais l’un d’entre eux sera particulièrement exploité : la médiatrice. Il est donc intéressant de faire le point sur la manière dont elle est présentée dans les manuels actuels de sixième, classe où elle est introduite, notamment bien sûr du point de vue des paradigmes géométriques. 1. Paradigmes ...
Publié le : samedi 24 septembre 2011
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Paradigmes géométriques et formation initiale des professeurs des écoles,  en environnements papier-crayon et informatique
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Chapitre 3
Chapitre 3 : Les paradigmes géométriques face aux concepts didactiques, aux instructions officielles et aux contenus mathématiques  
Chapitre 3 : Les paradigmes géométriques face aux concepts didactiques, aux instructions officielles et aux contenus mathématiques
Les paradigmes géométriques sur lesquels je vais travailler dans toute la suite étant définis, il est intéressant, avant de les exploiter dans ma recherche, de les positionner  d’une part par rapport à d’autres éléments de didactique des mathématiques, en particulier le concept de cadres et changement de cadres développé par Douady ainsi que les organisations praxéologiques proposées par Chevallard. Ce sera l’objet des deux premiers paragraphes de ce chapitre.  d’autre part par rapport aux instructions officielles de l’école et du collège, ce sera l’objet du troisième paragraphe. Par ailleurs, ce travail de thèse sur les paradigmes géométriques ne peut s’effectuer, nous l’avons dit, sans le support de contenus mathématiques. Ceux-ci seront divers mais l’un d’entre eux sera particulièrement exploité : la médiatrice. Il est donc intéressant de faire le point sur la manière dont elle est présentée dans les manuels actuels de sixième, classe où elle est introduite, notamment bien sûr du point de vue des paradigmes géométriques.
1. Paradigmes géométriques, cadre géométrique et changement de cadres
1.1. G1 et G2 sont-ils des cadres ?
Le concept de cadre a été introduit par Douady dans sa thèse [Douady. 1984] puis plus largement présenté à toute la communauté didactique dans [Douady. 1986] : « Disons qu’un cadre est constitué desobjets58 d’une branche des mathématiques, des relations les objets, de leurs formulations éventuellement diverses et des images entre                                                  58sur lesquels je reviens ensuite, dans cet extrait comme dans lesc’est moi qui mets en gras certains éléments suivants.
    
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mentales associées à ces objets et ces relations. Ces images jouent un rôle essentiel dans le fonctionnement comme outils des objets du cadre.Deux cadres peuventcomporter les mêmes objets et différerpar les images mentales et la développée problématique. Par ailleurs, la familiarité, l’expérience peuvent conduire à desconflitsentre ce qu’on attend et ce qui se produit effectivement et par suite à renouveler les images ou les faire évoluer. » [Douady. 1986, pages 10 et 11].  Lesobjetsde G1 et de G2 (segments, triangles, cercles, …) porte nt les mêmes noms, mais ces noms renvoient à des objets différents comme je l’ai vu précédemment : objets matériels dans G1, abstraits dans G2. Certains objets d’ailleurs n’existent que dans G2 : les droites par exemple ne sont pas des objets de G1 (un objet matériel ne saurait être illimité) mais seulement des objets de G259.  Lesrelations sont les mêmes (parallélisme, inclusion, …) mais les correspondances entre objets et relations de G1 et G2 sont loin d’être parfaites : deux segments de G1 peuvent être considérés dans G1 comme parallèles compte tenu de la précision utilisée pour vérifier ce parallélisme alors qu’ils peuvent être considérés comme des représentants d’objets théoriques de G2 qui ne sont pas parallèles60.  Laproblématiquedes paradigmes G1 et G2 surtout est fondamentalementde chacun différente : problématique de la précision des tracés dans G1, problématique de la conformité aux règles de la théorie dans G2.  Par ailleurs, lesconflits entre ce que l’on voit dans G1, et ce que l’on sait dans G2 sont nombreux ; ils sont l’objet de nombreux exercices proposés aux élèves pour les inviter à passer de G1 à G2 au collège notamment. C’est ce qui se passe sur l’exemple
                                                 59on peut ainsi comprendre pourquoi ce terme n’apparaît pas en cycle 2, mais seulement en cycle 3, et encore avec une restriction. En effet, le document d’application des programmes de mathématiques de cycle 3 précise que le mot « droite » est pour l’enfant à ce niveau synonyme de « ligne droite ». On peut supposer que « ligne droite » renvoie alors au tracé, à la « réalité spatio-graphique », limitée, de G1, tandis que « droite » renvoie à l’objet théorique, illimité, de G2. 60C sidérons l’exercice suivant :  on « Construisez un carré ABCD de côté 5 cm. Placez le point I de [BD] tel que BI = 1,7 cm puis le point J de [BC] tel que JC = 3,8 cm. Que pouvez-vous dire des droites (IJ) et (DC) ? » La valeur de BI pour laquelle il y a effectivement parallélisme est2,1×2cm dont une valeur approchée est 1,6971 cm. L’écart avec la valeur proposée est de moins de 0,03 mm, indécelable perceptivement à l’œil nu sur une construction. Dans G1, les droites sont parallèles ; dans G2, elles ne le sont pas !    
    
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présenté en introduction (ci-dessous) où le dessin proposé est un carré du point de vue G2 mais ne ressemble pas à un carré du point de vue G1.
 Balacheff reformule ainsi, en présentant le travail de Douady : « L’idée de cadre, qu’elle propose, est celle d’un domaine des mathématiques qui soit assez bienidentifié ses parobjets, les relations qu’ils entretiennent et les types de représentation et detraitement qu’ils mobilisent. »[Balacheff. 2002, page 3]  G1 et G2 ont tout particulièrement étédifférenciées par la nature des objets sur lesquels on travaille  et par la nature destraitementseffectués : les validations par exemple sont basées sur la perception dans G1, sur la démonstration dans G2. Rogalski propose une autre formulation intéressante : « « En gros », on dit qu’on travaille dans un cadre donné si on étudie un problème dont les données, les énoncés, les outils premiers d’études, se situent dansune théorie principale assez bien définieayant souvent un rapport avec un, plus ou moins vaste, certain champ conceptuel (au sens de Vergnaud). Un cadre apparaît ainsi comme un domaine de travail. Il peut y avoir entre les différents cadres des relations d’emboîtement, ou des intersections non vides, avecdes frontières nécessairement un peu floues. Il s’agit surtout de points de repère,utiles pour analyser les problèmes, pour classer, pour décrire des relations, pour situer des objets mathématiques précis, donc utiles aussi pour chercher et pour enseigner, et en particulier pour prévoir des changements de cadre. »[Rogalski. 2002, pages 13-14].  Pour G2, la théorie principale est clairement identifiée : c’est la géométrie euclidienne. Pour G1 par contre, la théorie est moins explicite, on peut choisir notamment entre géométrographie et géométrie euclidienne. Je reviendrai sur ce point en étudiant dans la suite les liens entre tâches, techniques, technologies et théories.
    
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 Les frontières entre G1 et G2, malgré tout l’effort d’explicitation qui a été fait, restent toujours un peu floues. Si les validations de type hypothético-déductif sont la caractéristique de G2, des raisonnements, des déductions peuvent être effectuées sur des objets de G1. Il devient ainsi parfois difficile de savoir si la résolution d’un problème relève de G1 ou de G2. Par ailleurs, il reste des situations dont on ne sait pas bien si elles relèvent de G1 ou de G2. J’ai par exemple affirmé que la droite n’était pas un objet de G1. Pourtant, les élèves de cycle 3 vont utiliser cet objet, ou du moins un objet qui porte ce nom. Pour certains d’entre eux, il sera en fait synonyme de segment, ils n’arrivent pas à prendre en compte l’aspect illimité. Ils manipulent donc un objet de G1, il y a erreur sur le vocabulaire. Cette situation est sans ambiguïté. Mais d’autres saisissent que la droite continue au-delà du trait qu’ils ont tracé. Travaillent-ils pour autant dans G2 ? Ce qui est en fait flou, ce ne sont pas tout à fait les paradigmes G1 et G2 en eux-mêmes, mais plutôt les pseudo-paradigmes dans lesquels travaillent les élèves à un moment donné, dans une situation donnée, pseudo-paradigmes qui le plus souvent tiennent à la fois de G1 et de G2, comme je l’ai montré (cf. chapitre 2, § 1.4, 1.5, pages 73 et suivantes).  Ces paradigmes sont utiles pour analyser des problèmes, je l’ai montré au chapitre 2, paragraphe 1.3 (cf. pages 72 et suivantes). Ainsi, les paradigmes géométriques que nous avons définis, et tout particulièrement G1 et G2, peuvent être considérés comme des cadres géométriques particuliers. Pour conforter cette affirmation, reprenons un extrait de [Balacheff. 2002, page 3] : « La notion de cadre est façonnée pour dessiner les contours d’un domaine des mathématiques en des termes qui seront pertinents pour analyser l’activité de l’élève et ses connaissances (ou plutôt ses conceptions, comme il est souvent fait référence dans le mémoire de thèse61) ». Cet extrait renforce une de mes hypothèses de recherche (cf. chapitre 2, § 3.2) : HR2 : Les paradigmes géométriques tels qu’ils ont été précédemment définis, et tout particulièrement G1 et G2, sont un outil pertinent pour analyser l’activité des PE1 en géométrie plane.  L’aspect des cadres qui a ici été envisagé est l’aspect mathématique, mais complétons avec cet extrait de [Douady. 1992, page 136] :                                                  61Celui de Régine Douady
    
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« En fait, la référence naïve aux images mentales est seulement l’indice que le chercheur62 fait partie du cadre et qu’un transfert en didactique de cette notion demande d y inclure l’acteur : maître, élève ou chercheur. Cela conduit à envisager la notion de cadre selon au moins trois dimensions : une dimension mathématique, une dimension socioculturelle, une dimension individuelle chacune indexée par le temps. On peut parler ainsi d’états d’un cadre, dans un environnement donné, pour quelqu’un, à un moment donné. Les trois dimensions concernent la description des états à un moment donné, ces états évoluant avec le temps. » Citons un exemple du point de vue socioculturel, exemple que nous avons déjà étudié au chapitre 2, paragraphe 1.7 (cf. pages 93 et suivantes). En mathématiques, notamment parce que cela simplifie beaucoup d’énoncés de définitions et de théorèmes, les ensembles d’objets fonctionnent le plus souvent par inclusion : c’est le cas des ensembles de nombres ou des quadrilatères par exemple. Pour le mathématicien, un carré est un rectangle. Ce sera le cas bien sûr dans G2. Par contre, dans le langage courant, les ensembles d’objets s’excluent généralement les uns les autres. Le « ou » est très souvent exclusif. Ainsi, pour l’enfant, il est difficile d’accepter que le carré soit aussi un rectangle. On voit là comment l’aspect socioculturel peut être pris en compte dans les paradigmes géométriques, et tout particulièrement dans G0 (où les objets sont ceux de la réalité), et dans G1. Pour préciser la dimension individuelle, reportons-nous à [Douady. 2002, pages 136-137] : « La dimension individuelle intervient dans le fait que la constitution d’une culture est certes le fruit d’une éducation sociale, et l’école y prend sa part. Mais c’est plutôt le fruit d’une interaction entre l’individu et l’environnement social. Il en résulte que dans une société, et nous englobons la société scolaire, les individus tout en disposant d’un large champ de références communes, se construisent des représentations personnelles des expériences vécues, y compris des expériences cognitives. Ceci conduit à un enrichissement diversifié du cadre dans toutes ses dimensions, à une diversité dans ses modalités de mise en œuvre selon les individus. »
                                                 62 du travail du mathématicien pour définir la notion de cadreDouady part
    
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1.2. Paradigmes et changements de cadres.
Les cadres présentent un intérêt particulier dans les changements de cadres : « La notion de cadres a été introduite par R. Douady surtout pour prendre en compte des changements de cadre qui sont des moyens de résoudre des problèmes et de produire des connaissances nouvelles. » [Perrin-Glorian. 2002, page 63] Qu’en est-il de nos paradigmes ? L’élève qui travaille dans G1 peut très bien y rester, mais l’expert qui travaille dans G2 va souvent utiliser aussi G1 : il va utiliser des dessins pour faire des conjectures, contrôler des propriétés, envisager des démarches de démonstrations, déterminer des sous-figures pertinentes, etc., avant de revenir dans G2. Ainsi les changements de cadres vont bien être «des moyens de résoudre des problèmes et de produire des connaissances nouvelles». Mais ces changements de cadres entre G1 et G2 ont plusieurs particularités par rapport aux changements de cadres tels que Douady les fait fonctionner :  changements de cadres sont souvent pilotés et donc explicités par l’enseignant,Les alors qu’en géométrie on voudrait que ce soit l’élève qui en ait l’initiative.  cadres entre G1 et G2 sont nombreux dans une même résolutionLes changements de de problème, comme l’expliquent [Laborde & Capponi. 1995] : « L’élaboration d’une solution à un problème de géométrie est faite d’une succession d’allers et retours entre théorie et spatio-graphique selon le schéma suivant :
géométrie problème réponse
spatio-graphiquerdeup rpérsoebnlètamtieon évidences actions expérimentations  Ces allers et retours constituent ce que nous appelons dans la suite un jeu de relais entre géométrique et spatio-graphique. »  Nous pouvons considérer ces «jeux de relais entre géométrique et spatio-graphique» comme des mini-jeux de cadres entre G1 (spatio-graphique) et G2 (théorie). Le fait que ces changements de paradigme entre G1 et G2 soient nombreux « brouille » les
    
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pistes pour les élèves, d’autant plus que les supports de travail (dessins, énoncés) sont les mêmes. C’est une des difficultés des élèves en géométrie.  L’utilisation la plus habituelle des cadres63est de commencer à résoudre un problème dans un cadre A, de passer dans un cadre B pour avancer la résolution du problème (parce que les objets y sont plus familiers, les techniques plus faciles à mettre en œuvre, les théorèmes mieux connus, etc.) pour conclure dans le cadre A, dans lequel était posé le problème. Le problème est alors résolu, il n’est pas nécessaire de chercher un chemin qui soit tout entier dans le cadre A. Par contre, quand l’expert effectue ses « jeux de relais » entre G1 et G2, c’est pour rechercher des idées. Mais pour rédiger finalement correctement la solution du problème, on attend de lui qu’il propose un chemin qui reste autant que possible64 G2. Autrement dit, G1 joue le rôle d’un dans cadre auxiliaire transitoire, comme un échafaudage nécessaire à la construction mais qui doit s’effacer quand l’édifice est terminé. Les schémas suivants montrent cette différence de comportement des changements de cadres habituels et des « jeux de relais » entre G1 et G2, dans la recherche d’un problème d’une part, puis dans la présentation de la solution pour l’« expert ». Le cas du « non-expert » est également schématisé, mais il s’agit pour le moment d’une hypothèse sur le fonctionnement des PE1 par exemple.
                                                 63Pour une étude détaillée de «Comment fonctionnent les changements de cadre, ou de registre, ou de point de vue ? Pour quelles raisons va-t-on ailleurs chercher quelque chose, et quoi ?», le lecteur pourra lire [Rogalski. 2002. p 19-26]. 64Nous avons déjà montré que dans une démonstration de G2, le recours à des éléments figuraux est inévitable même si bien sûr on essaie de le limiter au maximum.
    
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Fonctionnement habituel des changements de cadre  Cadre A
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Le problème est posé dans G1
Le problème est posé dans G2
   
Le problème est posé dans G1
Le problème est posé dans G2     
    
Cadre B  Fonctionnement des « jeux de relais » entre G1 et G2  Cas de l’« expert »  En situation de recherche En situation de restitution
G1 G2
G1 G2
G1  G2
G1  G2
Cas du « non-expert »  En situation de recherche En situation de restitution
G1 G2
G1 G2
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G1  G2
G1  G2
 
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2. Les paradigmes géométriques et les organisations praxéologiques de Chevallard
Rappelons brièvement la définition de l’expression « praxéologie », à l’aide d’un extrait de [Chevallard. 1997] : « En toute institution, l’activité des personnes occupant une position donnée se décline en différents types de tâches T, accomplis au moyen d’une certaine manière de faire, ou technique, τ. Le couple [T/τ] constitue, par définition, un savoir-faire. Mais un tel savoir-faire ne saurait vivre à l’état isolé : il appelle un environnement technologico-théorique [θ/Θ], ou savoir (au sens restreint), formé d’une technologie,θ, « discours » rationnel (logos) censé justifier et rendre intelligible la technique (tekhnê), et à son tour justifié et éclairé par une théorie,Θ, généralement évanouissante. Le système de ces quatre composantes, noté [T/τ/θ/Θ], constitue alors une organisation praxéologique ou praxéologie, dénomination qui a le mérite de rappeler la structure bifide d’une telle organisation, avec sa partie pratico-technique [T/τ] (savoir-faire), de l’ordre de la praxis, et sa partie technologico-théorique [θ/Θ [Chevallard. »] (savoir), de l’ordre du logos. 1997, pages 37-38] Je propose d’analyser dans ce qui suit, à titre d’exemples, deux types de tâches différentes, tâches proposées par ailleurs aux PE1 (cf. chapitres 3 et 4), en faisant le lien entre les paradigmes géométriques que nous avons définis et l’organisation praxéologique mathématique proposée par Chevallard.
2.1. Type de tâche : donner la nature d’un triangle
Reprenons les exemples étudiés précédemment en 1.3. Exercice 1 : Quelle est la nature du triangle ECO ci-contre ?  Exercice 2 : Soit un triangle ABC tel que : AB = 3 cm, BC = 4 cm, AC = 5 cm. Quelle est la nature de ABC ?  
    
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