Sur les analogies entre l'équilibre d'un fil et le mouvement d'un point

Alf Guldberg

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Guldberg, Alf
Sur les analogies entre
l'équilibre fil et led'un
pointmouvement d'un
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'/Sur les
Analogies d'un filentre l'équilibre
et le mouvement d'un point
par
GuldbergAlf
Skrifter. I. Mathematisk-naturv. Klasse. 1902. NoVidenskabsselskabets 9.
--«^e^-
Christiania
DybwadEn commission chez Jacob
Imprimerie de A. W, Brogger
iqo2mathcrnatisk-naturviclenskabelige klasses mode d. 3ote mai igo2.Fremlagt i den
551
G8Sur les analogies entre Téquilibre d'un fil et le
mouvement d'un point
par
Alf Guldberg.
Les analogies qui existent entre l'équilibre d'un fil et le mouvement
id'un point sont déjà signalés par Mac-Laurin. Plus tard Ossian Bonnet
Paul Appelleet MM. Serret^ et se sont occupés de ces analogies.
Considérons un fil flexible et inextensible, ayant partout une égale
épaisseur. Supposons ses extrémités fixées d'une manière invariable aux
deux points A et B, et chacun de ses éléments sollicité par une force
déterminée assujettie à la seule condition de varier d'une manière continue
tant en grandeur qu'en direction quand on passe d'un élément à l'élé-
ment suivant; nous aurons, pour l'équilibre d'un élément quelconque, les
trois équations connues
= oH-X
i.{Ti\+>^=o,
ds\ (h
X, z représentant les coordonnées rectangulaires d'un point d'élémenty,
considéré, s l'arc du fil compris entre un point fixe et le point variable
(x, z), T la tension en ce dernier point, X, Y, Z les forces extérieuresy,
rapportées à l'unité de longueur et parallèlles aux axes qui répondent au même
^ Journal de mathématiques t. IX.
2 Théorie nouvelle des lignes à double courbure.
3 Comptes rendus de l'Académie des Sciences t. XCVI.
Vid. Selsk. Skrifter. M.-N. Kl. 1902. No. 9.ALF GULDBERG. M.-N. Kl.
les différentielles se rapportant à un mêmepoint, et enfin, toutes déplace-
ment infiniment petit effectué sur le fil, dans un sens qui pourrait être
mais que nous supposerons toujours être celui dans lequelquelconque,
les valeurs positives de pour fixer les idées et poursont comptées .y,
différentielle ds.rendre positive la
d'unConsidérons maintenant le mouvement dans l'espace point ma-
quelconque; soient x, z les coordonnées du point par rapport àtériel y,
quelconques; Z les composantes des forces accélératricestrois axes X, Y,
l'on sait, les trois équationssuivant ces trois axes, on aura, comme
d I dx\ ~X
lîy dt)
=m^ =F (B).^
(-1)
_1 = Z.
dt(-1)
m désignant la masse du point matériel.
voit immé-En regardant les deux sj^stèmes d'équations (A) et (B) on
diatement une analogie frappante; pour mieux mettre en relief les rap-
prochements qui sont des conséquences nous nous servirons d'un texte àen
du mouvement d'un pointdeux colonnes, et nous prendrons les théorèmes
comme point de départ.
I. Théorème de la projection I. Théorème de la projection
de la quantité de mouvement. de la tension.
première des première des équations duLa équations du La
système (B) est système (A) est
d_
('»g='^. (4:)=-^-ds
comme l'axe des x est arbitraire, comme l'axe des x est arbitraire,
équation exprime cette équation exprime quecette que
par rapport aux lon-La dérivéepar rapport au temps La dérivée
tensionde la projection de la quantité de gîieurs de la projection de la
tnouvement sur un axe est égale a sur un axe est égale et opposée à
la somme des projections des la sotnme des projections des forcesforces
appliquées appliquées au jil.au point mobile.T9D2. NlO. SUR LES ANALOGIES ENTRE L'ÉQUILIBRE.9.
'
En particulier, si la somme desEn particulier, si la somme des
projections des forces sur un axe projections des forces sur un axe
|
est constamment nulle, ce théorème est constamment nulle, ce théorème
j
projection de la montre que la projection de la ten-montre que la !
constante. Enquantité de mouvement sur cet axe sion sur cet axe est
;
est constante. En effet, en prenant effet, en prenant cet axe pour axe
pour axe on a acet axe Ox, Ox, on
dx(1 ( dx d Irp
)-»
di('"l)=° dsy ds
ou ou
dx . —T ^A.
ds
Forces parallèles. Exemple. Forces parallèles.Exemple.
Supposons les forces données Supposons les forces extérieures
parallèles à une direction fixe. La parallèlles à une direction fixe. La
dans alors une courbetrajectoire est alors un plan figure d'équilibre est
laparallèle à cette direction. En effet, plane dont le plan est parallèle à
pour une parallèle direction forces. Supposonsprenant axe Oz de ces
direction;à la direction de la résultante F, l'axe Oz parallèle à cette
Donca constammentA"=o,Y= o. Donc A'et l'sont constamment nulles.on
dx , dx „
ds ds
d'où:
équations il reste:éliminons 2^entreces
— =Ady Bdx o
—Ady Bdx= o
en intégrantet
d'où:
— = — =Ay Bx C, Ay Bx C
Oz.équation d'un plan parallèle à l'axe Oz. équation d'un plan parallèle à l'axe
2. du moment de 2. Théorème du moment deThéorème
la quantité de mouvement. la tension.
Les deux premières équations Les deux premières équations
du système du système (A):(B) :
!=-)•^('4)=^^(^'^=-^^(^;;?)('«l)=^.6 - ALF GULDBERG. M.-N. Kl.
la combinaison: fournissent la combinaison:fournissent
d( dxdu
di dt -''7û\"'di 4k}%-4kf%
=-\xY yX\=x Y X,U
qu'on peut écrire:qu'on peut écrire:
dxd_ dx d_
mX 1
ds dsdt dt K'40
=-[xY-yX]=xY~yX
c'est à dire quec'est à dire que
par rapport auxpar rapport au La dérivéeLa dérivée
longueurs du moment de la tension.^temps du moment de la quantité de
rapport a un axe (Vaxe Oz), estpar rapport a un axe parmouvement
moment de laégale et opposée au(l'axe O0), est égale au moment de
résultante des forces extérieuresla résultante des forcespar rapport
rapport au même axe.parau mcme axe.
—particulier, si X— En x YEn particulier, si x Y Xest yy
auronsest constamment nul, nousnul, nous auronsconstamment
dy dx\\ ( = OX m ~ " ("dt di Tt) ds)
OU ou
dij —x\m-^\
)-^('"l)=^-
exté-C'est à dire que si la résultante C'est à dire Q^(t si laforce
des forces données est constamment rieure estconstammentdans un même
dans un fnéme plan avec un axe îin axe (laxe leplan avec Oz),
(l'axe quantité rapportOz) le moment de la moment de la tension par
du mouvement par rapport à cet a cet axe est constant.
axe est constant. (Principe des aires).
Inversement, lasi le moment de la Inversement, si le moment de
quantité du mouvement par rapport tension par rapport à un axe, par
à un axe, par exemple Oz, est est constant, la forcecon- exemple Oz,
stant, la force dans dans un même planest un même extérieure est
plan avec Oz, car l'équation avec ()z, car l'équation