Thèse d'analyse sur la continuité des fonctions imaginaires et des séries en particulier

H. (Hermann) Laurent

Sujets

• Function
• Series

Informations

• Publié par: les_archives_du_savoir
• Nombre de lectures: 14
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 5 Mo

Extrait

^^^^^7^«'j^N» D'ORDRE
6
THÈSE D'ANALYSE
SUR LA
CONTINUITE DES FONCTIONS IMAGINAIRES
ET
SERIES ENDES PARTICULIER
Par H. LAURENT
II
OFFICIER GÉNIEDU
LICENCIÉ ES SCIENCES MATHÉMATIQUES
METZ
IMPRIMERIE ET LITHOGRAPHIE DE J. VERRONNAIS, .
SCIENCES DE >ANCY.FACULTÉ DES
PROFESSEURS:
d'Hisloire naturelle.Doyen, ProfesseurMM. GODRON (Oj),
Chimie.Professeur deMKLÈS ,($)
CHALTARD , de Physique.
litémutiquesRENARD Professeur de Ma,
et de mécanique.LAFOX cTAstronomie
d'exakeh.coHKissiair
MM. CHAITARD, Président.
RENARD.
UFON.
La a arrêté qae les (^inkHis émises dans les dissertations qui loi sont présentéesbealté
elle n'entend ni les approuver.MTcntêire eoasidéiécscoMPepnyresà leursanteurs et qa,
D'ANALYSETHÈSE
U CONTINUITÉ DES FONCTIONS IMAGINAIRESSUR
ET DES SÉRIES EX PARTICULIER.
PREMIERE PARTIE.
Le but que noos nous proposons dans eelie première partie, est de mootrer
comment on peut donna" one représentation géoméiiiqae , des fonctions de
Tariables imaginaires.
Le mode de représentation dont fl s*a|rit ici ne s qu'aux fonctions mono-apf^qœ
monogènesdromes et dans toute l'éleodoe du plan ainsi dans; tout ce qui Ta soiTre
quand nous parlenms d^une fonction de Tariable imaginaire , H sera sous-dtendu
qu'die est monodrome et mono^ne.
« Dés Tannée 1805 MM. Tabbé Buée, et Argand , en parlant de celte idée
qoe y/ 1 est un signe de perpendieolarité— , avaient donné des CApiCKtfoos imagi-
naires une interprétationgécmétrique contrebqadkd»objectionsspédeoses toAéié
proposées. Plus tard, M. Âigand et d'autres auteurs particnliérenientMM., Français,
Faure Mourey, , Vallès , etc., ont publié des reefaerebes qui aTaienC pov bot de
déYclopper ou de modifier Imterprélation dont il »s'^l. (Cancfaj, Mémoire ar
les quantités géométriques, Ex. d'analyse etdephys. malh., tome IT, page 157).
Une« grande partie de ces recherches avait été, à ce quH parait, obieiiiiemême
avant le siècle présent et dès lanoée« 17â6, par on savant modeste, M. Bemi-
Dominique Truel, qui, les avoir consignésai^és dans divers manuscrits, les a
communiqués vers Tannée 1810, à M. Augustin Normand, , constmcieiir de
vaisseaux au »Havre. (US)
Cancfaj, dans ses nombreux et savants mémoires, a considérablement dcvc-.
—__ 4
d'être cités. Menant l'imaginaireidées des géomèlres qui viennentloppé les
sin il la représenta tanlôt par lex-{-y 1 sous la forme r (cos o -}-\/— 1 o) ,V/—
étaient œ ei tantôt par la droite depoint dont les coordonnées rectangulaires ,y
l'angleun axe fixe , elongueur r faisant dans un plan fixe , avec
réelles, se représentait facile-imaginaire contenant réalité deux quantitésUne en
ou polaires d'un point mais lesment à l'aide des deux coordonnées , rectilignes ;
difficilement à ceux d'une quantitévariations d'une pareille quantité , se comparaient
sensible à l'œil , il eût fallu quatrede même espèce. Pour rendre celte comparaison
l'espace.coordonnées pour un même point dans
YVoicicomment on a fait pour sauver celte difficulté : désignant par X \/— 1+
— ordonnéesune fonction de x-\-y\/ 1, on a considéré X et Y comme les d'une
surface dont x ely étaient deux autres coordonnées. propriétés de ces surfacesles Les
ont été étudiées par M. Proulietdans une note insérée à la suite du Traité d'analyse
de Sturm.
représentation géo-Nous allons essayer, dans ce qui va suivre, de donner une
métrique d'une fonction — l'aide d'une seule surface, nousde x-\-y\/ 1 à dont
étudierons les principales propriétés.
1.
a^^eWavons courbes d'égal module, courbesAfin de simplifier le langage, nous
d'égal argument de la fonction monodrome et monogène les lieux desfi^)-,
argument constant.points où cette fonction a un module constant , un
de ousimplement swr/ace rfe /'(^),Nous appellerons surface représentative f(z),
surface obtenue en élevant en chaque point plan une ordonnée perpendicu-la du
laire et égale au module de la fonction en ce point.f{z)
D'après cela , il est facile de voir que les courbes d'égal module ne sont autre
chose que les lignes de niveau de la surface de /'(s^).
La surface de (x) ne définit pas entièrement fonction et en effet deuxcette ,f
fonctions dont le rapport est une expression réduite, ont nécessairement même
surface; mais réciproquement fonctions surface, peuventdeux ayant même ne
différer que par un facteur constant qui une expression réduite. Car puisqueest
les endeux fonctions en question ont même surface , elles ont même module
chaque point du plan.
Leur rapport a donc devenirdonc pour module l'unité ce rapport ne pouvant;
infini pour aucune valeur de z qui démontre le fait que, est une constante. Ce
nous avions annoncé.