Une réfutation des lemmes fondamentaux de Newton

Miles Mathis, Bahrmanou

Description

UNE RÉFUTATION DES LEMMES FONDAMENTAUX DE NEWTON par Miles Mathis Newton publia ses Principia en 1687. Excepté pour les corrections d’Einstein dans sa relativité, l’essentiel du texte est resté incontesté depuis lors. Il a constitué la colonne vertébrale de la trigonométrie, du calcul différentiel, de la physique clas- sique, et il l’est toujours en grande partie. C’est le texte fondamental pour la ciné- matique, pour la gravitation et pour bien d’autres sujets. UNE RÉFUTATION DES LEMMES FONDAMENTAUX DE NEWTON M. Mathis Dans cet article, je ferai une réfutation simple et directe de l’un des premiers lemmes de Newton, un des plus fondamentaux, un lemme qui reste jusqu’à ce jour la base du calcul et de la trigonométrie. Ma correction est importante – malgré l’an- cienneté du texte que je critique – simplement du fait de l’importance continue de ce texte dans les mathématiques modernes et dans les sciences. Ma correction cla- rifie la fondation du calcul, une fondation qui est, jusqu’à aujourd’hui, d’un grand intérêt pour les mathématiciens purs. Dans les cinquante dernières années, des mathématiciens renommés, comme par exemple Abraham Robinson, ont continué à travailler sur les fondations du calcul (voir « Analyse non-standard »).

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• Publié par: Bahrmanou
• Publié le: 19 mai 2014
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Extrait

U NE RÈFUTATION DES LEMMES FONDAMENTAUX DE N EWTON

parMiles Mathis

Newton publia sesPrincipiaen 1687. Except pour les corrections d’Einstein dans sa relativit, l’essentiel du texte est rest incontest depuis lors. Il a constitu la colonne vertbrale de la trigonomtrie, du calcul diffrentiel, de la physique clas- sique, et il l’est toujours en grande partie. C’est le texte fondamental pour la cin- matique, pour la gravitation et pour bien d’autres sujets.

U NE RÈFUTATION DES LEMMES FONDAMENTAUX DE N EWTON

M. Mathis

Dans cet article, je ferai une rfutation simple et directe de l’un des premiers lemmes de Newton, un des plus fondamentaux, un lemme qui reste jusqu’Ā ce jour la base du calcul et de la trigonomtrie. Ma correction est importante – malgr l’an- ciennet du texte que je critique – simplement du fait de l’importance continue de ce texte dans les mathmatiques modernes et dans les sciences. Ma correction cla- rifie la fondation du calcul, une fondation qui est, jusqu’Ā aujourd’hui, d’un grand intrt pour les mathmaticiens purs. Dans les cinquante dernires annes, des mathmaticiens renomms, comme par exemple Abraham Robinson, ont continu Ā travailler sur les fondations du calcul (voir «Analyse non-standard»). Mme Ā une poque aussi tardive dans l’Histoire, des corrections mathmatiques et ana- lytiques importantes doivent garder un intrt, et une dcouverte telle que celle contenue dans ce papier est cruciale pour la comprhension des mathmatiques dont nous avons hrit. Cette correction n’a jamais t adresse non plus dans les modifications historiques du calcul, par Cauchy ou qui que ce soit d’autre. Redfi- nir le calcul en se basant sur des considrations de limite n’affecte en rien l’analyse gomtrique ou trigonomtrique que je vais offrir ici.

Le premier lemme dont il sera question ici est le lemme VI, du Livre I, section I («Du mouvement des corps»). Dans ce lemme, Newton fournit le diagramme ci-dessous, oÙ AB est la corde, AD est la tangente et ACB est l’arc. Il nous dit que si nous laissons B approcher de A, l’angle BAD doit ultimement s’vanouir. En langage moderne, il nous dit que l’angle va vers zro Ā la limite.

Cette affirmation est fausse pour la raison suivante : si nous laissons B approcher A, nous devons surveiller l’angle ABD, pas l’angle BAD. B approchant A, l’angle ABD se rapproche de plus en plus d’un angle droit. Quand B atteint finalement A, l’angle ABD est un angle droit. Ds lors, l’angle ABD ne peut jamais tre aigu. C’est uniquement si nous imaginons que B dpasse A que nous pouvons imaginer que l’angle ABD serait aigu. Et mme alors, l’angle ne serait pas vraiment aigu puisque nous serions dans une sorte d’intervalle de temps ngatif. Newton utilise A comme son point zro, et donc nous ne pouvons pas rellement dpasser ce point sans

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arriver Ā une sorte d’intervalle ngatif, plus spcialement du fait que nous parlons ici du mouvement d’un corps rel.

Ajout :J’ai ajout ce paragraphe aprs avoir discut avec de nombreux lecteurs qui ne parviennent pas Ā visualiser la manipulation ici. C’est trs simple : vous devez faire glisser la ligne entire RBD vers A, la gardant toujours droite. C’tait la visualisation de Newton et je ne l’ai pas change ici. Je ne change pas ses pos- tulats physiques, j’analyse sa gomtrie avec une rigueur encore plus grande que la sienne.

Si nous amenons B vers A sans dpasser A, alors l’angle ABD a une limite Ā 90. Quand ABD est Ā 90, l’angle BAD ne peut pas tre zro. Ceci sera clair comme du cristal dans un moment quand nous examinerons la longueur de la tangente Ā la limite, mais pour l’instant il suffit de dire que si l’angle BAD tait zro, alors ADB devrait galement tre 90, ce qui est impossible Ā proposer : un triangle ne peut pas avoir deux angles Ā 90.

Dans le lemme VII, Newton utilise le lemme prcdent afin de dmontrer qu’Ā la limite, la tangente, l’arc et la corde sont tous gaux. Je viens juste de prouver que cela est faux en dmontrant que l’angle ABD est Ā 90 Ā la limite. Si ABD est Ā 90 Ā la limite, alors la tangente doit tre plus grande que la corde. Veuillez noter que si AB et AD sont gaux, alors ABD doit tre moindre que 90. Mais j’ai dmontr que ABD ne peut tre plus petit que 90. B devrait dpasser A, ce qui nous placerait dans un intervalle de temps ngatif. Si B dpasse A (A tant la limite), alors la tangente ne peut jamais galer la corde, pas quand on approche de la limite ni Ā la limite.

Ceci vrifie ma supposition prcdente selon laquelle l’angle BAD ne peut aller vers zro. Si la tangente est plus longue que la corde Ā la limite, alors c’est une raison de plus pour que l’angle BAD doit tre plus grand que zro, mme Ā la limite. Si AD est plus grand que AB, alors DB doit tre plus grand que zro. Si DB est plus grand que zro, alors l’angle BAD est plus grand que zro.

Tout ceci est caus par le fait que l’angle ABD va vers 90avantque l’angle BAD aille vers zro. L’angle ABD atteint la limite en premier, ce qui interdit Ā l’angle BAD de l’atteindre. BAD n’atteint jamais zro.

Bien entendu, cela signifie que B n’atteint jamais A. Si B atteignait rellement A, nous n’aurions plus un triangle. La tangente et la corde sont gaux uniquement lorsqu’ils sont tous deux gaux Ā zro, et ils sont tous deux gaux Ā zro lorsque l’intervalle entre A et B est zro. Mais l’angle Ā 90 en ABD interdit cette ventua- lit. Quand cet angle est Ā 90, la tangente doit tre plus grande que la corde. Ds lors, la corde ne peut tre zro. Si la corde est zro, alors la tangente et la corde sont gaux : ds lors la corde n’est pas zro. Pour le prsenter sous une forme plus concrte :

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1. Sila corde AB est zro, la tangente AD est galement zro, 2. zro= zro, 3. siAB=AD, l’angle ABD doit tre plus petit que 90, 4. l’angleABD ne peut pas tre plus petit que 90.

CQFD : AB n’est pas gal Ā AD; AB n’est pas gal Ā zro.

M. Mathis

En fait, c’est prcisment la raison pour laquelle nous pouvons faire des calculs dans l’« intervalle ultime » de Newton, ou Ā la imite. Si toutes les variables taient soit Ā zro ou Ā galit, alors nous ne pourrions esprer calculer quoi que ce soit. Newton, trs vite aprs avoir prouv ces lemmes, utilisa une quation versine Ā l’intervalle ultime, et il n’aurait pas pu faire cela si ses variables avaient tendu vers zro ou vers l’galit. De mme, le calcul, quelle que soit la manire dont il a t driv ou utilis, ne pourrait pas fonctionner Ā la limite si toutes les variables ou fonctions taient Ā zro ou gales Ā la limite.

Certains diront que mon affirmation selon laquelle B n’atteint jamais A ressemble au paradoxe de Znon. Suis-je en train d’affirmer qu’Achille n’atteindra jamais la ligne d’arrive? Non, bien sÛr que non. Le diagramme ci-dessus n’est pas qui- valent Ā un simple diagramme de mouvement. B ne se meut pas vers A de la mme manire qu’Achille approchait de la ligne d’arrive, et cela n’a rien Ā voir avec la courbure. Cela a Ā voir avec la variable de temps implique. Si nous tra- Çons le diagramme d’Achille approchant une ligne d’arrive, l’intervalle de temps ne diminue pas quand il approche de la ligne. L’intervalle de temps est constant. Tracez le mouvement d’Achille sur un graphex/tet vous comprendrez ce que je veux dire. Toutes les petites botes sur l’axe destsont de la mme largeur. Ou bien, allez sur la piste d’athltisme avec Achille et chronomtrez-le comme il approche de la ligne d’arrive. Votre chronomtre continue Ā aller vers le futur et Ā toquer Ā la mme vitesse, que vous l’observiez Ā 100 mtres de la ligne ou Ā 1 centimtre.

Mais tant donn le diagramme ci-dessus et le postulat «faisons aller B vers A», il est compris que ce que nous faisons, c’est diminuer l’intervalle de temps et la distance Ā l’arc. Nous analysons un intervalle en diminution, nous ne calculons pas du mouvement dans l’espace. « Faisons aller B vers A » ne signifie pas « analysons le mouvement du point B quand il parcourt la courbe vers le point A »; cela signifie « laissonsla longueur de l’arc diminuer». Quand la longueur de l’arc diminue, la variabletest vue galement comme diminuant. Ds lors, ce que je dis quand j’affirme que B ne peut pas atteindre A, c’est que ceΔtne peut tre gal Ā zro. Vous ne pouvez pas analyser logiquement l’intervalle dans son parcours vers zro puisque vous analysez du mouvement, et le mouvement est dfini par un intervalle non nul.

Le cercle et la courbe sont tous deux des tudes de mouvement. Dans cette analyse particulire, nous tudions des sous-intervalles de mouvement. Ce sous-intervalle,

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qu’il soit appliqu Ā l’espace ou au temps, ne peut aller vers zro. L’espace rel est un espace non nul et le temps rel est un temps non nul. Nous ne pouvons pas tudier le mouvement, la vitesse, la force, l’action ou toute autre variable dfinie parxettexcept en tudiant des intervalles non nuls. L’intervalle ultime est un intervalle non nul, l’infinitsimal n’est pas zro et la limite ne se trouve pas Ā zro. Par calculable, je veux parler d’une variable relle. Par exemple, l’angle ABD n’est pas une vraie variable dans le problme ci-dessus. Il est une donne. Nous ne le calculons pas, puisqu’il est de 90 axiomatiquement. Il sera de 90 dans tous les problmes similaires, avec tout cercle que l’on nous donnera pour y trouver une vitesse Ā la tangente. Le vecteur AD, cependant, variera avec des cercles de diff- rentes tailles, puisque les courbures de cercles diffrents sont diffrentes. De cette faÇon, seul l’angle ABD peut tre vu comme allant entirement vers une limite quivalente Ā zro. Les autres variables ne le font pas. Du fait qu’elles donnent des solutions diffrentes pour des problmes similaires diffrents (de plus petits ou de plus grands cercles), elles ne peuvent pas tre supposes comme tant Ā une limite quivalente Ā zro. Si elles se dirigeaient entirement vers une certaine limite, elles ne varieraient pas. Une fonction Ā une limite devrait tre comme une constante puisque la limite devrait prvenir toute variance subsquente. Ds lors, si une variable ou une fonction continue Ā varier dans diverses circonstances simi- laires, vous pouvez tre sÛr que ce n’est pas Ā sa propre limite ou Ā zro. Elle est seulement dpendante d’une variable qui le fait.

Si AB et AD possdent une relle valeur Ā la limite, alors nous devrions tre Ā mme de calculer ces valeurs. Si nous pouvons le faire, nous aurons mis un nombre sur l’«infinitsimal ».En fait, nous faisons cela tout le temps. á chaque fois que nous trouvons un nombre pour une drive, nous mettons une valeur relle sur l’infinitsimal. Lorsque nous trouvons une vitesse « instantane » en un point quel- conque sur le cercle, nous avons donn une valeur Ā l’infinitsimal. Rappelez-vous que la tangente en tout point du cercle reprsente la vitesse en ce point. Selon le diagramme ci-dessus, et de mme pour tous les diagrammes semblables, la tan- gente reprsente la vitesse. Cette ligne est comprise comme tant un vecteur dont la longueur est la valeur numrique de la vitesse tangentielle. Elle est habituelle- ment trace avec une certaine longueur reconnaissable afin de rendre l’illustration lisible, mais si elle reprsente une vitesse instantane, la longueur relle du vecteur doit tre trs petite.TrÈs petite mais pas nulle, puisque nous avons en fait trouv une solution non nulle pour la drive. La drive exprime la tangente, donc si la drive est non nulle, la tangente doit galement tre non nulle.

Certains ont dclar que, puisque nous sommes Ā mme de trouver des nombres assez grands pour la vitesse tangentielle, ce vecteur ne peut pas tre trs petit. Si nous trouvons que la vitesse en ce point est 5 m/s, par exemple, alors le vecteur vitesse ne devrait-il pas avoir une longueur de 5? Non, car de la manire dont le diagramme est trac et dfini, nous laissons une longueur reprsenter une vitesse. C’est implicite. C’est ignor. Si nous laissons B approcher de A, alors nous per- mettons Ātde diminuer. Une vitesse de 5 signifie seulement que la distance est 5

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fois plus importante que le temps. Si le temps est minuscule, la distance doit l’tre galement.

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Il existe une autre faÇon d’analyser le problme de Newton, et elle peut se rv- ler la plus intressant de toutes (pour certains). Dans lesPrincipia, le langage de Newton dans la description de ce problme (lemme VI) est le suivant : «Si les points A et B s’approchent l’un de l’autre .. .». Deux choses mritent l’attention ici. Premirement, A ne peut approcher de B sans gcher la gomtrie. Si nous commenÇons Ā dplacer le point A, nous dtruisons notre triangle rectangle. Ce qu’il veut dire est ce que j’ai djĀ dit plus haut : laissons B approcher de A. Pour tre tout-Ā-fait rigoureux, nous devrions laisser un point stationnaire et faire se dplacer l’autre. Si nous dplaÇons les deux, nous crons des problmes inutiles. Deuximement, notez le mot « approchent ». Newton postule du mouvement. Afin de confirmer ceci, il nous suffit de lire le titre de sa section : «De la philosophie naturelle ». La philosophie naturelle n’est pas purement mathmatique, elle est de la physique. Newton dcrit une philosophie, ou tude de la nature, que nous ap- pelons aujourd’hui «physique ».La nature n’est pas pure, elle est physique. Ds lors, ce lemme doit faire partie de ce que nous appelons aujourd’hui «mathma- tiques appliques ». S’il en est ainsi, alors le temps doit y tre impliqu. Comme je l’ai affirm plus haut, Newton tudie un intervalle qui diminue afin d’analyser le mouvement courb. Il utilise cette analyse immdiatement aprs pour l’appliquer Ā une orbite, par exemple. Donc, Ā la fois le mouvement et le temps sont impliqus dans l’analyse de Newton. Rien que pour cette raison, son angle BAD ne peut pas s’vanouir. Ce serait ramener le problme Ā un intervalle de temps nul, et il n’existe rien de tel qu’un intervalle de temps nul en physique. Vous ne pouvez pas tudier le mouvement puis postuler un intervalle de temps nul, car le mouvement est d- fini par un intervalle de temps non nul. Si vous avez un intervalle de temps nul, vous n’avez aucun mouvement, par dfinition. Simplement par l’utilisation du mot « approche », Newton a limin un intervalle de temps nul. Son intervalle peut di- minuer tant qu’il veut mais il ne peut pas disparatre. Par dfinition, « approcher » et « disparatre » sont mutuellement exclusifs.

Mais cela devient encore plus intressant. En utilisant le concept de limite seul, ce problme ne peut pas tre rsolu du tout. Je veux dire que si nous laissons notre angle en R galerθ, alors BAD=θ/2et ABD=π/2 +θ/2.

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Si nous laissonsθaller vers zro, alors BAD et ABD approchent de la limite de la mme faÇon. Le concept de limite n’est pas compatible avec mon analyse. Non, il est compatible avec l’analyse de Newton, puisque historiquement ce concept mer- gea de son analyse. Le concept de limite ne peut expliquer pourquoi nous trouvons des solutions non nulles Ā la limite pour la corde et pour la tangente, et il choue parce que son analyse est fautive, comme je viens juste de le montrer. L’analyse de Newton est fautive. L’analyse par la limite traite le problme tout entier comme un problme abstrait, ou de mathmatique pure, alors qu’il s’agit d’un problme phy- sique. Le mouvement et le temps sont tous deux impliqus ici. Ce qui veut dire que nous devons absolument avoir une sparation temporelle entre A et B. Du fait que nous avons du mouvement, nous ne pouvons avoir d’intervalle nul. Si nous n’avons pas d’intervalle de temps nul, alors nous devons avoir une sparation temporelle. Stipul ainsi, nous arrivons Ā .. .oui, Ā la relativit. S’il s’agit d’un problme phy- sique, alors A et B ne peuvent exister au mme moment, oprationnellement. Un vnement en B ne peut tre absolument gal au mme vnement comme tant vu de A. Si nous pensons la mesure d’un angle en tant qu’vnement physique plutÔt que comme une quantit gomtrique abstraite, alors des angles dans un diagramme comme celui-ci doivent tre analyss d’un point de vue physique.

Certains penseront que je complique ce problme Ā plaisir, ou que j’invente des solutions sotriques, mais considrez ce fait : les tudes et proportions gravita- tionnelles de Newton sortent du mme livre, lesPrincipia, et de la mme section. N’est-il pas trange que les corrections relativistes d’Einstein aient t appliques Ā la gravitation mais pas Ā l’orbite? Le diagramme ci-dessus constitue une tude 2 prliminaire de l’orbite et met en videncea=v /r, et pourtant il n’a jamais b- nfici d’une analyse relativiste jusqu’Ā ce jour. Nous pensons que la gravitation cause l’orbite, et pourtant nous faisons une analyse relativiste de la gravitation mais pas de l’orbite. Trs trange.

La manire dont la relativit rsout ce problme une fois pour toutes est qu’elle nous donne une possibilit de sparerθ/2en B etθ/2en A. Selon l’analyse par la limite, les deux angles devraient diminuer de la mme faÇon. Mais du fait qu’ils

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sont spars spatialement, ils ne peuvent agir de la mme faÇon. Selon la relati- vit, nous devons choisir un point et mesurer tout Ā partir de ce point. Nous devons tudier la problme Ā partir de A ou de B, mais nous ne pouvons tudier le pro- blme Ā partir des deux points simultanment. Puisqu’on donne du mouvement au point B, nous devons faire de ce point notre origine de mesure. En d’autres termes, dans ce problme, nousexistonsau point B. L’vnement est en B. Donnons Ā cet vnement la valeurπ/2 +θ/2et allons vers la limite.θva vers zro, donc ABD va vers 90. Bien sÛr, BAD va aussi vers zro, mais il y a un dcalage temporel. Vue ou mesure Ā partir de B, l’information partie de A doit tre dcale, et vice-versa. Ds lors, mesure Ā partir de B, la limite en B doit tre atteinte avant la limite en A. Ou bien, puisque j’ai montr qu’on n’atteint jamais de limite de toute manire, plus spcialement encore quand ces limites sont Ā zro, il serait plus rigoureux de dire queθ/2est plus petit en B, tel que mesur Ā partir de B, queθ/2en A. Ètant donne une sparation temporelle, des angles gaux ne sont pas vraiment gaux.

Bien entendu, beaucoup de personnes n’aimeront pas cette analyse. Certaines la trouveront fascinante et d’autres la considreront comme du charabia. Honnte- ment, je prfre moi aussi l’explication la plus simple : nous ne pouvons pas propo- ser un intervalle de temps nul ; ds lors, les angles ne peuvent disparatre ; ds lors, les lignes ne peuvent tre gales. Nous pouvons aller vers du plus en plus petit tant que nous le dsirons, mais si nous parlons de mouvement nous devons avoir un intervalle de temps rel. Aussi longtemps que nous avons un intervalle de temps rel, nous avons un triangle. Aussi longtemps que nous avons un triangle, nous avons une tangente plus longue que la corde. Nous «approchons »de la limite, nous n’« atteignons » pas la limite. Ceci tant dit, je crois que l’analyse relativiste est galement correcte. Chacune de ces deux analyses obtient la bonne rponse, si nous utilisons des ides physiquement correctes et physiquement relles. Pour tre consistants, si nous appliquons des sparations de temps au champ gravita- tionnel, nous devons galement les appliquer Ā l’orbite. La gravitation ne peut pas physiquement causer l’orbite, la relativit s’appliquant Ā la gravitation mais non Ā l’orbite. Du fait que la section entire de Newton en question ici est physique, nous devons soit appliquer la relativit Ā son entiret ou Ā rien du tout. Einstein a mis Ā jour l’analyse newtonienne de la gravitation, et je viens juste de faire la mme chose pour l’orbite.

C ONCLUSION

✧ ✧ ✧

Mes dcouvertes dans cet article affectent bien des choses, Ā la fois en mathma- tique pure et en mathmatique applique. J’ai prouv, de manire trs directe, que lorsqu’on applique le calcul Ā une courbe, les variables ou fonctions ne vont

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pas vers zro ou vers l’galit Ā la limite. Ceci doit avoir des consquences Ā la fois en relativit gnrale, qui est du calcul tensoriel appliqu Ā de trs petites surfaces d’un espace courbe, et en lectrodynamique quantique, qui applique le calcul de bien des faÇons diffrentes, y compris pour des orbites et des couplages quantiques. L’ÈDQ a rencontr des problmes prcisment quand elle a tent de faire aller des variables vers zro, ce qui exige de la renormalisation. Mon analyse implique que les variables ne vont pas physiquement vers zro, et donc la suppo- sition de rgression infinie n’est rien d’autre qu’une erreur conceptuelle. La limite mathmatique pour des variables calculables – que ce soit en physique quantique ou en physique classique – n’est jamais zro. Seule une variable dans un ensemble va vers zro ou vers une limite quivalente Ā zro (tel que l’angle Ā 90). Les autres variables ne sont pas nulles Ā la limite. Pour l’ÈDQ, cela signifie que lorsque la li- mite de Planck est atteinte, les limites de longueur et de temps sont galement atteintes. Ni les variables de temps ni les variables de longueur ne peuvent aller vers zro quand elles sont utilises dans les quations de mouvement ou d’nergie de l’ÈDQ. En fait, au-delĀ de la logique que j’ai utilise ici, c’est une contradiction d’assumer que des valeurs d’nergie ne rgresseraient PAS de manire infinie et continue vers zro mais que des valeurs de longueur et de temps le feraient.

Il ne s’agit pas d’affirmer que la longueur et le temps doivent tre quantifis; il s’agit seulement de dire que dans des situations oÙ l’nergie est empiriquement trouve quantifie, on devrait s’attendre galement Ā ce que les autres variables atteignent une limite au-dessus de zro. Des quations quantifies doivent pro- duire des variables quantifies. L’espace et le temps peuvent tre continus, mais nosrÉsultats– nos mesures ou calculs – ne peuvent pas l’tre. Ce qui signifie que nous pouvons imaginer que nous rtrcissons et que nous utilisons des rgles mi- nuscules pour marquer des sous-aires quantiques, mais nous ne pouvons pascal- culerdes sous-aires de quanta lorsque l’une de nos variables principales – l’nergie – atteint une limite au-dessus de ces sous-aires et lorsque toutes nos donnes at- teignent cette mme limite. La seule faÇon de pouvoir atteindre ces sous-aires avec les variables que nous possdons, c’est de trouver un quantum plus petit.

Comme je l’ai dit, il y a eu galement de la confusion en ce domaine dans le calcul tensoriel. á la section 8 du papier d’Einstein sur la relativit gnrale, Einstein donne un volume Ā un ensemble de coordonnes qui dterminent un point ou un vnement. Il appelle le volume de ce point le volume «naturel »,bien qu’il ne nous dise pas ce qu’il y a de «naturel »dans un point possdant un volume. La relativit gnrale commence [section 4] par postuler un point et un temps dans l’espace dfinis par les coordonnes dX 1 , dX 2 ,dX 3 , dX 4 . Cet ensemble de coordonnes dterminent un vnement, mais il est toujours vu comme tant un point en un instant. C’est clair puisque, directement aprs, un autre ensemble de fonctions est donn sous la forme dx 1 , dx 2 , dx 3 , dx 4 . Celles-ci, nous dit-on, sont les « diffrentielles dfinitives » entre « deux points-vnements infiniment proches ». Le volume de ces diffrentielles est donn par l’quation 18 sous la forme

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´ dτ=dx 1 dx 2 dx 3 dx 4

M. Mathis

Mais on nous donne galement le volume « naturel » dτ 0 , qui est le « volume dX 1 , dX 2 ,dX 3 , dX 4 ». Ce volume naturel nous donne l’quation 18 a : q dτ 0 =−g dτ

Ensuite, Einstein dclare : √ « Si−g devait s’vanouir en un point du continuum Ā quatre dimen- sions, cela signifierait qu’en ce point un volume “naturel” infiniment petit correspondrait Ā un volume fini dans les coordonnes. Supposons que ce n’est jamais le cas. Alors g ne peut pas changer de signe .. .Il possde toujours une valeur finie ».

Selon ma rfutation ci-dessus, tout ceci doit constituer une mauvaise utilisation du calcul, une mauvaise utilisation qui n’est en rien rendue plus utile en important des tenseurs dans le problme. Un ensemble de fonctions qui dterminent un point- vnement ne peut jamais, dans aucune sorte de calcul, recevoir un volume – naturel, artificiel ou autre. Si dX 1 , dX 2 ,dX 3 , dX 4 reprsente un point-vnement dans l’espace, alors il ne peut avoir aucun volume, et l’quation 18 a , ainsi que tout ce qui l’entoure, est un fantÔme.

En dernire analyse, ceci est tout simplement dÛ Ā la dfinition du concept d’ « v- nement ».Un vnement doit tre dfini par un mouvement quelconque. S’il n’y a pas de mouvement, il n’y a pas d’vnement. Tout mouvement exige un inter- valle. Mme un non-vnement, comme par exemple un quantum parfaitement immobile, implique toujours un mouvement dans le champ quadri-vectoriel, car du temps va passer. Le non-vnement possdera un intervalle de temps. Tous les vnements et non-vnements possibles, en mouvement comme au repos, exigent un intervalle. tre au repos exige un intervalle de temps et le mouvement exige Ā la fois des intervalles de temps et de distance. Ds lors, l’vnement est compl- tement dtermin par des intervalles.Pas des coordonnÉes : des intervalles. Le point et l’instant ne sont pas des vnements. Ce ne sont que des frontires d’v- nement, des frontires qui sont impossibles Ā tracer avec une prcision absolue. L’instant et le point sont le dbut et la fin d’un intervalle, mais ils ne sont qu’abs- tractions et estimations, pas des entits physiques ou des coordonnes spatiales prcises.

Certains vont rpondre que je viens juste faire l’apologie d’Einstein, le sauvant ainsi de ma propre critique. Aprs tout, il donne un intervalle thorique au point. La fonction dX est sous la forme d’une diffrentielle elle-mme, ce qui lui don- nerait une extension possible. Il peut l’appeler un point, mais il l’habille comme une diffrentielle. Vrai, mais il ne lui permet pasd’agircomme une diffrentielle,

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U NE RÈFUTATION DES LEMMES FONDAMENTAUX DE N EWTON

comme je viens de le montrer. Il lui interdit de correspondre Ā (une partie d’) un √ volume fini, car cela ruinerait ses maths. Il ne permet pas Ā−g de s’vanouir, ce qui interdit au volume « naturel » d’envahir l’espace courb.

Les nouvelles versions de ce mme espace riemannien n’ont pas rsolu cette confu- sion, ce qui constitue l’une des raisons principales pour lesquelles la relativit g- nrale rsiste toujours Ā son incorporation dans l’ÈDQ. La physique contemporaine croit encore dans le point-vnement, dans le point comme entit physique (cf. la singularit) et Ā la ralit d’un instant. Toutes ces notions fausses proviennent d’une incomprhension du calcul. La fondation «plus rigoureuse» du calcul de Cauchy, utilisant la limite, la fonction et la drive, aurait dÛ clarifier cette confu- sion, mais elle n’a fait que l’enterrer plus profondment. Le problme a t suppos rsolu du fait qu’il a t compltement plac hors de vue. Mais il n’a pas t r- solu. Le calcul a t systmatiquement mal utilis, de faÇon fondamentale, jusqu’Ā aujourd’hui, mme (et je devrais plutÔt diretout spÉcialement) dans les domaines les plus importants et par les personnalits les plus renommes.

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