Application d un modèle poroplastique à l étude d une mousse
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Application d'un modèle poroplastique à l'étude d'une mousse

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èmeXV Congrès Français de Mécanique Nancy, 3 – 7 Septembre 2001 54 APPLICATION D'UN MODELE POROPLASTIQUE A L'ETUDE D'UNE MOUSSE Michel GRATTON, Abdelhake BOUCHOU, Camille GONTIER Laboratoire de Mécanique – Ecole d’Ingénieurs du Val de Loire (EA 2640 - Université François Rabelais) rue de la chocolaterie - PB 3410 – 41034 BLOIS cedex Résumé : Dans cette étude nous avons modélisé le comportement d'une mousse phénolique utilisée dans les emballages conçus pour le transport de matières radioactives. Le modèle phénoménologique considéré est le modèle " Hypercamb "qui est une adaptation du modèle " Cam- clay ". Ce modèle suppose une évolution homothétique de la surface d’écoulement, gouvernée par une seule variable d’écrouissage isotrope, p , appelée « pression crcritique ». Nous proposons une formulation pour « p » qui permet de décrire des états importants de crdensification. Abstract : In this study we have modelled the behavior of a phenolic foam which will be used in packages manufactured for the transportation of radioactive products. The phenomenological constitutive model used is the "Hypercamb" model. This theory is an adaptation of the "Cam-clay" model. This model supposes a homothetic evolution of the yield surface controlled by only one isotropic hardening scalar variable called "critical pressure" and noted pcr. We propose a new formulation for « pcr ». This law is able to describe considerable densification conditions . Mots clés : ...

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XVèmeCongrès Français de Mécanique 
Nancy, 3 – 7 Septembre 2001 
A DP P L I C A T I O N'U N M P O D E L E A L O R O P L A S T I Q U E' DE T U D E'U N E M O U S S E 
Michel GRATTON, Abdelhake BOUCHOU, Camille GONTIER
54
Laboratoire de Mécanique – Ecole d’Ingénieurs du Val de Loire (EA 2640 - Université François Rabelais)
Résumé :
rue de la chocolaterie - PB 3410 – 41034 BLOIS cedex
Dans cette étude nous avons modélisé le comportement d'une mousse phénolique utilisée dans les emballages conçus pour le transport de matières radioactives. Le modèle phénoménologique considéré est le modèle " Hypercamb "qui est une adaptation du modèle " Cam- clay ". Ce modèle suppose une évolution homothétique de la surface d’écoulement, gouvernée par une seule variable d’écrouissage isotrope, pcr, appelée « pression critique ». Nous proposons une formulation pour « pcr» qui permet de décrire des états importants de densification.
Abstract :
In this study we have modelled the behavior of a phenolic foam which will be used in packages manufactured for the transportation of radioactive products. The phenomenological constitutive model used is the "Hypercamb" model. This theory is an adaptation of the "Cam-clay" model. This model supposes a homothetic evolution of the yield surface controlled by only one isotropic hardening scalar variable called "critical pressure" and noted pcr. We propose a new formulation for « pcr ». This law is able to describe considerable densification conditions .
Mots clés :
poroplasticité, écrouissage isotrope, mousse phénolique
1 Introduction
Un certain nombre de modèles phénoménologiques utilisés pour les mousses sont issus de concepts développés par les scientifiques de la mécanique des sols. A partir de la théorie de Druckeret al », modèles formulations qui (1955), cap ces chercheurs ont construit des « reposent sur les théories de la plasticité. Pour traduire la variation de volume irréversible observée pour des conditions de chargement hydrostatique, le critère limite proposé dans l’espace des contraintes principales est fermé le long de la trisectrice. Mis au point par l’école de Cambridge, le modèle « Cam-clay » est sans nul doute le plus populaire de ce type de modèles. Il n’est donc pas surprenant de le retrouver comme référence dans les modèles développés pour les mousses (Bilkhuet al, 1993 ; Nuscholtzet al., 1996; Zhanget al., 1997). Le modèle de Krieg développé pour les sols et les mousses est également à l’origine de plusieurs études théoriques (Neilsenet al., 1989; Neilsen etal., 1995). D’autres types d’approches phénoménologiques ont été proposées par Lockett et al (1981), Ramon et al (1990) et Sherwood et Frost (1992).
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Le modèle phénoménologique que nous avons utilisé est le modèle « Hypercamb » (Dumas et Favier, 1997). Cette théorie est une adaptation du modèle « Cam-clay ». Dans cette approche, très clairement explicitée dans l’ouvrage de Coussy (1991), le milieu poreux est considéré comme un milieu continu biphasique. Le volume élémentaire est composé d’un squelette et d’un fluide interstitiel. Il est supposé que le fluide circule et sature l’espace interstitiel poreux connecté.
2 Le modèle poroplastique
L’idée principale du modèle Hypercamb a consisté à adapter le formalisme Cam-clay à un milieu poreux à espace interstitiel vide de fluide. Pour ce modèle les hypothèses suivantes ont été faites : - Le modèle est écrit dans le cadre des transformations infinitésimales, on considère donc les tenseurs des déformations totales et plastiques linéarisés, respectivementεetεp. - L’expérience montre que la part élastique de la déformation est petite vis à vis de la déformation plastique. Elle sera donc négligée dans cette étude. - Le milieu est à porosité connectée. On peut supposer que cette hypothèse, initialement fausse, devient rapidement acceptable par suite de l’effondrement du squelette, qui met en communication les cellules isolées. - Le comportement est supposé non visqueux. - Le milieu considéré est homogène et isotrope. Pour un milieu poreux saturé de nature poroplastique, à la suite d’une charge plastique, la déformation volumique observableεp est la somme de 2 contributions : - d’une part la contribution due à la variation irréversible de volume poreux connecté (contribution quantifiée par la porosité plastiqueφp), - d’autre part la contribution due à la dilatation volumique permanente moyenne de la matriceεp  s, ce qui s’écrit : εp= φp+(1−φ0ε)sp (1) φ0 la porosité initiale, égale au rapport du volume non solide sur le volume total. est Pour un matériau dont la matrice est plastiquement incompressible :εps=0 , la déformation plastiqueεpse réduit alors à la variation irréversible de la porosité.
2.1 Les équations du modèle La théorie hypercamb suit le schéma de la plasticité associée. Ce modèle suppose une évolution homothétique de la surface d’écoulement gouvernée par une seule variable d’écrouissage isotrope,pcr, appelée « ». La loi d’évolution de la variable pression critique d’écrouissage scalaire associée à pcr est définie à partir d’un potentiel non associé hσ(,p,pcr.)basé sur le critère de Burland, s’écrit :Le critère considéré, fB=21(π + βpfl+pcr2)+3Rω2pc2r (2) 1 π =31tr −σ =p: pression hydrostatique,ω=12trs22,ω2 est le deuxième invariant du déviateurs,pflest la pression interstitielle du fluide, R etβsont des constantes.
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Dans l’espace des contraintes principales, la surface de charge est un ellipsoïde de révolution autour de la trisectrice. Le modèle Hypercamb utilise le modèle de Cambridge en faisant tendrepflvers 0, la relation 2 se simplifie sous la forme :
123 fH=2(π +pcr)+Rω2pc2r 
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L’hypothèse du travail plastique maximal et la considération du schéma de la plasticité associée permettent d’écrire, dans le cas d’une charge plastique: - l'incrément de déformations plastiques :
dp=dλfH=dλs ++ πpcrIεσ2R3213( ) 
dλ=dpcrHfH=1232s: ds+(π +pcr HR - l'incrément de porosité plastique :
)dπ 
dφp=dλfBlfp=0=dλβ(π +pcr ) pfl
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Concernant la loi d’écrouissage, elle a été établie à partir de constatations expérimentales (Coussy, 1991). Dans la construction originelle du modèle « Camclay », la variable d’écrouissage est identifiée à l’indice des vides plastiqueep. Cet indice est défini comme la différence entre l'indice des vides dans la configuration correspondant à une déformation élastique nulle et l'indice des vides dans la configuration initiale :
eφdφ0 p=1−φd1−φ0
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φ0est la porosité initiale etφdla porosité mesurée après la décharge.est Sous l’hypothèse des transformations infinitésimales la relation 7 se réécrit sous la forme : 1 ep=(1−φ20)φp−φ0εp (8)
Le potentiel non-associé s’en trouve déduit et il s’écrit: 2(2) h=12(1φβ0φ0)π +pcr (9) L’exploitation de l’expression incrémentale de la fonction de charge permet de définir le module d'écrouissageH, il s'exprime par :
∂ ∂ β−φ00) H= −pdedrpcfprHchpcr= −pdedrpc(π +pcr()1−φ02)π (1 Le respect de la fameuse inégalité de « Clausius-Duhem », qui implique la non-négativité de la dissipation, impose la limitation suivante sur:β φ0 ≤ φ≤ β0+2(1−φ02) (11)
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2.2 La loi d’écrouissage La loi d’écrouissage 12 du modèle « Cam-clay » est identifiée expérimentalement au moyen d’une expérience de compression isotrope. Cette loi traduit la dépendance linéaire entre l’indice des vides et le logarithme de la pression critique. Cette dépendance linéaire n’est pas vérifiée pour la mousse phénolique, dû à la présence du plateau en contrainte. La loi d’écrouissage n’est donc pas adaptée pour représenter le comportement de notre matériau. Par ailleurs des travaux récents (Borja et Tamagnini, 1998 , Callari et al., 1998) montrent les limites de la loi 12 obtenues pour des valeurs élevées de la pression critique, que l’on peut rencontrer dans la phase de densification des mousses. pcr=pcr 0ek epe0p (12) Pour les matériaux poreux la phase de densification, qui correspond à la phase terminale de l’essai de compression, résulte de la destruction de la structure cellulaire. La porosité résiduelle tend vers zéro et le matériau a un comportement qui se rapproche du matériau dense Dans ce modèle nous proposons une nouvelle loi d’écrouissage compatible avec cette situation. L’expérience montre qu’une diminution de l’indice des vides plastique s’accompagne d’une augmentation de la pression critiquepcr(Coussy, 1991). A partir de cet acquis expérimental on propose une formulation à variation asymptotique pourpcr; on souhaite faire tendre la pression critique vers l’infini lorsque le matériau se rapproche du matériau dense. Pour traduire cette évolution on écrit la loi d’écrouissage sous la forme :
p=p01α+ep2+k epcr cr  epe0
(13)
pcr0 est la valeur initiale depcr,αet k sont des coefficients à identifier ete0est l’indice des vides initial :
φ0 e0=1−φ0 
(14)
Dans la zone de densification la porosité relâchée tend vers zéro. En vertu de l’équation 7 l’indice des vides plastiqueep par valeurs négatives, vers l’indice des vides initial tend,e0. Compte tenu de la nouvelle loi d’écrouissage 13 une augmentation importante de la pression ne peut pas engendrer de déformation volumique plastique supérieure à l’indice des vides du matériau vierge.
3 Résultats
Sur les figures 1 et 2 les données expérimentales ont été obtenues à partir d’essais de compression simple réalisés sur des échantillons de mousses phénoliques de densités respectivement 80 kg/m3et 480 kg/m3. La vitesse de sollicitation&ε =3.3×10-4s-1correspond à un déplacement de la traverse machine de 1 mm/mn. Comme le montrent ces figures, le modèle proposé fournit une bonne description du comportement en compression. La loi d’écrouissage à trois coefficients permet d’appréhender le plateau en contrainte et l’augmentation de la rigidité dans la phase de densification. Ces essais étant utilisés pour l’identification, la corrélation entre le calcul et l’expérience est naturellement très bonne. Sur la figure 1, le modèle affiche une déformation latérale finale de 6.2 %. Ce résultat est en bon accord avec l’expérience où l’on a mesuré en fin de décharge 5 % de déformation permanente. 
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Déformation latérale
Modèle Expérience
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Déformation longitudinale
80
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0 0 20 40 60 Déformation plastique (%) FIG. 1: Comparaisons modèle-expérience (mousse phénolique 80 kg/m3)  Pour la mousse de densité 480 kg/m3, figure 2, le résultat est très convenable puisque le modèle restitue 13.5 % de déformation latérale contre 10 % pour l’expérience. C’est le paramètreR, présent dans l’expression de la surface d’écoulement, qui permet d’ajuster cette déformation latérale. Cet artifice autorise ainsi l’utilisation d’une règle d’écoulement associée.
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Déformation latérale
Déformation longitudinale
Expérience Modèle
0 10 20 30 40 50 60 Déformation plastique (%) FIG. 2: Comparaisons modèle-expérience (mousse phénolique 480 kg/m3)
4 Conclusion et perspectives
Nous avons choisi un modèle phénoménologique, à variables internes, basé sur le modèle « Cam-clay ». Dans l’espace des contraintes principales la surface de charge correspond à un ellipsoïde de révolution autour de la trisectrice. Dans cette formulation la règle d’écoulement est associée à la surface de charge. Le paramètreR qui intervient dans l’expression du critère de poroplasticité permet de modéliser la faible déformation latérale.
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Nous avons proposé une nouvelle loi d’écrouissage qui décrit l’évolution irréversible de la porosité. Cette variation s’effectue par l’intermédiaire de l’indice des vides plastique. La loi est capable de décrire des états importants de densification correspondant à une porosité résiduelle quasi nulle. Ce modèle donne de bons résultats mais il ne constitue qu’une première version à améliorer. Prochainement il sera complété pour prendre en compte une éventuelle d’anisotropie et les effets du gaz dans le cas de sollicitations dynamiques. Nous proposerons également une version du modèle écrit dans le cadre des transformations finis.
Références
Bilkhu, S.S., Founas, M. et Nusholtz, G.S.1993 Material Modeling of Structural Foams in Finite Element Analysis Using Compressive Uniaxial and Triaxial Data,SAE Technical PaperN° 930434, pp. 547-565. Coussy, O. 1991 Mécanique des Milieux Poreux,Editions Technip. Drucker, D.C., Gibson, R.E. et Henkel, D.J. 1955 Soil Mechanics and Work-Hardening Theories of Plasticity,Proceedings, ASCE,Vol. 81, pp. 1-14. Dumas, J.C. et Favier, J.M. 1997 Un modèle de Comportement Elastoplastique en Milieux Poreux : Le Modèle Hypercamb,Revue Française de Mécanique, pp. 265 270. -Lockett, F.J., Cousins, R.R. et Dawson, D. 1981 Engineering Basis for Selection and Use of Crash Padding Materials,Plastics and Rubber Processing and Applications,Vol. 1, pp. 25-37. Neilsen, M.K., Morgan, H.S., Krieg, R.D. et Yoshimura, H.R.1989 Development of a Phenomenological Constitutive Model for Polyurethane Foams,Proceeding of PATRAM’89, pp.79-86. Neilsen, M.K., Krieg, R.D. et Schreyer, H.L. 1995 A Constitutive Theory for Rigid Polyurethane Foam,Polymer Engineering and Science,Vol. 35, N° 5, pp. 387-394. Nuscholtz, G.S., Bilkhu, S., Founas, M. et Uduma, K. 1996 Impact Response of Foam : the Effect of the State of Stress,SAE Technical PaperN° 962418, pp. 95-121. Ramon, O., Mizrahi, S. et Miltz, J. 1990 Mechanical Properties and Behavior of Open Cell Foams Used as Cushioning Materials,Polymer Engineering and Science,Vol. 30, N° 4, pp. 197-201. Sherwood, J.A. et Frost, C.C. 1992 Constitutive Modeling and Simulation of Energy Absorbing Polyurethane Foam Under Impact Loading,Polymer Engineering and Science, Vol. 32, N° 16, pp. 1138-1146. Zhang, J., Lin, Z., Wong, A., Kikiuchi, N., Li, V.C., Yee, A.F. et Nusholtz, G.S. 1997 Constitutive Modeling and Material Characterization of Polymeric Foams,Journal of Engineering Materials and Technology,Vol. 119, pp. 284-291. Borja, R.I. et Tamagnini, C. 1998 Cam-Clay plasticity Part III : Extension of the infinitesimal model to include finite strains,Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 155, pp 73-95. Callari, C., Auricchio, F. et Sacco, E. 1998 A Finite strain Cam-Clay model in the framework of multiplicative elasto-plasticity,International Journal of Plasticity,Vol. 14, N° 12, pp.1155-1187. 
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