contribution a l’étude theorique et experimentale des ondes gravito capillaires stationnaires de

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èmeXV Congrès Français de Mécanique Nancy, 3 – 7 Septembre 2001 269 CONTRIBUTION A L’ETUDE THEORIQUE ET EXPERIMENTALE DES ONDES GRAVITO CAPILLAIRES STATIONNAIRES DE FAIBLE AMPLITUDE Abdelkader YOUNSI, Malek BOUHADEF Laboratoire d’Hydraulique Département Génie Civil. U.S.T.H.B. B.P. 32 Bab Ezzouar, 16111 Alger (Algérie) Résumé : On montre que la détermination des caractéristiques de la propagation des ondes de surface gravito-capillaires se réduit à la résolution d'une équation différentielle du second ordre pour la pression. Le problème aux valeurs propres associé est résolu numériquement. L'évolution, de la longueur d'onde des rides capillaires est essentiellement gouvernée, à un nombre de Bond donné, par la vitesse à la surface de la couche fluide. Pour les ondes de gravité, le gradient de vitesse à la surface joue également un rôle important. Ces résultats sont corroborés par ceux de l'étude expérimentale entreprise dans un canal hydraulique. Abstract : It is shown that the determination of the gravity capillary surface wave propagation characteristics is reduced to the solution of a second order differential equation for the pressure. The associated eigenvalues problem is solved numerically. The wavelength evolution of the capillary wrinkles is primarily controlled, for a given Bond number, by the free surface velocity of the fluid. For the gravity waves, the surface velocity gradient also plays a significant role. These results are ...

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XV ème Congrès Français de Mécanique 

Nancy, 3 – 7 Septembre 2001 

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C O N T R I B U T I O N A L ’  H E O R I Q U E EE T U D E T X P E R I M E N T A L E D T E E S O N D E S G R A V I T O C A P I L L A I R E S S T A T I O N N A I R E S D E F A I B L E   A M P L I T U D E

Résumé :

Abdelkader YOUNSI, Malek BOUHADEF

Laboratoire d’Hydraulique Département Génie Civil. U.S.T.H.B.

B.P. 32 Bab Ezzouar, 16111 Alger (Algérie)

On montre que la détermination des caractéristiques de la propagation des ondes de surface gravito-capillaires se réduit à la résolution d'une équation différentielle du second ordre pour la pression. Le problème aux valeurs propres associé est résolu numériquement. L'évolution, de la longueur d'onde des rides capillaires est essentiellement gouvernée, à un nombre de Bond donné, par la vitesse à la surface de la couche fluide. Pour les ondes de gravité, le gradient de vitesse à la surface joue également un rôle important. Ces résultats sont corroborés par ceux de l'étude expérimentale entreprise dans un canal hydraulique.

Abstract :

It is shown that the determination of the gravity capillary surface wave propagation characteristics is reduced to the solution of a second order differential equation for the pressure. The associated eigenvalues problem is solved numerically. The wavelength evolution of the capillary wrinkles is primarily controlled, for a given Bond number, by the free surface velocity of the fluid. For the gravity waves, the surface velocity gradient also plays a significant role. These results are corroborated by those of the experimental study undertaken in a hydraulic channel.  

Mots clés : Ondes de surface - ondes de gravité - ondes de capillarité - canal hydraulique

1 Introduction

 Plusieurs travaux théoriques ont été consacrés à l’étude des ondes de surface de gravité et/ou de capillarité, que ce soit en fluide parfait ou en fluide réel. Lorsque le profil des vitesses est cisaillé, il est souvent admis l’hypothèse d’une distribution hydrostatique de pression ou une propagation en eau peu profonde. Parmi les nombreuses études effectuées sur ce sujet, on citera, sans être exhaustif, mais simplement à titre d’exemple, quelques travaux, comme ceux de Burns (1953), Freeman (1970), Chen (1979), Forbes (1983), Vanden-Broeck (1983) et Richard (1999).  Pour notre part, nous nous intéressons à la propagation des ondes gravito-capillaires, en profondeur finie, dans un canal hydraulique où le fluide est considéré réel, c’est-à-dire à gradient vertical de vitesse. Nous porterons une attention plus particulière, dans cette étude, aux ondes stationnaires de gravité et aux rides capillaires.

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2 Equations générales

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On considère l'écoulement à surface libre d'un fluide visqueux incompressible, d’épaisseur r moyenne h 0 et de vitesse V(x, y, t) . Les équations du mouvement s’écrivent : r D Dt V +V r gradV r  ρ = −gr 1 r adP+g r + νΔV r  (1) r où P(x, y, t) désigne la pression, V=(u, v) le vecteur vitesse de l’écoulement,ρ la masse volumique,νla viscosité cinématique etg r l’accélération de la pesanteur. L'équation de continuité se traduit par : r div V=0 (2) Les conditions aux limites associées s’écrivent : u = v = 0 pour y = 0  (adhérence) (3.1) P= σ  ( erficiel ten su R sionple )  pour y=h   v=idnonoitnic taméueiq) c( Dt Dh     où h(x, t) est la profondeur du fluide,σle coefficient de tension superficielle et R le rayon de courbure de la surface libre, au point considéré, et sur laquelle on définit l’origine des pressions. On admet que l’écoulement se décompose en un écoulement de base permanent non perturbé (surface libre horizontale) et une perturbation bidimensionnelle instationnaire, de sorte qu’on pose : u=U 0 (y)+u 1 (x, y, t) v=v 1 (x, y, t) P = P 0 (y) + P 1 (x, y, t) h = h 0 + h 1 (x, t) où u 1 , v 1 , P 1 et h 1 sont des perturbations de l’écoulement de base, supposées petites. Par introduction de grandeurs judicieuses de référence, on définit les paramètres adimensionnels suivants : le nombre de Froude F= U d / gh 0 , le nombre d’ondeε= 2πh 0   /λ  et le nombre de Bond B=σ/ρg h 0 2 . En ne traitant, comme dans Bouhadef et al (1989) par exemple, que les ondes sinusoïdales non amorties, on peut écrire les expressions adimensionnelles de la pression et des composantes de la vitesse comme suit : [p, u, v] = R e {[P(y),U(y),V(y)] exp [2iπ(x-βt)]} (4) oùP,UetVsont des variables complexes et R e désignant leur partie réelle. L’équation différentielle de la pression et les conditions aux limites associées peuvent alors s’écrire, en variables adimensionnelles : P"− 2F P' U'− 2 P=0 .1 ε FU−β (5 ) P'(0) =0 (5.2)

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P'(1) = ε 2 [ 1 −β +B UF 2 (1) ] 2  P(1) (5.3) ε où U(y) est le profil adimensionnel de la vitesse, U’ sa dérivée première. La détermination du nombre d’ondes réduitεà la résolution d’un problème aux valeurs propres. Le champrevient de pression ne peut alors être déterminé qu’avec l’adjonction d’une condition supplémentaire liée à l’amplitude de l’onde et au débit de la perturbation, comme dans Bouhadef (1993). P +1 1) (  ε 2 B  (5.4) =     β −F U(1)    

3 Résolution du problème

Il est bien connu que la présence d’ondes de gravité et/ou capillarité, à la surface libre d’un écoulement dans un canal hydraulique, n’est possible que si le régime est fluvial, c’est-à- dire pour un nombre de Froude F strictement inférieur à l’unité. Deux méthodes de résolution du problème sont envisagées, une analytique dans le cas où F est très petit, une autre numérique pour des nombres de Froude quelconques.

3.1 Approche analytique Dans le but de cerner assez précisément les principaux paramètres influant sur les caractéristiques de la propagation des ondes gravito-capillaires, il a été procédé à une résolution analytique de l’équation 5.1, dans le cas de certains profils classiques de vitesse, en cherchant des solutions sous la forme de séries entières du nombre de Froude supposé petit. Il est évident que si on désire connaître la solution à des nombres de Froude plus grands, il y a lieu de prendre en compte le développement à un ordre assez élevé. On pose alors : P=P 0 + FP 1 + F 2 P  2  …    + β=β 0 + Fβ 1 + F 2 β 2 + … Le développement a été mené jusqu’à l’ordre deux et a donné les résultats suivants : β 0  th = ± ε (1+Bε 2 ) (6)  ε

1 1 y) dy - U(y) sh (1 2 y) dy β 1 s  =  ε hε   0 ∫ U(y) ch ε (1- 2  c ε hε 0 ∫ ε −  (7) Pour des raisons de commodités d’écriture, on ne donnera pas ici l’expression deβ 2 .  Dans le cas de l’écoulement d’un fluide parfait, de vitesse U = 1, on retrouve le résultat bien connu de la célérité des ondes gravito-capillaires, à savoir : β=β 0 + F (8)   Pour un écoulement laminaire de fluide visqueux, sans frottement à la surface libre, de profil U(y) = 3(y – y 2 /2), on trouve, à l’ordre deux : β 0  3 −cto h 9 2 ε + 9 coth+ 1  ε β
=β 0   3 F 4  +    2− ε th ( 1 ε- cothε+ ε ) 1     + F 2 [  1+Bε 2  8 8 8    ε 3 2 2 1  1 2 1 2 ht 119 ocht 3 1 coth  5  β 1 0    3 4   ε ht 1 ocε + 1 9 6 ε+    ε −− 2 ε   +  16 ε ( − ε ) + 2 ε 4   ] (9)  Il y a lieu de noter que le tracé du diagramme de dispersionβ = f(1/ε), avec un développement deβà l’ordre un ne diffère pratiquement pas de celui obtenu à l’ordre deux. Pour déterminer la variation de la longueur d’onde réduite 1/εdes ondes stationnaires avec le nombre de Froude F, il suffit de faire, dans l’équation 9 par exemple,β= 0.

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3.2 Approche numérique L’étude analytique étant confinée dans la gamme des petits nombres de Froude, compte tenu de l'ordre du développement, et pour pallier cet aspect restrictif, l’équation différentielle 5.1 est résolue par une méthode numérique. L'étude de l'évolution des longueurs d'ondes, en fonction du nombre de Froude, est similaire à l'étude entreprise dans la partie analytique. Il s'agit de trouver, pour chaque longueur d'onde réduite 1/ε, pour un profil et un nombre de Bond donnés, le nombre de Froude F correspondant à des ondes stationnaires (céléritéβ= 0). Pour cela, on décompose l’intervalle [0,1] en L segments et on détermineP(y) par résolution de l’équation 5.1, assortie des conditions aux limites 5.2 et 5.4, par la méthode des éléments finis unidimensionnels et pour un nombre de Froude F arbitraire. On calcule alors une autre valeur de F par discrétisation de la condition 5.3, soit :   = F εU( 1   1 1) + h B  ε 2    1− P P ( L 1)   (10)   Le processus itératif est achevé lorsque deux valeurs successives de F diffèrent d’un paramètre d’erreur suffisamment petit. On donne ci-après le schéma de l’algorithme de calcul.  

  

Don s  i 1 née initiales  =   U(y), B,ε, F i ,β=0  

 P(y) avec F = F i  

F +1 r (10)   i pa

                 non  F i+1 -F i   oui < err F=F i+1        Dans un premier temps, nous nous sommes limité aux petits nombres de Froude afin de tester le programme numérique basé sur la méthode des éléments finis. Pour tout nombre de Bond B, les courbes tirées des résultats de l'étude analytique ne se distinguent pas de celles relatives à l'étude numérique.   0.501
/
ε

 

0.40

0.30

0.20

0.10

linéaire

parabolique

constant

B = 0,0006

F

0.00   0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 FIG. 1 : Evolution de la longueur d’onde avec le nombre de Froude

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Nous représentons, à la figure 1, à titre d’exemple, la variation de la longueur d’onde réduite 1/εle nombre de Froude de l’écoulement pour 3 profils de vitesse. Le profil avec  linéaire a pour équation U = 2y. Il est à noter que les longueurs des ondes de gravité croissent avec le nombre de Froude, a contrario de celles de capillarité. Pour un nombre de Froude fixé, les longueurs d’ondes stationnaires de gravité sont d’autant plus importantes que la vitesse à la surface est élevée. Le constat inverse est à remarquer pour les rides capillaires. En considérant le profil de vitesse U=7,5 y 4 -18y 3 +12y 2   ayant la même valeur à la surface libre et le même gradient superficiel que le « parabolique », c’est-à-dire respectivement 3/2 et zéro, nous avons pu mettre en évidence l’influence de ces deux paramètres. C’est ainsi qu’en développant les équations 6 et 7, pour les grandes valeurs du nombre d’onde réduitε, on montre que les longueurs d’ondes des rides capillaires ne dépendent essentiellement que de la valeur de la vitesse U(1) de l’écoulement à la surface libre. Pour les ondes de gravité, il en est de même tant que le nombre de Froude est assez petit ; sinon, les longueurs d’ondes dépendent du gradient superficiel  d dy U (1) et même de la  2 concavité  d dy 2 à c seesevua ein.  1)   U ( firo pduit vdel  Pour tous les profils considérés dans cette étude, il existe un nombre de Froude minimal en deçà duquel il n’existe pas du tout d’ondes stationnaires.

4 Etude expérimentale

Afin de valider les résultats théoriques obtenus, nous les avons confrontés à ceux d’une étude expérimentale. Les ondes capillaires sont créées par la perturbation de la surface libre au moyen d’un limnimètre à pointe. Les ondes de gravité sont, par contre, comme dans Bouhadef (1981) ou Cahouet (1983) par exemple, générées par un obstacle placé au fond d’un canal hydraulique. La hauteur d’eau a été gardée sensiblement constante (18 cm environ) et les longueurs d’ondes déterminées à partir des photographies munies d’une échelle de mesure. ε 0.20 1/ε

 

0.16

0.12

0.08

0.04

-4 B = 2,3 x 10

F

0.00   0.10 0.20 0.30 0.40 FIG. 2 : Ondes expérimentales de gravité et de capillarité 

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Nous représentons à la figure 2 les résultats expérimentaux obtenus aussi bien pour les ondes de gravité d’obstacle que celles de capillarité. La courbe en trait plein est issue du calcul numérique en ayant approché le profil de vitesse, mesuré à l’anémométrie laser, par une fonction polynômiale.

5 Conclusion

L’étude que nous avons entreprise a montré que les ondes gravito-capillaires stationnaires de faible amplitude dépendent de trois paramètres essentiels que sont le nombre de Froude de l’écoulement, le nombre de Bond représentant la capillarité, et la vitesse à la surface de la couche fluide. Si le nombre de Froude est relativement important, il est nécessaire de tenir compte de la forme globale du profil des vitesses. L’étude a également permis de mettre en évidence l’existence d’un nombre de Froude minimal, dépendant du nombre de Bond et de la forme du profil de vitesse, en deçà duquel il n’y a pas apparition d’ondes ni de capillarité ni de gravité.

Références

Bouhadef, M. et al 1981 Structure de l'écoulement à surface libre derrière un obstacle noyé au fond d'un canal.C.R.Acad. Sci. de Paris. 292  Bouhadef, M. et al. 1989 Propagation des ondes de surface de faible amplitude dans un écoulement cisaillé. C.R.Acad. Sci. de Paris,308  Bouhadef, M. 1993 The influence of a sheared velocity profile on the wavelength of standing small amplitude gravity surface waves. C.M.E.M. VI, C.M. Publ.  Burns, J.C. 1953 Long waves in running water. Proc. Phil. Soc.,49  Cahouet, J. et al. 1983 Résolution numérique du problème non linéaire de la résistance de vagues bidimensionnelle. C.R.Acad. Sci. de Paris,297  Chen, B. et al. 1979 Steady gravity capillary waves on deep water.: weakly nonlinear waves.  Stud. Appl. Math,60  Forbes, K. L. 1983 Free-surface flow over a semicircular obstruction, including the influence of gravity and surface tension.J. Fluid. Mech.,127  Freeman, N.C. et al. 1970 Shallow water waves on shear flows.J. Fluid Mech.,42  Richard, D. et al. 1999 Capillary gravity waves: The effect of viscosity on the wave resistance. Europhys. Lett. 481. Vanden-Broeck, J. M. 1983 Finite-amplitude water waves with surface tension.Proc. Waves fluid.  

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