Cours 2006.2007

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¾£¾¤¾¤£¤£fifi¾¾£¾£fi£££££¾£¾£fi£fi£fi£¾£¾INTEGRATION ET PRIMITIVES TERMINALE S Chapitre XI DE FONCTIONS IIII---- IIIINNNNTTTTEEEEGGGGRRRRAAAALLLLEEEE DDDD’’’’UUUUNNNNEEEE FFFFOOOONNNNCCCCTTTTIIIIOOOONNNN CCCCOOOONNNNTTTTIIIINNNNUUUUEEEE EEEETTTT PPPPOOOOSSSSIIIITTTTIIIIVVVVEEEE (((( ccccffff.... aaaaccccttttiiiivvvviiiittttéééé aaaavvvveeeecccc GGGGrrrraaaapppphhhheeee EEEEaaaassssyyyy )))) 1- Unité d’aire ( U.A ) Déf1 : soit (O; i ; j ) un repère orthogonal du plan, f une fonction continue et positive sur [ a ; b ] où a et b sont deux réels tels que : a < b. On note la courbe représentative de f. On appelle ddddoooommmmaaaaiiiinnnneeee aaaassssssssoooocccciiiiéééé àààà ffff ssssuuuurrrr [[[[aaaa ;;;; bbbb]]]] le domaine A ddddéééélllliiiimmmmiiiittttéééé ppppaaaarrrr llllaaaa ccccoooouuuurrrrbbbbeeee ,,,, llll’’’’aaaaxxxxeeee ddddeeeessss aaaabbbbsssscccciiiisssssssseeeessss,,,, eeeetttt lllleeeessss ddddrrrrooooiiiitttteeeessss dddd’’’’ééééqqqquuuuaaaattttiiiioooonnnnssss xxxx ==== aaaa eeeetttt xxxx ==== bbbb.... Ce domaine est l’ensemble des points M(x ; y) du plan tels que : a x b et 0 y f(x). De plus, l’unité d’aire ( en abrégé u.a. ) est l’aire du rectangle construit à partir des trois points O, I et J où i = OI et j = OJ . Rmq : si OI = 4 cm et ...

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• Publié par: Nuhok
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• Langue: Français

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INTEGRATION ET PRIMITIVES TERMINALESChapitre XI DE FONCTIONS I-INTEGRALED’UNEFONCTION CONTINUE ETPOSITIVE ( cf. activité avec GrapheEasy ) 1-Unité d’aire ( U.A ) |¾ ¾| Déf1 :i ; soit (O; j ) un repère orthogonal du plan, f une fonction continue et positive sur [ a; b ] où a et b sont deux réels tels que : a < b. On notela courbe représentative de f. On appelle ] le domaine A , l’axe des abscisses, et les droitesd’équationsdomaine associéà f sur [a;bdélimité par la courbe x= aetx=b. Cedomaineest l’ensembledespointsM(x;y)du plantelsque:a£x£bet 0£y£f(x). ¾¾| ¾¾| ¾¾| ¾¾| De plus,l’unité d’aire( en abrégéu.a.i = ) est l’aire du rectangle construit à partir des trois points O, I et J où j = OI et OJ .

Rmq : si OI = 4 cm et OJ = 3 cm, alors 1 u.a = 12 cm² … 2-Aire et intégrale

Déf2 :sur [a ; b]. On appelleSoit f une fonction continue et positive intégrale deaàbde la fonctionfl’aire du domaine associéàfsur [a; b],exprimée enunitéd’aire. ⌠ b Cenombreestnoté: f(x)dx  . ⌡ a Vocabulaire et notations : b ¨ ⌠ lit «f(x)dx se intégrale deaàbdef ». ⌡ a ¨appelésa et b sont Les réels les bornesdel’intégrale . ¨La lettre x peut être remplacée indifféremment par t, u, … ou n’importe quel symbole à l’exception de a et de b : c’est une variable ditemuette .

Ex. simple ( très … ) : soit f une fonction définie sur, constante égale à m :x, f(x) = m. b Alors, ⌠ f(x)dx = ………………………………………………………………………………………………………..… ⌡ a …………………………………………………………………………………………………………………………….. 2 Autre exemple : soit g définie surpar g(x) = 3x. Déterminons : ⌠ g(t)dt : ⌡ 0 Utilisation de la calculatrice :

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1 1 Autre ex ( de l’activité ) : ⌠ .t²dt = ⌡ 0 3 3-Interprétation cinématique

Brève présentation : soit un mobile se déplaçant sur une droite, ou sur toute ligne « continue » à la vitesse instantanée v(t) ( t étant le t 2 temps ), toujours positive ou nulle ; alors la distance d parcourue entre les instants t 1 et t 2 d = s’exprime par : ⌠ v(t)dt . ⌡ t 1 Cf. cours de Physique certainement plus clair et mieux résumé … 4-Valeur moyenne d’une fonction continue positive

Déf3 : sur [a ; b]. Alors,Soit f une fonction continue et positive Lavaleur moyenne defsur[a; b] est le réel mdéfini par: 1 ⌠ b m=f(x)dx b–a ⌡ a 1 b b Interprétation graphique : puisque m = ⌠ f(x)dx, alors m × ( b – a ) = ⌠ f(x)dx et donc cette valeur m est telle que l’aire du ⌡ ⌡ b – a a a domaine sous la courbe soit égale à l’aire du rectangle de dimension ( b – a ) et m.

5-Aire situé entre deux courbes

Prop1 :soient f et g deux fonctions définies et continues sur [ a ; b ] telles que 0£ f£ g. Alors, l’aire du domaine défini par l’ensembledes pointsM(x; y ) avec a£x£b et f(x)£y£g(x)est donné par la formule: ⌠ b ⌠ b g(x)dx – f(x)dx ⌡ ⌡ a a

6-Permutationdesbornes ab Déf4 :sur [a ; b]. On convient queSoit f une fonction continue et positive ⌠ f(x)dx  =– ⌠ f(x)dx . Autrement dit, permuter ⌡ ⌡ ba lesbornesrevient à«faire apparaître un moins devantl’intégrale … »

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II-INTEGRALED’UNEFONCTION DE SIGNE QUELCONQUE 1-Cas d’une fonction négative Déf5 :soit f une fonction continue et négative  sur l’intervalle [ a ; b ]. On définit l’intégrale entre a et b de f, toujours notée b ⌠ f(x)dx , par : l’opposé de l’aire du domaine de l’ensemble des points M ( x; y ) avec a£x£f(x)b et £y£0. ⌡ a ⌠ b ⌠ b Ainsi,f(x)dx = –f(x)dx . Cette intégrale est doncnégative! ⌡ ⌡ a a 2 Ex : calculons : ⌠ – x dx : ⌡ 0 2-Cas d’une fonction de signe quelconque Déf6: soit fonction contif une changeantdesignesur[a; b ] e  1 rtie du plan délimitée par, les droites nue . On not l’aire de la pa d’équation x = a et x = b et l’axe des abscisses qui est située au dessusdel’axe desabscisses . On note 2 l’aire de la partie du plan qui  estsituée sousl’axedesabscisses . ⌠ b On définit alorsf(x)dx= 1 – 2 .   ⌡ a

2 Ex : calculons ⌠ –x dx  : ⌡ -1 Rmq : on peut alors généraliser la définition de valeur moyenne du§I-4- au cas d’une fonction continue de signe quelconque … 1 ⌠ b m =f(x)dx quel que soit le signe de la fonction f sur l’intervalle [ a ; b ]. b–a ⌡ a

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III-PROPRIETESDEL’INTEGRALE 1-Relation de Chasles Prop2 :Soit f une fonction continue sur un intervalle I. soient a, b et c trois réels de I. Alors, on a : ⌠ b ⌠ c ⌠ b f(x)dx=f(x)dx +f(x)dx ⌡ ⌡ ⌡ aac Preuve : plus tard dans la leçon, en utilisant une autre notion … Dans le cas où f est positive et a < c < b, on a l’illustration suivante : L’aire du domaine total entre a et b s’obtient en additionnant les aires des deux domaines entre a et c et entre c et b. 2-Linéarité de l’intégrale(propriétés opératoires ) Prop3 :soient f et g deux fonctions continues sur [ a ; b ] et k un réel. Alors, on a : ⌠ b ⌠ b ⌠ b f(x)+g(x)dx =f(x)dx +g(x)dx ⌡ ⌡ ⌡ aaa ⌠ b ⌠ b k×f(x)dxk× = f(x)dx ⌡ ⌡ aa Preuve : là aussi plus tard dans la leçon … 1 Ex d’application « simple » : calculons le plus simplement possible : ⌠ x² + x + 1 dx : ⌡ 0 3-Positivité del’intégrale ⌠ b Prop4 : Soitfunefonctioncontinue et positivesur [a; b] avec a < b. Alors, f(x)dx³0. ⌡ a Preuve : prop. liée à la définition … Rmqs :évidemment, si f est négative, alors l’intégrale est négative … là aussi c’est la définition … b attentionàl’ordredes bornes! Si, par piège, on a : a > b, alors, lorsque f est positive, ⌠ f(x) dx£0... ⌡ a 4-Conservationde l’ordre Prop5 :] avec a < b, telles quesoient f et g deux fonctions continues sur [ a ; b f£g . Alors : ⌠ b ⌠ b f(x)dx£g(x)dx ( « on dit qu’on intègre l’inégalité »… ) ⌡ ⌡ aa Preuve :

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5-Inégalité de la moyenne Prop6 :soit f une fonction continue sur [ a ; b ] avec a < b. b Si il existe deux réels m et M tels que m£f£M sur [ a; b ], alors: m(b–a )£ ⌠ f(x)dx£M(b–a ). ⌡ a Cette propriété est appelée l’inégalité de la moyenne. b ⌠ f(x)dx f Si il existe un réel M tel que £M sur [ a; b ], alors:£M( b–a ). ⌡ a Preuve : sur feuille de cours. n+1 – x Ex d’application un peu original : soit ( U n ) une suite définie par : U n = ⌠ . Mq : ( Ue dx n ) Cv, vers 0 : ⌡ n Il ne reste plus qu’à trouver un moyen de calculer simplement des intégrales … Ainsi : IV-PRIMITIVESD’UNEFONCTION 1-Définitionet condition d’existence Déf7 :soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de f sur I toute fonction notée F dérivable sur I telle que F’ = f sur I. On pourrait se demander dans quels cas il existe des primitives… Les démonstrations ne sont pas au programme et l’on retiendra simplement : Théor1 :( ADMIS )soit f une fonction définie et continuesur un intervalle I . Alors, f admet des primitives sur l’intervalle I. Rmq : on vient de trouver une condition suffisante pour assurer l’existence de primitive s … ce qui sous entend donc qu’il n’y aurait pas qu’une seule primitive ? Penchons-nous sur cette question … x Ex : la fonction F définie sur ] 3 ; +¥[ par F(x) = x² – 9 est une primitive de f : x sur ] 3 ; +¥[. ¾¾| ½ x² – 9 En effet, : Rmq : on aurait tout aussi bien pu prendre x² – 9 + 1 … D’où : 2-Toutes les primitives d’une même fonction Prop7 :si f est une fonction définie sur un intervalle I qui admet une primitive F sur I, alors : Toutes les primitivesde fsurIsont toutesles fonctionsde la forme:xF(x) + k où k est une constanteréelle . ¾ | ¾| ½ Pour tout (x 0 ; y 0 ) avec x 0 I et y 0 , il existe uneuniqueprimitiveF 0 de f sur I qui vérifie:F 0 (x 0 ) = y 0 . Preuve : x Ex : A l’aide de l’ex précédent, déterminons LA primitive de f : x sur ] 3 ; +¥[ qui s’annule en 5 : ½ ¾¾| x² – 9 - 5 -

3-Tableau des primitives usuelles et des opérations sur lesprimitives: c’est le «contraire» du tableau des dérivées …

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Et quel lien peut-on établir avec les intégrales ? 4-Lien entre intégraleet primitive

Théor2 :soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I et soit a un réel de cet intervalle. Alors, la fonction F définie sur I ⌠ x par: F(x)=f(t)dtest l’unique primitive de f s’annulant en a. ⌡ a Preuve : cf. feuille de cours dans le cas d’une fonction f continue strictement croissante sur un intervalle [ a ; b ]. ATTENTION:DEMONSTRATION DE COURSACONNAÎTREPOURLEBAC! 1 Rmq : il y a qqs mois, on aurait pu définir la fonction ln comme étant l’unique primitive de qui s’annule en 1 : x x 1 ⌠ ln x = dt … t ⌡ 1 5-Application au calcul intégral

Théor3 :soit f une fonction définie et continue  sur un intervalle I et soient a et b deux réels de cet intervalle. Soit F une primitive quelconque de f sur I. Alors, on a : ⌠ b b f(t)dt= F(b)–F(a), noté:[ F(t) ]. a . ⌡ a Preuve : Rmq : ainsi, pour calculer une intégrale, il suffit de connaître une primitive de la fonction intégrée, n’importe laquelle! 1 1 Exs : retrouvons le résultat établi en tout début de chapitre : ⌠ :t²dt = ⌡ 0 3 1 Ou encore, calculons : ⌠  x x² + 1 dx : ⌡ 0 p ⌠ 2 Ou encore, calculons cos t dt :  ⌡ p - 2 - 7 -

Mais que fait-on dans le cas où on ne connaît pas de primitive ? Alors les choses se compliquent … Une solution est de découper la fonction à intégrer en plusieurs parties : c’est ce que l’on appelle l’intégration par parties : 6-Intégration par parties Théor4 :soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalles I telles que les dérivées u ’ et v ’ soient continues sur I. Soient a et b deux réels de l’intervalle I. Alors, on a : b ⌠ b t) ⌠ b u(t)v’(t)dt= [ u(t)v( ] – u ’(t)v(t)dt. a ⌡ ⌡ aa Preuve : Intérêts :calculer certaines intégrales lorsque on ne connaît pas de primitive …. déterminer de nouvelles primitives … déterminer une relation de récurrence lorsqu’on mélange intégrales et suites ( classique au bac , sisi ) et bien d’autres … p Exs :calculons ⌠  ( x + 1 ) sin3x dx : 2 ⌡ 0 déterminons une primitive de x ln x sur ] 0 ; +¥( très classique … essayer de la retenir ! )[ : ½ ¾¾| e n  nIN, on pose I n = ⌠  x ( ln x) dx. Exprimons I n+1 en fonction de I n : ⌡ 1 - cf. feuille de cours … - V-CALCULS DE GRANDEURS: AIRES, VOLUMES, ETC… 1-Le calcul d’aires Déjà vu dans ce chapitre, on rappelle le résultat : Soient f et g deux fonctions définies et continues sur un intervalle I et soient a et b deux réels de l’intervalle I. On suppose que f£sur [ a  g ; b ]. Alors, l’aire délimitée par les courbes de f et de g et par les droites d’équations x = a et x = b est donnée par la formule : b ⌠ g(t)–f(t)dt ⌡ a 2-Le calcul de volumes Prop8 :on considère dans l’espace un solide S délimité par les plans parallèles a  et b d’équations : z = a et z = b ( a < b ). On suppose que pour n’importe quel côte z, on connaît l’aire de la section du solide S avec le plan  z [ a ; b ], alors le volume V du solide S est donné par :: s(z). Si s est une fonction continue sur b V = ⌠ s(z)dz. ⌡ a Exs : soit S le cône fini de hauteur 10 et de rayon de base 5. Déterminons son volume : H z Z

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x

o

y