Cours-2008-02-19
29 pages
Français

Cours-2008-02-19

Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe
Tout savoir sur nos offres
29 pages
Français
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe
Tout savoir sur nos offres

Description

6Applications du theoreme de Cech-LerayTable des matieresx1. Contenu de ces notesx2. Preliminaires sur les bicomplexes2.1. Categorie des complexes associee a une categorie ab elienne ............................................................. 22.1.1. De nition .............................................................................................................................. 22.1.3. Amplitude d’un complexe ...................................................................................................... 32.1.4. Complexes concentres en un seul degre .................................................................................. 32.1.5. noyaux et conoyaux ............................................................................................. 32.1.6. Categories de sous-complexes bornes ..................................................................................... 42.1.7. Foncteur de translation ......................................................................................................... 42.1.8. Foncteurs de cohomologie 42.1.9. Quasi-isomorphismes ............................................................................................................. 42.1.10. Amplitude cohomologique .................................................................................................... 42.1.11. C^ one d’un morphisme de complexes 42.1.14. Troncatures b^ etes ............................................ ...

Informations

Publié par
Nombre de lectures 47
Langue Français

Extrait

ˇ Applicationsduth´eor`emedeCech-Leray
Tabledesmatie`res
§ de ces notes1. Contenu §2.Primane´iluslrrisempcobiessxele 2.1.Cate´goriedescomplexesassoci´ee`aunecat´egorieabe´lienne.............................................................2 2.1.1. D´finition..............................................................................................................................2 e 2.1.3. Amplitude d’un complexe......................................................................................................3 2.1.4.Complexesconcentr´esenunseuldegre´..................................................................................3 2.1.5. Complexes noyaux et conoyaux.............................................................................................3 2.1.6.Cate´goriesdesous-complexesborne´s.....................................................................................4 2.1.7. Foncteur de translation.........................................................................................................4 2.1.8. Foncteurs de cohomologie......................................................................................................4 2.1.9. Quasi-isomorphismes.............................................................................................................4 2.1.10. Amplitude cohomologique....................................................................................................4 2.1.11.Cˆonedunmorphismedecomplexes.....................................................................................4 2.1.14.Troncaturesbˆetes................................................................................................................5 2.2.Cat´egoriedesbicomplexesassocie´e`aunecat´egorieab´elienne..........................................................6 2.2.1. Foncteurs induits..................................................................................................................7 2.2.2. Foncteurs de translation........................................................................................................7 2.2.3. Foncteur de cohomologie verticale.........................................................................................7 2.2.4. Foncteur de cohomologie horizontal.......................................................................................7 2.2.5.hvhh6=hhhv..................................................................................................................8 2.2.6.Cat´egoriedessuitesexactescourtes.......................................................................................8 2.2.8.Complexesimpleassoci´e`aunbicomplexeborneinfe´rieurement..............................................9 ´ 2.2.10.Crit`eredacyclicit´educomplexesimpleassocie....................................................................9 ´ 2.2.11.Uncrit`eredequasi-isomorphiedecomplexessimplesassoci´es.............................................10 2.2.14. Notation Σ?•◦....................................................................................................................11 §3. Cohomologie des faisceaux 3.1.Pr´eliminaires................................................................................................................................11 3.1.1. Faisceaux flasques...............................................................................................................11 3.1.3.R´esolutionasquedeGodement..........................................................................................12 3.2. Cohomologie des faisceaux............................................................................................................12 3.2.1.De´nition............................................................................................................................12 3.2.2. Augmentation du complexe de Godement............................................................................12 3.2.4. Faisceaux acycliques............................................................................................................12 3.2.8.Propri´et´esg´ene´ralesdelacohomologiedefaisceaux..............................................................13 ˇ 3.3. Cohomologie de Cech des faisceaux...............................................................................................14 ˇ 3.3.1. Complexe de Cech...............................................................................................................14 ˇ 3.3.3. Augmentation du complexe de Cech....................................................................................14 ˇ 3.3.4. Cohomologie de Cech..........................................................................................................14 ˇ 3.3.6. Faisceautisation du complexe de Cech..................................................................................14 ˇ 3.3.8.The´ore`medeCech-Leraypourlacohomologiedesfaisceaux.................................................14 §4. Hypercohomologie des complexes de faisceaux 4.1. Hypercohomologie des complexes de faisceaux...............................................................................16 4.1.2. Morphisme canonique de foncteurs Ξ(X; ) :h(Γ(U; ))IH(U; ).................................16 4.1.3.Propri´ete´sge´ne´ralesdelhypercohomologie..........................................................................16 ˇ 4.2. Cohomologie de Cech de complexes de faisceaux...........................................................................18 ˇ 4.2.1. Morphisme canonique de foncteurs Ξ(U; ) :h(Γ(X; ))H(U; )..................................18 ˇ 4.3. Morphisme canonique de foncteurs Ξ(U;X :; )H(U; )IH(X; ).............................................18 4.3.2. Troncatures et suites exactes longues...................................................................................19 ˇ 4.4.The´or`emedeCech-Leraypourlhypercohomologiedescomplexesdefaisceaux...............................20
§2.1
Alberto Arabia & Zoghman Mebkhout
§2
§5. Applications 5.1.The´ore`mededeRhamsurlesvari´ete´sdie´rentielles......................................................................21 5.2.CalculseectifsdelacohomologiededeRhamdesvari´et´esdie´rentielles......................................22 5.2.1.Exemple:CohomologiededeRhamdelasph`ereS2............................................................23 5.3.CalculseectifsdelacohomologiededeRhamdesvari´et´esalg´ebriques.........................................23 5.3.1.Exemple:CohomologiededeRhamdelasphe`redeRiemann..............................................24 5.4.The´or`emedecomparaisondeGrothendieckpourlesvarie´te´salg´ebriquessurCsilugere`onnisn......25 5.4.1.Structuredespaceanalytiquedunevarie´te´alge´briquecomplexe..........................................25 5.4.2.Acyclicite´desmodulescoh´erents.........................................................................................25 5.4.4.Hypercohomologiedelimagedirectedescomplexescoh´erents..............................................25 5.4.6. Cohomologies de de Rham...................................................................................................26 §encef´er.R´e6seuqihpargoilbibs § terminologique7. Index §1. Contenu de ces notes Onrappellelesterminologies,de´nitionsetr´esultatsdebasedalge`brehomologiqueutilesdansle´tude de la cohomologie des faisceaux, de l’hypercohomologie des complexes de faisceaux, de la cohomologie ˇ deCechdescomplexesdefaisceaux,ainsiquedansl´etudedesliensquilesunissent,enparticulier,nous ˇ de´montronsleth´eor`emedeCech-Leraysuivant: The´or`eme(4.4.1).SoientGC+FaisX(Z)etU={Ua}aAun recouvrement ouvert deX. ˇ a)(Cech-Leray)SiUetG-acyclique, le morphisme canonique ˇ Ξ(U;X;G) :H?(U;G)−→IH?(X;G) est unisomorphisme. b)Soitϕ:G1→ G2morphisme de complexes faisceau tel queun IH?(V;ϕ) :IH?(V;G1)IH?(V;G2) est un isomorphisme pour toutV=Ua0...ak; ou bien, siUetGi-acyclique et que h?Γ(V;ϕ) :h?Γ(V;G1)h?Γ(V;G2) est un isomorphisme pour tout telV. Alors IH?(X;ϕ) :IH?(X;G1)IH?(X;G2) est unisomorphisme. Dans la section§5nous donnons des applications au calcul effectif de la cohomologie de de Rham et authe´ore`mesdecomparaisondescohomologiesdedeRham,toutparticulie`rementauthe´ore`medecom-paraisondeGrothendieckentrecohomologiesdedeRhamalg´ebriqueetholomorphepourlesvariete´s ´ alg´ebriquescomplexesnonsinguli`eres. Ces notes se veulent un«tneme´lpmoc»-ilbiargosetebi´usirt`jdacesberen´ef´auxr´esdntmecudouxa phiques,letextenestpascompletetnepr´etendaucuneexhaustivit´e. §xelempcosriseimanseibuslr´eli2.Pr 2.1Cate´goriedescomplexesassoci´ee`aunet´egorieabe´li ca enne ´eeunecate´gorieab´elienneAb(1), o 2.1.1.D´enition. note nEtant donn´C(Abestlonedrigo´etacal) objets sont les«complexes deAb»,i.e.les familles{dk:CkCk+1|kZ}avecCkOb(Ab) et 1Po´eurtsbatcaretivsedrilesnousionsinutorsnneetarsinoenieoregt´cadeesrmfenli,seludomedscpasadonaudr s´etonnerdesexpressionsdugenre«pour toutxker(α)».
– 2 –
  • Univers Univers
  • Ebooks Ebooks
  • Livres audio Livres audio
  • Presse Presse
  • Podcasts Podcasts
  • BD BD
  • Documents Documents