Cours 2008.2009

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• Publié par: Chuwyir
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• Langue: Français

Extrait

LIMITES DESUITES ET Terminale SCHAPITRE I FONCTIONS. I-LIMITES DE SUITES ère  Dansce paragraphe, nous allons rappeler la notion de limite de suites vue en 1S. Nous généraliserons cette définition au cas de limites de fonctions. Le but n’est pas d’étudier les suites dans leur globalité, ce que nous ferons dans un prochain chapitre. 1- Limites desuites( rappels )( illustration avec Grapheasy) a) Limitefinie Déf1 :soit ( U n  ) une suite numérique et l . On dit que (U n ) a pourlimite l et on note limU n =  n | |+¥ l ou encore que (U n ) converge, vers l et on note (U n ) CV, vers l  lorsque tout intervalle ouvert contenant l contient tous lestermesU n à partird’un certain rang. 1 1 Exs de base : Les suites de terme généralou …convergent, vers 0. n n² Prop1 : - Dire que ( U n ) CV, vers l signifieaussique(U n –l ) CV, vers0.  -LLaalilimititeedd’’uunneessuuititeeeessttuunniiqquuee! 3n² – 1 Ex : calculons la limite de la suite ( V n IN, V) définie par : pour tout n= :  n n² Rmq : il existe des suites qui ne convergent pas … la théorie sur les suites sera traitée plus tard dans l’année … soyez patients … Après ce rappel, nous allons appliquer cette notion de limitecaractérisée par lesintervallesà la notion de limites de fonctions, d’où : II-LIMITESDEFONCTIONS ( CFACTIVITE ) 1- Limite infinie en l’infini ne fonction définie sur un interoù a( resp.] –; a ] ). On dit que Def2 : soit valle [a ; +f u¥[Î¥ fapourlimite +¥quand x tend vers +¥( resp.–¥), et on note:limf(x) =+¥(resp.limf(x) =+¥) , | x|+¥ | x|–¥ lorsque toutintervalledu type]A; +¥[ contient tousles f(x) pourxassezgrand( resp.x assezgranden valeur absolue et négatif). Idem pour limf(x) =–¥oulimf(x) =–¥.  f | x|+¥ | x|–¥ 2p+1 Exs :limx =–¥. Plus généralement,limx=–¥. x | |–¥ | x|–¥ ( puissances impaires ) 2p limx² = +¥. Plus généralement,limx=+¥.  j | x|–¥x | |–¥ ( puissances paires) ¾|  Oi 2- Limite finie en l’infini Déf3 :soitl etsoit f une fonction définie sur un intervalle [a ; +[ où a( resp.] –¥; a ] ). On dit quef a  ¥ Î pour limitelquand x tendvers+¥( resp.–¥), et onnote:limf(x) =l(resp.limf(x)=l), lorsque | x|+¥x | |–¥ tout intervalle ouvert contenant l du type]l–a;l+a[ contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand( resp.x assez grand en valeur absolue et négatif). Vocabulaire : dans ce cas, on dit que la droite d’équation y =lest asymptote horizontaleàlacourbe f en +¥(resp.–¥). 1

Illustration :  f  estdans le «tube »[l– ;l+ ]  f a a pour x devenant de plus en plus grand. f est de plus en plus proche de la  droite d’équation y =l. Rmq : une fonction n’a pas forcément de limite en +¥ou –¥n’a pas de limite! Par exemple, la fonction cosinus en l’infini … 3- Notion d’asymptote oblique ¾||¾ Déf4 :j )repère du plan, on dit queDans (O;i ; la droite d’équation réduitey =ax+bestasymptote respectivementen–¥lorsque ) lim oblique à la courbe f en +¥ ( ( f(x)–(ax + b) ) = 0 x | |+¥ ( respectivement lim ( f(x)–(ax+b) ) =0 ). x | |–¥ Illustration : y  f x y = ax +b La distance entre f et la droite asymptote oblique devient de plus en plus petite lorsque x tend vers l’infini.  4- Limite finie ou infinied’unefonction ena On considère une fonction f définie suret un réel a qui est un élément deou une borne de( par exemple, 0  f  f  f * borne de…). Concrètement, le plus souvent,a va représenter unevaleur interdite pourlafonction.  a) Limite finie Déf5 :on dit quef a pour limite finielquand xtendversa,et onnote:limf(x)=l  lorsque tout x | |a intervalle ouvert contenant l du type ]l–a;l+a[ contient toutes les valeurs de f(x) pour x appartenantàf assez prochedea. 2

b) Limite infinie ( le cas simple ) Déf6 : on dit que f a pour limite +¥( resp.–¥) quand x tend versa, etonnote:limf(x) = +¥ | x|a ( resp.limf(x)=–¥) , lorsquetout intervalle du type ]A; +¥[ (resp. ]–¥; A [ contient tous les x | |a f(x)pourx appartenant àassez proche de a. f Vocabulaire : la droite d’équationest ditex = aasymptote verticaleàla courbe f . Illustration, par exemple : x = a c) Limite àgaucheetlimiteà droite Déf7 :lorsque x devient proche de a en restant inférieur à a, on parle de limiteàgauche et on note : lim x|a  limf(x) ouf(x) – x|a x < a lorsque x devient proche de a en restant supérieur à a, on parle de limite à droite et on note : lim x a|  limf(x) ouf(x) + x|a x > a Exemples à retenir : lim limlim lim 1 11 1 x|0 x|0 x|0 x|0 = +¥+ =¥ =+¥– =¥ x¹0 x x¹0 x² x>0 x x<0 x lim limlim 1 11 x|0 x|0 x|0 * Plus généralement,= +¥ =–¥+ =¥ pourp IN.  2p 2p+12p+1 x¹0 x x<0 x x>0 x III-OPERATIONS SUR LES LIMITES ( CF TABLEAU RECAPITULATIF ) 1- Tableau des opérations sur leslimites Cf.tableau On retiendra les formes indéterminées ( celles que l’on rencontrera dans les exercices puisque ce sont les plus difficiles ! ) :  Somme : « +¥–¥» ou « –¥+¥»  Produit : « 0 ×¥ces cas de F.I, on est obligé de trouver des techniques» dans  Quotient : «¥/¥pour déterminer les limites.» et « 0/0 ». 2- Exemples types( cf. aussi exos ) a) lecas defonctionspolynomiales Méthode : onfactorisearlemonômedelushautde réourleslimitesenl’infini  Onpourra retenir la « recette de cuisine » appelée larègledes monômes de plus hautdegré: La limiteen+ ou–¥d’une fonctionpolynômeestégaleà lalimiteenen + ou–¥de son monôme deplushaut degré.  Rmq:ATTENTION:Cetterecette nes’appliquequ’en+ ou–¥!!!!!!! 3

b) Le cas de fonctions rationnelles Méthode : onfactoriseparlemonômedeplushautdegréaunumérateuretaudénominateurpuison simplifie,làencoreseulementpourleslimitesàl’infini. c) Le cas des fonctions irrationnelles Méthode : onutilisel’expressionconjuguéepourfairedisparaîtrelaracine. Ex : calculonslim ( – xx² – 2x ) : x| +¥ d) Le cas du taux d’accroissement( c’est loin, certes… ) Rappel : soit f une fonction définie sur un intervalle I et aI. Lorsque f est dérivable en a, on :  limlim f(a+h)–f(a)f(x)–f(a) | h|0x | |a ou= f ’(a)encore= f ’(a). h¹0 h x¹a x–a sinx   Exs-types :lim =? x|0  x  cosx – 1    lim= ? x|0  x   Plusquelques cas particuliers…à voir en exos… IV-LIMITESETCOMPARAISONS DE FONCTIONS On retrouve les mêmes résultats que pour les suites… 1- Limites et ordre Théor1 :soient f et g deux fonctions définies sur I un voisinage deaqui peut être un réel ou±¥. Soientletl ’deux réels. Silimf(x) =letlimg(x) =l’et si pour toutxI, f(x)£g(x), alorsl£l’. x | |ax | |a Théor2:soient f et g deux fonctions définies sur un voisinage deaqui peut être un réel ou±¥. Si pour toutxI, f(x)£g(x) etlimf(x) = +¥, alorslimg(x) = +¥. | x|a | x|a Si pour tout xI, f(x)³g(x) etlimf(x) =–¥, alorslimg(x) =–¥. x | |a | x|a 4

2- Théorèmedes gendarmes Théor3: soient f, g et h trois fonctions définies sur I un voisinage deaqui peut être un réel ou ±¥. Soitlun réel. Si pour tout xI, on af(x)£g(x)£h(x), silimf(x) =letlimh(x)=l, alors: | x|ax | |a limg(x)=l. x | |a Preuve : à retenir !elle sera donnée sur feuille séparée. 3x + sin x Ex d’application : soit f définie sur ] 1 ; +¥:lim f(x). Calculons{ par : f(x) = x – 1 x| +¥ V-LIMITESETCOMPOSéES 1- Composéesdefonctions Théor4 :soient u = gf une composée des deux fonctions f et g. Soient a, b et l des réels ou ±¥. ° Silimf(x)= betlimg(X)=l,alorslimu(x) =l. | x|a | X|b | x|a Exs : (ATTENTION A LA REDACTION!!!) 1 Calculons lim4 +: x² x|+¥ 2- Composéed’une suiteetd’unefonction Théor5: soit a et l deux réels ou±¥. Soit f une fonction définie sur un intervalle I, soit (U n ) une suite numérique de réels de I et soit (V n ) définie par V n = f(U n ). Si (U n ) CVversaetsilimf(X) =l,alors (V n ) CV, versl. | x|a np+ 1   Ex : calculons la limite de (V n IN, V) définie par : pour tout n n := cos   2n + 3 

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