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LM256 : Analyse vectorielle, integrales multiplesTien-Cuong DinhDisponible sur http://www.math.jussieu.fr/dinhCours de 21h donne aux etudiants de physique en deuxieme annee2007-20082Table des matieres1 Fonctions d’une variable 51.1 De nitions, representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Limites, continuite, derivees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Developpements limites, di erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Primitives, integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5 Aire d’un domaine du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Fonctions de plusieurs variables 192.1 De nitions, graphe, lignes de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Limites, continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3 Derivees partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4 Fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5 Developpement limite d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.6 Formes di erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 Integrales curvilignes 353.1 Vecteurs, produits de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2 Champ de vecteurs, champ de gradients . . . . . . . . . . . . . . 373.3 Courbes, tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.4 Integrale curviligne le long d’une courbe . . . . . . . . . . . . . . ...

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LM256:Analysevectorielle,int´egralesmultiples

Tien-Cuong Dinh

Disponible sur http://www.math.jussieu.fr/∼dinh Coursde21hdonn´eauxe´tudiantsdephysiqueendeuxie`meann´ee 2007-2008

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Table des matieres `

1 Fonctions d’une variable 1.1De´finitions,repr´esentations...................... 1.2Limites,continuite´,d´eriv´ees..................... 1.3D´eveloppementslimit´es,diffe´rentielles................ 1.4Primitives,int´egrales......................... 1.5 Aire d’un domaine du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Fonctions de plusieurs variables 2.1De´finitions,graphe,lignesdeniveau................. 2.2Limites,continuite´.......................... 2.3D´erive´espartielles........................... 2.4 Fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5Developpementlimit´ed’ordre1................... ´ 2.6Formesdiff´erentielles......................... 3 Integrales curvilignes ´ 3.1 Vecteurs, produits de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Champ de vecteurs, champ de gradients . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Courbes, tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4Inte´gralecurvilignelelongd’unecourbe.............. 3.5 Circulation d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6Propri´ete´del’int´egralecurviligne.................. 3.7 Aire d’un domaine du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Integrales multiples ´ 4.1Inte´graledouble............................ 4.2Th´eor`emedeFubini.......................... 4.3 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.42-formesdiff´erentiellessurR 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Formule de Green-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Volume d’un domaine dansR 3 . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 4.7 Aire d’un domaine dansR 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8Int´egraletriple............................

3

5 5 6 9 11 14 19 19 20 23 26 28 29 35 35 37 40 42 43 44 46 53 53 54 56 57 58 60 61 62

4

5

4.9The´ore`medeFubini............. 4.10 Changement de variables . . . . . . . . . . 4.112-formeset3-formesdiff´erentiellesdansR 3

Formules de Stokes 5.1 Surfaces dansR 3 , tangent, vecteur normal 5.2Inte´graledesurface............. 5.3 Aire d’une surface . . . . . . . . . . . . . . 5.4Flux`atraversunesurface......... 5.5FormuledeStokes-Amp`ere......... 5.6 Formule d’Ostrogradsky . . . . . . . . . . 5.7 Volume d’un domaine dansR 3 . . . . . . .

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` TABLE DES MATIERES

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73 73 74 75 76 77 79 79

Chapitre 1

Fonctions d’une variable

Ce chapitre contient quelques rappels sur les fonctions d’une variable.

1.1D´efinitions,repre´sentations De´finition1.1.1.SoitIune partie deR.Une fonction surIest une application deIdansR. Une fonctionfdnopserraiuqecna`aieocssuttoestdoncuneco nombrere´elx∈Ionbmnueelrer´f(xOn´ecri)t. f:x7→f(x) ou simplementf(x). Exemples 1.1.2.L’application x7→ax´d.eil´naerifonctionefinitune x7→ax+banoi.enffiefuncton´editfin x7→ax 2 +bx+c,a6.2e´rlynˆunpoedegomed0=nfitid,e´ x7→sinxonaftlniinnsioctsu.fie´d De´finition1.1.3.L’ensemble des pointsxontioalu`cnoffsteleefiedl´pepsn’ia ledomainedede´finitiondef. Exemples 1.1.4. f(x) = x 1 urponfieidte´sex6ston.Smado=0tinfienoidenie´deR ∗ =R\{0}. f(x) = √ x 2 −ruo´dfieinpee1tsx≥1 et pourx≤ −1. f(x) = √ 1−x 2 serufiein[d´ste−1,1]. D´efinition1.1.5.On appellegraphede la fonctionf(x) l’ensemble des points decoordonn´ees(x, f(x)p)raarpprot`adeuxaxesOxetOy, lorsquexparcourt ledomaineded´efinitiondef. Remarque 1.1.6.Soitanadtniopiamodelsefid´denedeontiniunf. La droite {x=a}coupe le graphe defen un et un seul point. C’est le point (a, f(a)).

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6 FONCTIONSCHAPITRE 1. D’UNE VARIABLE De´finition1.1.7.Soientfetgdeux fonctions. L’applicationx7→f(g(xd))nfie´ti une fonction qu’on appelledelcamoop´seef(x)etg(x). On notef(g(x)) ou (f◦g)(xoitcnofettec)siotnuapxfinietd´eleesn.Elxnoi´eeditfinmadoedinsnelad degtels queg(xinitnoedened´dfiesledomai)soitdanf. Exemple 1.1.8.Sif(x) = 1 x etg(x) = √ 1−x 2 , on af(g(x)) = √ 1 1 −x 2 . Le domainedede´finitiondef(g(x)) est ]−1,1[. En effet,±1 sont dans le domaine ded´efinitiondegmaisg(± ;1) = 0 et doncg(±1)n’est pasdans le domaine de d´efinitiondef.

1.2Limites,continuite´,de´ri´ vees On suppose que la fonctionfdtseleal]inunrvteniomrussnfie´uaeia, b[ contenant un pointx 0 ,peut-ˆetsaufneerx 0 . De´finition1.2.1.On dit que la fonctionf(x)tend versL(Lfini) lorsquex tend versx 0 si quelquesoitlenombrer´eel >0, il existe un nombreα >0tel que la relation0<|x−x 0 |< αneıˆartne|f(x)−L|< . Ceci signifie que pour unocqnuqlenne´odverutroudoitueonnαen fonction de ttredca´el’nduaeqquelx`ax 0 (avecx6=x 0 a`rnf´erieu)estiαtracede´’lf(x`a) Lur`af´inieerste. D´efinition1.2.2.La constanteLpptaese´eellimite def(x)quandxtend vers x 0 oulimite def(x)enx 0 et on note L= limf(x). x→x 0 Th´eor`eme1.2.3.Soientf(x)etg(x)deux fonctions telles quef(x)tende vers Letg(x)tende versMquandxtend versx 0 . Alors limf(x)±g(x) =L±M,limf(x)g(x) =LM. x→x 0 x→x 0 SiL6= 0, on a lim 1 ) = L 1 , x l →x 0 g f ( ( x x ) = ) M L . x→x 0 f(x im D´emonstration.tioS(empreri`arepe)ti >0. Commef(x) tend versLquand x→x 0 , il existeα 1 >0 tel que si 0<|x−x 0 |< α 1 on ait|f(x)−L|< /2. De ` lameˆmemaniere,onmontrequ’ilexisteα 2 >0 tel que si 0<|x−x 0 |< α 2 on ait|g(x)−M|< /2. Posonsα= min(α 1 , α 2 ). On aα >0 et si 0<|x−x 0 |< α on a 0<|x−x 0 |< α 1 et 0<|x−x 0 |< α 2 , donc |f(x) +g(x)−L−M| ≤ |f(x)−L|+|g(x)−M|)erilaguanriett´liganie´( < /2 +/2 =.

´ ´ ´ 1.2. LIMITES, CONTINUITE, DERIVEES7 Onamontr´equepourtout >0 il existeα >0 de sorte que 0<|x−x 0 |< α tˆıne|f(x) +g(x)−L−M|< . Donc en ra limf(x) +g(x) =L+M. x→x 0

Rappel.:lugneriatriait´eegalIn´|a+b| ≤ |a|+|b|eellrant.E´ngelatiıˆenelis´es |a±b| ≥ |a| − |b|. D´efinition1.2.4.On suppose quefsid´tauseenefinisex 0 . Lorsque la limite de f(x) enx 0 e´estelagala`elavruf(x 0 ) def(x) enx 0 , on dit quefest continue en x 0 . On dira quefestcontinue sur l’intervalle]a, bsi elle est continue en tout[ pointx 0 de ]a, b[. Sif(x) est continue sur ]a, b[ son graphe au-dessus de ]a, b[ est une courbe continue. Exemples 1.2.5.Les fonctionse x , logx, sinx, cosx, tanxel,surles,meˆoynolsp compositions, sommes, produits, quotients, valeurs absolues sont continuslo``au ellessontd´efinies. Proposition 1.2.6.Sifest continue enx 0 ledeganisieortbeslevoaueen´x 0 . Pluspre´cise´ment,ilexisteα >0etA >0tels que |f(x)|< Apourx∈]x 0 −α, x 0 +α[. De´monstration.Commefest continue enx 0 , on a lim x→x 0 =f(x 0 qu´etn,secnoar.P) pour tout >0 il existeα >0 tel que 0<|x−x 0 |< α=⇒ |f(x)−f(x 0 )|< . Ceci est aussi vrai pourx=x 0 car|f(x 0 )−f(x 0 )|= 0< . Donc pour tout >0, il existeα >0 tel que |x−x 0 |< α=⇒ |f(x)−f(x 0 )|< . En particulier, pour= 1, il existeα >0 tel que |x−x 0 |< α=⇒ |f(x)−f(x 0 )|<1. PosonsA=|f(x 0 )|ilisantl+1.Enuturpontiaergnlutbeio,onegal’in´triait´e |x−x 0 |< αque |f(x)|=|f(x 0 ) +f(x)−f(x 0 )| ≤ |f(x 0 )|+|f(x)−f(x 0 )|<|f(x 0 |+ 1 =A. C’estqu’ilfautde´montrer.