Cours-alg

Description

COURS D’ALGEBRE AU MAGISTERE DE CACHANMarc HINDRY, Universite Paris [e-mail]. GROUPES ET ACTIONS DE GROUPES.A.1. Generalites page 3A.2. Quotient d’un groupe par un sous-groupe page 4A.3. Action de groupes page 6A.4. Theoremes de Sylow page 7A.5. Produit semi-direct page 10A.6. Groupes abeliens page 15A.7. Le groupeS page 19nA.8. Le b-a-ba de la classi cation des groupes nis page 23B. ANNEAUX.B.1. Generalites, exemples page 30B.2. Divisibilite et ideaux page 33B.3. Anneaux de polynˆomes page 38B.4. Ensembles algebriques et ideaux de k[X ,...,X ] page 411 nC. CORPS.C.1. Generalites, exemples page 45C.2. Elements algebriques et transcendants page 46C.3. Corps nis page 50D. MODULES.D.1. Generalites, exemples page 52D.2. Modules de type ni sur les anneaux principaux page 53D.3. Facteurs invariants de matrices page 55E. GROUPES CLASSIQUES.1. Formes sesqui-lineaires Geometrie orthogonale, unitaire et symplectique page 602. Les groupes GL(n,K) et SL(n,K) page 643. Groupe orthogonal page 664. Groupe symplectique page 695. Groupe unitaire page 716. Quaternions, arithmetique et groupe orthogonal page 73F. REPRESENTATIONS DES GROUPES FINIS.F.1. Generalites, exemples page 81F.2. Caracteres page 83En un semestre A, B, C et D ont ete traitees et il a ete fait allusion aux parties E et F.1Quelques references choisies.J’utiliserai beaucoup et je recommande comme reference (en particulier ...

Informations

• Publié par: Onsey
• Nombre de lectures: 75
• Langue: Français

Extrait

4. Groupe symplectique

3. Groupe orthogonal

6.Quaternions,arithm´etiqueetgroupeorthogonal ´ F. REPRESENTATIONS DES GROUPES FINIS.

5. Groupe unitaire

E. GROUPES CLASSIQUES.

D.3. Facteurs invariants de matrices

2. Les groupes GL(n K) et SL(n K)

1.Formessesqui-line´airesGe´ome´trieorthogonale,unitaireetsymplectique

F.2.Caracte`res

F.1.G´ene´ralit´es,exemples

1

EnunsemestreA,B,CetDont´ete´traite´esetila´et´efaitallusionauxpartiesEetF.

page 41

page 33

page 38

page 30

page 23

page 19

page 15

page 10

page 7

page

page

4

6

page

3

page 45

page 46

page 50

page 52

page 64

page 60

page 55

page 53

page 69

page 71

page 73

page 66

MarcHINDRY,Universite´Paris7. [e-mail]

` ` COURS D’ALGEBRE AU MAGISTERE DE CACHAN

page 83

page 81

A.3. Action de groupes

A.2. Quotient d’un groupe par un sous-groupe

A.1.Ge´ne´ralite´s

A. GROUPES ET ACTIONS DE GROUPES.

A.6.Groupesabe´liens

A.7. Le groupeS n A.8. Le b-a-ba de la classification des groupes finis

A.4.The´ore`mesdeSylow

A.5. Produit semi-direct

B.3.Anneauxdepolynoˆmes

B.4.Ensemblesalge´briquesetide´auxdek[X 1  . . .  X n C. CORPS.

B. ANNEAUX.

B.1.Ge´n´eralite´s,exemples

C.2.Ele´mentsalge´briquesettranscendants

C.3. Corps finis

]

C.1.G´en´eralite´s,exemples

D.1.Ge´ne´ralite´s,exemples

D.2. Modules de type fini sur les anneaux principaux

D. MODULES.

B.2.Divisibilite´etid´eaux

Quelquesr´efe´renceschoisies.

J’utiliseraibeaucoupetjerecommandecommer´efe´rence(enparticulierpourl’alg`ebrea`l’agr´egation)le

Cours d’al `bre, D. Perrin (collection Ellipses) ge

SauflespartiesDetF,celivretraitetouslesthe`mesabord´esdanscecours. d’alg`ebretraitante´galementl’alge`breline´airejesignale

AlgebrasinoW-setcoiAnddng(colle,S.La.heictr`rt,)yeleesnedse

Parmi les trait´ ´ ´ es generaux

Coursd’alg`ebre´dxurpme`iresenaesrsuntdeaivesud)nnapal,itrauocellect(coHermtionR,meneG.do e nees d’universit´emaislesexercicespermettentd’allerauniveaulicence-maıˆtrise.

Algebratn.oiPneltcci-eertn,M.A(colrtineeuqigogayarttattr),llHada´esp`e

Algebra, Birkhoff & MacLane (collection Chelsea), un classique.

Pourapprofondirlanotiond’actiondegroupes,lesapplications`alage´ome´triecitons

Ele´mentsdeg´eom´etrie.R,Mneimn´e(collectoiCnsaisinf)ioostiteannntiuctrns.f

Pouruneintroductionauxrepr´esentationsdegroupesfinis,ilestdifficiledesurpasser

Repr´esentationslin´eairesdesgroupesfinis, J-P. Serre (collection Hermann).

Pourfinir,jerecommandedejeteruncoupd’oeilauvolumedel’encyclope´dierusse

Basic notions of algebra, I. Shafarevic (collection Springer).

2

A. GROUPES ET ACTIONS ET GROUPES

Unepr´esentationdesgroupes,deleursquotientsavecdesexemples.Lanotioncentralepr´esente´eestcelle d’action de groupe.

A.1.Ge´n´eralite´ssurlesgroupes.

D´efinition.Ungroupeest la don ´ d’un ensembleGet d’une loi interneG×G→Gntfiavri´e nee (i)(e´l´ementneutre)Ilexistee∈Gtel que, pour toutg∈G, on aite∗g=g∗e=g. (ii)(associativit´e)Pourtoutg g 0  g 00 ∈G, on a (g∗g 0 )∗g 00 =g∗(g 0 ∗g 00 ) . (iii)(inversed’un´ele´ment)Pourtoutg∈G, il existeg 0 ∈Gtel que,g 0 ∗g=g∗g 0 =e.

Remarques. L’ensembleGs’appelle l’ensemble sous-jacent; par abus de langage, on parlera du groupeG, sous-entendant ainsi la loi que l’on notera le plus souvent comme un produit; l’inverse degoralrasee´tons g −1 uqsroL.edeperifioiv´elalulsg∗g 0 =g 0 ∗g, on dira que le groupe estcommutatifouleeinb´aet l’on notera alors parfois la loi comme une addition et l’inverse degrcri’se´a−g.

Exemples.Vousconnaissezd´eja`biensˆurdesgroupescommeZ,ZnZ(munis de l’addition), ouS n (le groupe des permutations surne´´lmeL(tsenuG)onR), le groupe des matrices de taillen×nblesersi`aivn coefficientsre´els.Commeexempleinitial,ajoutonsl’ensembledestransformationsline´airespre´servantune figuredansleplan,l’espaceouplusge´ne´ralementR n stra;ceostnoisnmrtasnofderssosiaid’eull.te´mseir Concre`tementl’ensembledestransformationsline´airesduplanpr´eservantunpolygonere´gulier`anˆot´ces estungroupenote´D n (dont on montre ci-dessous qu’il est de cardinal 2n); l’ensemble des transformations lin´eairesduplanpr´eservantuncubeestungroupe(dontonpeutmontrerqu’ilestdecardinal48);

Premierscalculs.Dansungroupe,“onpeuttoujourssimplifier”,c’est-`a-direquexy=xzıˆarentney=z. En effet il suffit de multiplier parx −1 :

− y=ey= (x −1 x)y=x 1 (xy) =x −1 (xz) = (x −1 x)z=ez=z.

L’inverse dex −1 estxet l’inverse dexyesty −1 x −1 , en effet :

De´finition.

On ax m .x

(xy)(y −1 x −1 ) =x(yy −1 )x −1 =xex −1 =xx −1 =e.



e

x . . . x | {z } x n :=   (nfois) − x −1 . . . x 1 | {z }   (|n|fois)

sin= 0

sin >0

sin <0

n =x m+n et (x m ) n =x mn . Siy=gxg −1 alorsy n =gx n g −1 .

Un sous-ensembleHd’un groupeGest unsous-groupesi la loi de groupe surGinduit une loi de groupe surH.’Cse-ta`d-iresiHtl’´tientconrseeerentuemtnlee´eststablepumrapitlacilnoitas,pgesal’`avein (l’associativite´estalorsautomatique).Onvoitfacilementquecetteconditione´quivaut`adirequee∈Het quex y∈Hrtneenıˆaxy −1 ∈HmDe.stleeiemel’ierqusectnterdeaimi´mnortdtmesdnoiuoserg-sepuo ˆ est un sous-groupe.

SiSest un sous-ensemble d’un groupeGetlniefid´on´rdnegneepuorg-souseparScomme le plus petit sous-groupe deGcontenantS de tous les sous-groupes contenant l’intersection, i.e.H un exercice. C’est facile de voir que c’est aussi l’ensemble des produitsx 1  1 ∙ ∙ ∙x  r r avecr≥0,x i ∈Set i =±1.

3

SoitG 1 etG 2 seO.orpunfitidne´lexgeudproduit de groupesqui a comme ensemble sous-jacentG 1 ×G 2 par la loi de composition :

(g 1  g 2 )∗(g 1 0  g 2 0 ) := (g 1 g 1 0  g 2 g 2 0 ).

Une applicationf:G 1 →G 2 entre deux groupes est unhomomorphisme de groupesellesiefiire´v

∀x y∈G 1  f(xy) =f(x)f(y);

c’est unisomorphismesi elle est bijective, unautomorphismesi de plusG 1 =G 2  appelle. Onnoyaule sous-groupe Ker(f) ={x∈G 1 |f(x) =e}etimagele sous-groupef(G 1 ) ={y∈G 2 | ∃x∈G 1  f(x) =y}. Ilestimm´ediatquelecompose´d’homomorphismes(resp.d’isomorphismes,resp.d’automorphismes)est encore un homomorphisme (resp. un isomorphisme, resp. un automorphisme). En particulier l’ensemble des automorphismes d’un groupeGest un groupe que l’on notera Aut(G aussi que la bijection). Remarquons r´ iproque d’un isomorphisme est automatiquement un homomorphisme. ec Exemples. L’applicationx7→x 2 est un homomorphisme de groupes si et seulement si le groupeGestnieelb´a (i.e. commutatif). Soitx∈G, l’applicationφ x :G→Grap´ediefinφ x (y) :=xyx −1 est un automorphisme appele´ompruaotnteismhireuri´edeG; de plus l’applicationx7→φ x deGdans Aut(G) est un homomorphisme degroupes.L’ensembledesimagesparautomorphismeint´erieurd’un´ele´menty∈Gs’appelle laclasse de conjugaisondey.

De´crivonsmaintenantl’exemplecit´eplushautdegrouped’origineg´eome´trique:legroupedi`edralD n . Th´eor`eme.rguoeLlygounpoesd’planirse´mteisosepeda`reiluge´rennˆcs(´eotn≥3), de centreOa pour cardinal2n; il contientnrotations, les rotations d’angle2kπnet de centreOetnrteimye´ssmy,selsietr´es orthogonales fixant les droites passant parOsnmoemotlumelieietu’uudarneteˆe.

Preuve.Onvoitfacilementquelesisome´triesd´ecritesdansl’e´nonce´laissentinvariantlepolygone,ils’agit ded´emontrerquecesontlesseules.Pourcelaonvautiliserlelemmesuivant(dontonlaisselapreuveen exercice) :

Lemme.Soitsomistr´eplieelanssiaitnaravntnaiunpolygoner´egulei`rauennntcereˆctoe´,sedOet sommets A 1  . . .  A n alors - Sisfixe deux sommets adjacents, alorssde’itles;´eitnt - Sisfixe un sommetA i , alorsseitl’stsoit´tdineltsaseiorrapoppae´myeirtteoi`artdrlaOA i . Soit maintenantσuetsixeli,enogylontitaroneutrieduponeisom´erd’angle 2kπntelle quer◦σ(A 1 ) =A 1 (eneffetcesrotationspermutentcirculairementlessommets).Donc,d’apre`slelemme,oubienr◦σ=idet alorsσest une rotation d’angle−2kπnou bienr◦σltseeisamye´rts 1 aprrapport`aOA 1 etσ=r −1 ◦s 1 . Cela suffit pour voir que card(D n ) = 2nectendirer(ierified´vmrteteepeuq)tnemr −1 ◦s 1 est une des sym´etriesd´ecrites.

Remarques. Les rotations forment un sous-groupe deD n isomorphe `ZnZ. Sirest une rotation etsune a ´trie, alorssrs −1 =srs=r −1 v(e´ectneuelerqromtnredetuepnO.)el-zefiirurpolaceerisilutD n est syme trivial sintaoidna’aplrratongleriap’dteemitsenng´edrdror(ee2π) sinestpairterepr´reuta.Onpinteussi D 2 herp`amgne(tliseitosomantinvariantunsealpseirtssialseneduproeg´eomisesmmleocZ2Z×Z2Z).

A.2. Quotient d’un groupe par un sous-groupe.

On intoduit les notations suivantes, siAetBsont des parties d’un groupeG. A b∈B}edeetemmˆA −1 :={a −1 |a∈A}. On ´crirag.Apour{g}.A e

4

On poseA.B:={a.b|a∈