COURS-ANALYSE1

Description

Cours d’analyse 1ère annéeRhodes Rémi10 décembre 20082Table des matières1 Propriétés des nombres réels 51.1 Sous-ensembles remarquables deR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Relations d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Majorant, plus grand élément, borne supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 L’ensemble des réels, axiomatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Valeur absolue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 La fonction partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.7 Les intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.8 Densité deQ et deRnQ dansR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Suites réelles 112.1 Définition, premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Suites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4 Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.5 Limites et inégalités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.6 Suites adjacentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.7 Suites de cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...

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Extrait

Cours

d’analyse

1ère

Rhodes Rémi

10

décembre

2008

année

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Table des matières

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Propriétés des nombres réels 1.1 Sous-ensembles remarquables deR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Relations d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Majorant, plus grand élément, borne supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 L’ensemble des réels, axiomatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Valeur absolue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 La fonction partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Les intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Densité deQet deR\QdansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Suites réelles 2.1 Définition, premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Suites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Limites et inégalités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Suites adjacentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Suites de cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Suites particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Fonctions réelles de la variable réelle 3.1 Premières définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Fonctions remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Opérations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Limite d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Limite et inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Limites et fonctions monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5 5 5 6 8 8 9 9 9

11 11 11 13 13 14 15 16 16

17 17 17 18 19 20 21 21

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TABLE DES MATIÈRES

Continuité des fonctions réelles de la variable réelle 4.1 Premières définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Fonctions continues sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Uniforme continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Dérivabilité 5.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Opérations sur les dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Variations des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Fonctions trigonométriques et hyperboliques 6.1 Fonctions circulaires directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Fonctions circulaires réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Fonctions hyperboliques directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Fonctions hyperboliques réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23 23 24 26

29 29 30 31 33 33

37 37 37 39 40

Chapitre 1

Propriétés des nombres réels

1.1 Sous-ensembles remarquables deR

Dans la suite, on note N={entiers positifs}={0,1,2, . . .} Z={entiers relatifs}=N∪(−N) Q={nombres rationnels}={ p q ;p∈Z, q∈N ∗ } R={nombres réels}

1.2 Relations d’ordre

Définition 1.SoientE, Fdeux ensembles non vides. Une relation binaireRdeEversFest définie par une partieG(appelée graphe de la relation) deE×F. Si(x, y)∈ G, on dit quexest en relation avecyet on notexRy. Définition 2.SoitEun ensemble non vide. Une relation binaireRdeEversEest dite : – réflexive si∀x∈E,xRx, – antisymétrique si pour tousxetydansE: (xRyetyRx)⇒x=y, – transitive si pour tousx, y, zdansE: (xRyetyRz)⇒xRz. Définition 3.Une relation d’ordre sur un ensemble non videEest une relation binaire réflexive, antisymétrique et transitive. LorsqueEest munie d’une relation d’ordreR, on dit que(E,R)est un ensemble ordonné.

Exemples : – SiE=N,Z,QouR, la relation≤est une relation d’ordre. – L’ordre lexicographique est une relation d’ordre sur l’ensemble des mots. – SoitEun ensemble non vide. La relation⊂est une relation d’ordre sur les sous-ensembles deE. Exercices : – Montrer que la relation<n’est pas une relation d’ordre surR.

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CHAPITRE 1. PROPRIÉTÉS DES NOMBRES RÉELS

– SoitE=N ∗ . Pourx, y∈Eon notex|ysixdivisey. Montrer que|est une relation d’ordre surE. Définition 4.Soit(E,R)un ensemble ordonné. Si pour tousxetydansE, on axRyouyRx, on dit que(E,R)est totalement ordonné.

Exemples : –E=N,Z,QouRmuni de≤est une totalement ordonné. – L’ensemble des mots muni de l’ordre lexicographique est une ensemble totalement ordonné. Définition 5.Un préordre sur un ensemble non videEest une relation binaire réflexive et transi- tive. Proposition 1.L’ordre≤surRet la multiplication : pour tousest compatible avec l’addition x 1 , x 2 , y 1 , y 2

(x 1 ≤x 2 ety 1 ≤y 2 )⇒x 1 +y 1 ≤x 2 +y 2 (x 1 ≤x 2 et0≤y 1 )⇒x 1 ∗y 1 ≤x 2 ∗y 1 .

1.3 Majorant, plus grand élément, borne supérieure

Définition 6.Soit(E,≤)un ensemble ordonné etAun sous-ensemble deE. Un élémentx∈E est appelé majorant deAsi pour touta∈A, on aa≤x. De même, un élémentx∈Eest appelé minorant deAsi pour touta∈A, on ax≤a. Dans le cas où l’ensembleAadmet un majorant (resp. minorant), on dit queAest majoré (resp. minoré). SiAest majoré et minoré, on dit qu’il est borné.

Exemple : le sous-ensemble]− ∞,1]deRest majoré et non minoré. Définition 7.Soit(E,≤)un ensemble ordonné etAun sous-ensemble deE. Un élémentx∈E est appelé plus grand élément deAsix∈Aetxest un majorant deA. De même, un élément x∈Eest appelé plus petit élément deAsix∈Aetxest un minorant deA.

Exercices : – Montrer que]1,2]est borné, admet un pge mais pas de ppe. – Montrer que{1/n;n∈N ∗ }est borné, admet une pge mais pas de ppe. – SoitAun sous-ensemble deR. Montrer queAmajorée est équivalent à{−a;a∈A}est minoré. Proposition 2.SoitAun sous-ensemble d’un ensemble(E,≤)ordonné. SiAadmet un plus grand élément (resp. plus petit élément), alors celui-ci est unique.

Preuve.Soientx, ydeux plus grands éléments. Commey∈Aetxpge on ay≤x. De même, x∈Aetypge donnex≤y. Par antisymétrie de la relation≤, on ax≤yety≤ximplique x=y. Théorème 1.On munitNde la relation d’ordre usuelle. Alors : 1) Tout sous-ensemble non vide deNadmet un plus petit élément. 2) Tout sous-ensemble non vide et majorée deNadmet un plus grand élément.

1.3. MAJORANT, PLUS GRAND ÉLÉMENT, BORNE SUPÉRIEURE7

Définition 8.SoitAun sous-ensemble majoré d’un ensemble(E,≤)ordonné. Un élémentx∈ Eest appelé borne supérieure deAsixest le plus petit des majorants deA. Ainsi, la borne supérieure notéesup(A), si elle existe, est unique. De même, soitAun sous-ensemble minoré d’un ensemble(E,≤)ordonné. Un élémentx∈Eest appelé borne inférieure deAsixest le plus grand des minorants deA. La borne inférieure notéeinf(A), si elle existe, est unique. Exercice : on considère l’ensemble ordonné(Q,≤). Montrer que l’ensembleA={x∈Q;x 2 < 2}mais n’admet pas de borne supérieure.est borné Proposition 3.Soient(E,≤)un ensemble ordonné,Aun sous-ensemble deEetx∈E. Alors : xpge deA⇒x= sup(A)⇒xest majorant deA, xppe deA⇒x= inf(A)⇒xest minorant deA. Preuve.Sixpge deAalorsx∈Aetxmajorant deA. Soityun autre majorant deA.ymajorant etx∈Aimplquex≤y. Doncxest le plus petit des majorants deA, d’oùx= sup(A). De plus x= sup(A)impliquexmajorant deA. Théorème 2.SoitAun sous-ensemble non vide deRmuni de la relation d’ordre usuelle. 1) SiAest majoré alorsAadmet une borne supérieure. 2) SiAest minoré alors la borne inférieure deAexiste. Preuve.Admise pour le moment. Proposition 4.SoitAun sous-ensemble non vide et majoré deRmuni de la relation d’ordre usuelle. On ax= sup(A)ssi : 1) pour touta∈A,a≤x, 2) pour tout >0, il existea  ∈Atel quex− < a  ≤x. De même, soitAun sous-ensemble non vide et minoré deRmuni de la relation d’ordre usuelle. On ax= inf(A)ssi : 1) pour touta∈A,x≤a, 2) pour tout >0, il existea  ∈Atel quex≤a  < x+. Preuve.Supposonsx= sup(A).xest un majorant deAd’où 1). Pour 2), on considère >0. Commexest le plus petit des majorants deA,x−n’est pas un majorant car plus petit quex. Donc il existea  ∈Atel quex− < a  ≤x. Réciproquement, supposons que 1) et 2) soient vérifiés et montrons quex= sup(A). 1) prouve quexest un majorant deA. Il reste à montrer que c’est le plus petit. Soity < xet posons =x−y >0. Vu 2), il existea  ∈Atel quex− < a  ≤x, iey < a  ≤x. En particulier,yne peut être un majorant. Proposition 5.On considèreRmuni de la relation d’ordre usuelle. 1) SoitAun sous-ensemble deR. On pose−A={−a;a∈A}. Alors : sup(−A) =−inf(A)etinf(−A) =−sup(A). 2) SoitAun sous-ensemble deRetfune application deAdansR. On appelle borne supé- rieure defdansAle nombre (s’il existe)supf(A)(encore notésup a∈A f(a)) où f(A) ={f(a);a∈A}.

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CHAPITRE 1. PROPRIÉTÉS DES NOMBRES RÉELS

De même, la borne inférieure defdansAest donnée parinff(A)(encore notéeinf a∈A f(a). On dira quefest majorée (resp. minorée, resp. bornée) sif(A)est majoré (resp. minoré, resp. borné). Preuve.en exercice.

1.4 L’ensemble des réels, axiomatique

Théorème 3."corps" des nombres réels est un ensembleLe Rpour lequel sont définies : – deux applications(x, y)7→x+yet(x, y)7→xydeR×RdansRqui prolongent les opérations d’addition et de multiplication définies dansN,ZetQ, – une relation d’ordre totale≤, qui satisfont aux axiomes suivants : 1.x+ (y+z) = (x+y) +z, 2.x+y=y+x, 3. il existe un élément0∈Rtel que0 +x=xpour toutx∈R, 4. pour toutx∈R, il existe un élément−x∈Rtel quex+ (−x) = 0, 5.x(yz) = (xy)z, 6.xy=yx, 7. il existe un élément16= 0tel que1x=xpour toutx∈R, 8. pour chaque élémentx6= 0deR, il existe un élémentx −1 ∈Rtel quexx −1 = 1, 9.x(y+z) =xy+xz. De plus, la relation d’ordre vérifie les propriétés suivantes : 1.x≤yimpliquex+z≤y+z, 2. (0≤xet0≤y) implique0≤xy. Proposition 6. Propriété d’Archimède.Pour tout couple de réels(x, y)tel quex >0, il existe n∈Ntel quey≤nx.

1.5 Valeur absolue.

Définition 9.Six∈R, on appelle valeur absolue dex, notée|x|, le réel défini par |x|=  x −xsi si x 0 ≤ ≤x 0 , . . Proposition 7. Propriétés de la valeur absolue. 1.∀x∈R,|x| ≥0, 2.∀x∈R,|x|= 0⇔x= 0, 3.∀(x, y, r)∈R 3 ,|x−y| ≤r⇔y−r≤x≤y+r, 4. (1ère inégalité triangulaire)∀(x, y)∈R 2 ,|x+y| ≤ |x|+|y|, 5. (2ème inégalité triangulaire)∀(x, y)∈R 2 ,||x| − |y|| ≤ |x+y|, 6.∀(x, y)∈R 2 ,|xy|=|x||y|.

1.6. LA FONCTION PARTIE ENTIÈRE 1.6 La fonction partie entière Définition 10.Soitxun nombre réel. Il existe un unique entier relatif, notéE(x), tel que : E(x)≤x < E(x) + 1. On appelleE(x)la partie entière dex.

1.7 Les intervalles

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On définit les intervalles possibles d’extrémitésa,b,+∞ou−∞(oùaetbsont deux réels), chaque crochet pouvant être ouvert ou fermé en une extrémité non infinie, et ouvert en une extré- mité infinie(il y a 9 types possibles d’intervalles au total, dont 5 sont bornés). L’ensemble vide est également un intervalle. Par exemple, sia < bsont 2 réels ]a, b] ={x∈R;a < x≤b},]− ∞, a] ={x∈R;x≤a}. Proposition 8.Une partie deR, notéeI, est un intervalle si et seulement si : ∀(x, y)∈I 2 , x≤y⇒[x, y]⊂I. Preuve.Supposons queIsoit un intervalle (il y a donc 9 cas possibles). Par exemple, supposons I=]a, b]. Soient(x, y)∈I 2 tels quex≤y. Montrons que[x, y]⊂I. Soitz∈[x, y], cad x≤z≤y. Commea < x≤beta < y≤b, on aa < x≤z≤y≤bdoncz∈]a, b]. Réciproquement, supposons qu’une partieIdeRsatisfait∀(x, y)∈I 2 , x≤y⇒[x, y]⊂I. Montrons queIest un intervalle. SiIest l’ensemble vide, la preuve est terminée. SinonIest non vide. Il y a alors plusieurs cas possibles :Iest majoré ou non,Iest minoré ou non. Supposons par exemple queIsoit majoré et non minoré. Notonsa= sup(I). A nouveau 2 cas sont possibles, ou bienaest un plus grand élément deIou bien il ne l’est pas. Traitons par exemple le cas où il l’est, et montrons queI=]− ∞, a](dans l’autre cas, il faut montrerI=]− ∞, a[). Soitx∈I. Commeaest un majorant deI, on ax≤adoncx∈]− ∞, a]. Inversement, soitx∈]− ∞, a]. On ax≤a. CommeIest non minoré,xn’est pas un minorant deI, il existe doncy∈Itel que y < x. Ory, a∈Iety≤adonc[y, a]⊂I. En particulierx∈[y, a]⊂I. Par ailleurs, les intervalles ouverts possèdent la propriété suivante importante : Proposition 9.SoitIun intervalle ouvert. Alors : ∀a∈I,∃ >0,]a−, a+[⊂I. Preuve.en exercice.

1.8 Densité deQet deR\QdansR

Proposition 10.SoitI=]a, b[(a < b) un intervalle non vide deR. AlorsI∩Qest non vide (Q est dense dansR) ainsi queI∩(R\Q)(densité deR\QdansR). e un entiern∈N ∗ tel ue 1 ≤ b 2 −a . S P o r i e t u k ve l . equelrtr p g a s l u sr l p pe or e ’ i D tn è e r d p n a a d’Ariété k ch / i n mè ≤ de aar.P ,i t x i t o s ié i d ’e nfi ltiuq d no n a e s k, on aa < n k+1 .Dsepl q u 1 n n ≤ 2 et b−a k/n≤aimplique k n +1 ≤a+ (b−a)/2 = (a+b)/2< b. Ceci prouve la première relation. Pour la deuxième, on poseJ=]a/ √ 2, b/ √ 2[. D’après la densité deQdansJ, il existeq∈J∩Q (qnon nul). Alors √ 2q∈I. D’autre part, √ 2q∈R\Q.

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CHAPITRE

1.

PROPRIÉTÉS

DES

NOMBRES

RÉELS

devireegtndepeermièreespèce. Sinono,nqtidu(euse) n netuitsuivedgeer ) n et−iu(sr∞+dnev u n )t . Si(ers+endv−srevuo∞qtidno,∞es n )(uueitsunetu ,∀n∈N,n≥A>0,∃N∈N dntiuqu’ ⇒N n uA≥ O . erivntgesuneeditrevds∞−s n u(enet) niti . Défi enteverg nuseqt’unOidno.3(uteenrgvediteui ∀ :is∞+srevdnet) n

Chapitre 2

Suites réelles

Définition 1.Une suite réelle u est une application d’une partieIdeNdansR. Remarque : – On peut généralement se ramener au cas oùI=N, ce que l’on supposera souvent. – Notations :u= (u n ) n∈I parfois notée tout simplement(u n ) n . Proposition 1. Opérations sur les suites.Soientuetvdeux suites réelles etaun réel. On définit les suites : –w=uvpar son terme généralw n =u n v n . –x=u+vpar son terme généralx n =u n +v n . –y=aupar son terme généraly n =au n . u – De plus, si∀n∈N, v n 6= 0, on définitz= v par par son terme généralz n = u v n n .

2.1 Définition, premières propriétés

2.2 Suites convergentes

11 .ecèspeeèmxieuedednt qtidnO.2noitinfiées n )(uteuiesunu’D sl,onnotvergever(i n uc)no grneet S .tedivedill,esteegrevetneaptsnocs stdiiteenesuqu’uideropruitnofiéinadelircr:écecierxE .l= n u ∞+→n mil:e sr)lis ∀ : >,0N∃N∈ geversl,outend ve érel(lleocuorevnontcrgveteenrsve etS.saiun)e’(i n uélalppeledelimitmoneL .≤ atselerb n≥N,n∈,∀l| n −|uN⇒