Cours Bissectrices et Equidistance

Yala Jules

Description

Cours de M. JULES v 2.0 Classe de Quatrième Contrat 8 Page 1 sur 12 BISSECTRICES ET EQUIDISTANCE « L'étude des Mathématiques est comme le Nil, qui 1commence en modestie et finit en magnificence. » Colton « En mathématiques, “évident” est le mot le plus dangereux. » 2Eric Temple Bell I. Bissectrice d’un angle (sixième). ______________________________________________________2 II. Bissectrices d’un triangle. ____________________________3 III. Trois propriétés de la bissectrice. 4 IV. Reconnaître une bissectrice. __________________________________________________________7 V. Exercices récapitulatifs. 10 VI. Pour préparer le test et le contrôle. ____________________11  Matériel usuel de géométrie : Compas, rapporteur, équerre et règle.  Pré requis pour prendre un bon départ : A refaire A revoir Maîtrisé Symétrie axiale : axe de symétrie, propriétés de conservation. Calculs d’angles. Bissectrices : définition. Bissectrices : construction au rapporteur ou au compas. Bissectrices : propriété angulaire caractéristique. Distance d’un point à une droite. Equidistance. Tangente à un cercle. 1 Charles Caleb Colton (1780 – 1832) : Ecrivain anglais. 2 Eric Temple Bell (1883 1960) : Mathématicien écossais. èmeNOM et Prénom : ………………………………….. 4 … Cours de M. JULES v 2.0 Classe de Quatrième Contrat 8 Page 2 sur 12 I. BISSECTRICE D’UN ANGLE (SIXIEME). A A. ...

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Extrait

Cours de M. JULES v 2.0 Classe de Quatrième Contrat 8 Page 1 sur 12 BISSECTRICES ET EQUIDISTANCE « L'étude des Mathématiques est comme le Nil, qui 1 commence en modestie et finit en magnificence. » Colton

I.

II.

«En mathématiques, “évident” est le mot le plus dangereux.» 2 Eric Temple Bell

Bissectrice d’un angle (sixième). ______________________________________________________2

Bissectrices d’un triangle.____________________________________________________________3

III. Trois propriétés de la bissectrice. ______________________________________________________4

IV. Reconnaître une bissectrice. __________________________________________________________7

V.

Exercices récapitulatifs. ____________________________________________________________10

VI. Pour préparer le test et le contrôle. ____________________________________________________11 Matériel usuel de géométrie : Compas, rapporteur, équerre et règle. Pré requis pour prendre un bon départ : A refaire A revoir Maîtrisé Symétrie axiale : axe de symétrie, propriétés de conservation. Calculs d’angles. Bissectrices : définition. Bissectrices : construction au rapporteur ou au compas. Bissectrices : propriété angulaire caractéristique. Distance d’un point à une droite. Equidistance. Tangente à un cercle.

1 Charles Caleb Colton (1780–1832) : Ecrivain anglais. 2 Eric Temple Bell (1883 1960) : Mathématicien écossais. NOM et Prénom: …………………………………..

ème  4…

Cours de M. JULES v 2.0 Classe de Quatrième I.BISSECTRICE D’UN ANGLE (SIXIEME).

A. Définition de la bissectrice :

La bissectrice est l’axe de symétrie d’un secteur angulaire.

B

Contrat 8 Page 2 sur 12

A

M

C

Figure et codage Repasseren rouge le codage. Par abus de langage, on dit que :« la bissectrice d'un angle est l’ ……….… de symétrie de cet angle.» B.Construction au compas de la bissectrice d’un angle:  xAy . On veut tracer au compas la bissectrice de cet angle.Soit un angle

Construction de la bissectrice en …. étapes.

Tracer un arc de cercle de centre A. Cet arc coupe le côté [Ax) en M et le côté [Ay) en N. Tracer 2 arcs de cercle, de même rayon qu’en, l'un decentre M, l'autre decentre N. Ces deux arcs se recoupent en un point I.

 La droite (AI) est la bissectrice de Tracer (AI). xAy . Les 2 demidroites [Ax) et [Ay) sont …………….……………... par rapport à la bissectrice ……….

Construction au Compas. Traits de construction légers ! Codage !

A

y

x

Remarque : Cette construction au compas de la bissectrice utilise la propriété des diagonales du losange : « Les deux diagonales du losange sont ses deux axes de symétrie ». Exercice : 1.Au compas,construireen vert l’axe de symétrie de l’angle  ABC. 2.Comment s’appelle cette droite verte? C 3.Tracer [AC]. La droite verte coupe [AC] en M. B La bissectrice coupetelle le côté [AC] en son milieu ? Codage !

Cours de M. JULES v 2.0 Classe de Quatrième II.BISSECTRICES D’UN TRIANGLE.

Contrat 8 Page 3 sur 12

A. Bissectrices et triangle quelconque : Puisqu’un triangle possède 3 angles, alors il y a …… bissectrices dansun triangle. On dit aussi« bissectrice relative à un sommet »: elle passe par ce sommet du triangle. Figure : 1.Traceren rouge les 3 bissectricesdu triangle ci contre (codages !). Que remarquezvous? ………………………………… Appelez I le point de concours(d’intersection) de ces trois bissectrices. 2.ProjeterperpendiculairementI sur l’un des côtés. Appeler M ce projeté orthogonal. Coda es ! Tracer le cercle de centre I et de rayon IM. Ce cercle, intérieur au triangle, sembletil tangent aux 3 côtés du triangle? ………..

B. Bissectrices et triangle isocèle :

Puisqu’un triangle isocèle possède (au moins) un axe de symétrie, alors la bissectrice relative au sommet principal est en même temps médiatrice, médiane et hauteur.

Figure : Voici un triangle isocèle ABC. Tracezen rouge la seule bissectrice qui est en même temps hauteur etc. N’oubliez pas le codage.

C. Bissectrices et triangle équilatéral :

B

C

A

Puisque un triangle équilatéral possède ….. axes de symétrie (il est isocèle partout!), alors les 3 bissectrices sont en même temps ……………………...…., …………………………….., et …………………………….

Figure : Voici un triangle équilatéral ABC dont on a tracé les trois bissectrices 1.(AB).Montrer que (FC) 2.Montrer que le point E est le milieu du segment [BC].

Cours de M. JULES v 2.0 Classe de Quatrième III. TROIS PROPRIETES DE LA BISSECTRICE.

Contrat 8 Page 4 sur 12

A. Propriété angulaire caractéristique de la bissectrice : Puisque la symétrie axiale conserve les mesures d’angles, alors on peut affirmer :

Propriété angulaire caractéristique de la bissectrice :

Quand

(……. condition ou hypothèse)

 (PM) est la bissectrice de l’angleAMB

alors

(3 résultats ou conclusions)

   ……… ………. =……… = 2

Autrement dit :Lorsque une droite est la …………………………………….…………… d’un angle, alors elle partage cet angle en 2 angles de même ……………………... Remarque : Cette propriété est à rapprocher de la signification du mot « bissectrice » qui veut dire « bissecteur » càd « qui coupe un angle en deux secteurs (de même mesure) ». Utilité : Cette propriété sert à prouver une égalité de ………………………………….. Figure : B  Bissectrice de AMB

 Application : Sur la figure cicontre, on sait que 56°.BUS =  D’après le …………..…, la droite (TU) est la ….……….………….……. de ……….   et TUS :Calcul des mesures des angles BUT Puisque (TU) est …………………………..…………… de …………. ……….… alors …..…...… = …………… == ……..° .…

   Exercice : Sur la figure codée cicontre, on sait que BAC = 50° et ACB = 80°.  Trouver la mesure de AIC .

B

I

C

B

(……. condition ou hypothèse)(…. résultat ou conclusion)  A est équidistant des 2 côtés de KOL.  Quand un point A est sur la bissectrice de l’angleKOL alors càd AM = AN. Autrement dit: Lorsqu’un point appartient à la ……………………………………….…… d’un angle, alors ce point est …………………………………………….. des deux côtés de cet angle. Utilité: Cette propriété sert à prouver une égalité de ………………………………….. Figure : = L L A A K K M N  A bissectrice de KOL O O

Propriété métrique caractéristique d’équidistance de la bissectrice :

Contrat 8 Page 5 sur 12

Cours de M. JULES v 2.0 Classe de Quatrième B. Bissectrice et équidistance : Puisque la symétrie axiale conserve les longueurs, alors on peut affirmer :

côté (BA) puis au côté (BC) de l’angle.

 Exercice : Soit un angle ABC et (BD) sa bissectrice (codage ?). 1.Projeterperpendiculairementle point D sur le côté (BA). Appeler M ce projeté orthogonal de D sur (BA). Projeterperpendiculairementle point D sur le côté (BC). Appeler N ce projeté orthogonal de D sur (BC). 2.Justifier que DM = DN. 3.Tracer le cercle de rayon DM. Montrer que ce cercle est tangent au

Cours de M. JULES v 2.0 Classe de Quatrième Contrat 8 Page 6 sur 12 C.Concourance des 3 bissectrices d’un triangle: Cercle inscrit. Grâce à la propriété métrique d’équidistance de la bissectrice(page précédente) et à sa réciproque (p.7), on peut montrer les propriétés suivantes :

Les 3 bissectrices d’un triangle ABC se ……………………….…….. (sont concourantes) en un point I. Ce point I est le centre d’un cercle intérieur au triangle ABC appelécercle inscrit au triangle ABC. Cecercle inscrit est tangentaux 3 côtés du triangle. Autrement dit,le centre I du cercle inscrit à un triangle estéquidistant des 3 côtésde ce triangle. Autrement dit,IN = IM = IP. P Figure : N Placez tous les codages manquants. I C M B

2 remarques : 2 bissectrices suffisent pour construire le cercle ……………………….. Attention : une bissectrice coupetelle forcément le côté opposé en son milieu? Oh que ………..! Application : 1.Construireen rouge, à la règle et au compas,le centre K du cercle inscritau triangle CAT cidessous. 2.Que peuton dire des distances du point K à chacune des droites (AC), (AT) et (CT) ? Justifier. 3.Projeter K perpendiculairement sur les trois côtés [AT], [AC] et [CT] du triangle respectivement en P, Q et R. Que peuton dire des longueurs KP, KQ et KR ? Justifier. C 4.Tracer le cercle inscrit au triangle CAT. Codages ! T

Cours de M. JULES v 2.0 Classe de Quatrième IV. RECONNAITRE UNE BISSECTRICE.

A.En utilisant une égalité d’angles:

La réciproque de la propriété angulaire de la bissectrice existe :

Réciproque de la propriété angulaire caractéristique de la bissectrice :

(……. condition ou hypothèse)

Contrat 8 Page 7 sur 12

(…….. résultat ou conclusion)

  BMP = PMA  Quandalors (MP) est la …………………...…..…. de l’angle ……….   ou BMP = BMA/2 Autrement dit: Lorsque 2 angles adjacents sont de ………………………………..……………….., la droite portée par le côté commun aux 2 angles est la ………………………………………… de l’angle formé par ces 2 angles adjacents. Utilité: Cette réciproque sert à prouver qu’une droite est la ………………..…..……….. d’un ………….. Figure : B  Bissectrice de AMB

Puisque la propriété angulaire directe et sa réciproque sont vraies, on dit que cette propriété angulaireConséquence : caractérisela bissectrice. En gros, dés que vous avez une bissectrice, il faut penser à une égalité d’angles et inversement. B.En utilisant l’équidistance d’un point par rapport à deux droites: La réciproque de la propriété métrique d’équidistance de la bissectrice existe:

Réciproque de la propriété métrique caractéristique d’équidistance de la bissectrice:

(……. condition ou hypothèse)  un point A est équidistant des 2 côtés de KOL. Quandalors càd AM = AN

(…. résultat ou conclusion)

 A est sur la bissectrice de l’angleKOL

Autrement dit: Lorsqu’un point est ………………………………….………….. des deux côtés d’un angle, alors ce point appartient à la ……………………………………….…… de cet angle. Utilité: Cette propriété sert à montrer qu’un point est sur une ………………………………….. Figure : = L L A A K M K  M N de KOLA bissectrice N O O

Conséquence: Puisque la propriété métrique directe d’équidistance et sa réciproque sont vraies, on dit que cette propriété métriquecaractériseEn gros, dés que vous avez une bissectrice, il faut penser à équidistance avec les côtés de la bissectrice. l’angle et inversement.

Cours de M. JULES v 2.0 Classe de Quatrième Contrat 8 Page 8 sur 12 On a un corollaire (une conséquence) important de cette réciproque de la propriété d’équidistance: la propriété qui suit permettra, en utilisant l’équidistance d’un point par rapport aux deux côtés d’un angle, de

montrer qu’une droite est une bissectrice.

Montrer qu’une droite est la bissectrice en utilisant l’équidistance:

Quand

(……. conditions ou hypothèses) une droite passe :   par un point A équid istant des 2 côtés de KOL alors  et par le sommet O de l’angleKOL

(…. résultat ou conclusion)

cette droite (OA) est la …………………………………

 de l’angleKOL.

Autrement dit: Lorsqu’une droite passe par un point ……..………………………….………….. des deux ……………. d’un angle et aussi par le ……………………………… de l’angle, alors cette droite est la ……………………………………….…… de cet angle. Utilité: Cette propriété sert à montrer qu’une droite est une ………………………………….. Figure : = L  L (AO) bissectrice de KOL A A K M K M N N O O

Plus généralement : «Lorsqu’une droite passe pardeuxpoints ……..………………………….………….. des deux côtés d’un angle, alors cette droite est la ……………………………………….…… de cet angle.» Exercice: Preuve de la concourance des 3 bissectrices d’un triangle. Le but de cet exercice est de prouver que les 3 bissectrices d’un triangle se coupent en un même point. Soient donc un triangle ABC et deux de ses trois bissectrices.   La bissectrice de BAC et la bissectrice de ACB se coupent en le point I. Codages !  On va montrer que la troisième bissectrice (de CBA) passe aussi par ce point I. I 1.Montrer que le point I est équidistant des côtés [BA] et [BC]. 2.Montrer que la droite (BI) est une bissectrice puis conclure.

B

Cours de M. JULES v 2.0 Classe de Quatrième C. En utilisant le centre du cercle inscrit à un triangle : La preuve page précédente permet d’énoncer la propriété suivante: Soit un triangle ABC et I le centre de son cercle inscrit.

Reconnaître une bissectrice d’un triangle grâce au centre de son cercle inscrit:

(……. conditions ou hypothèses)

Contrat 8 Page 9 sur 12

(…….. résultat ou conclusion)

une droite passe : (BI) est la ……..….……………...…..…... par le sommet B du triangle ABC Quand alors  et par le centre I de son cercle inscrit de l’angle ………. Autrement dit: Lorsqu’une droite passe par un ………………………………………... d’un triangle et par le centre du cercle …………………………………. à ce triangle, alors cette droite est la bissectrice relative à ce sommet du triangle. Utilité: Cette réciproque sert à prouver qu’une droite est la ………………..………….. d’un ………….. C C Figure : I I centre du cercle inscrit  Bissectrice de ABC (rajouter le codage) B B

Exercice fondamental sur les bissectrices d’un triangle : B 1.Tracezen rouge (BI). (BI) coupetelle [AC] en son milieu? …….. 2.Montrez que I est le centre d’un cercle tangent aux 3 côtés du triangle ABC puis tracez ce cercle.

  3.ABI = CBA / 2.Montrez que

I

C

Cours de M. JULES v 2.0 Classe de Quatrième Contrat 8 Page 10 sur 12 3 remarques à propos de cet exercice fondamental sur les bissectrices d’un triangle: La question 2 peut être posée d’une autre manière: « Montrez que I est équidistant des côtés [AB] et [BC]. » ou « Montrez que I est à égale distance des 3 côtés du triangle. ». Cette question est souvent supprimée mais reste sous entendue.   La question 3 peut être posée d’une autre manière= 2 IBC . »: « Montrez que ABC

Cet exercice de base exploite la situation classique suivante : On part plus ou moins directement de 2 bissectrices, puis on exploite la troisième (question 3). V. EXERCICES RECAPITULATIFS.

A. Bissectrices et Equidistance. Exercice 1 : Dans chacun des cas, traceren rouge tous les points situés à la même distance :

des deux côtés de cet angle.

de ces deux droites.

Exercice 2 : Laissez visible les traits de construction. Placer l’aéroport V de telle sorte: Où placer la décharge D qui doit être : oqu’il soit équidistant des routesoéquidistante des routes [AB) et [AB) et [AC). [AC). oet en même temps équidistant desosituée à plus de 500 m de la route villes B et A.[AC). oet à plus de 750 m de la ville E. Repassez en violet la zone possible. (échelle 2 cm pour 1 km)

de ces deux droites.

Oùplacer l’éolienne O qui doit être: oéquidistante des lignes électriques (AB) et (EC). oéquidistante des villes B et C. oet à moins de 1 km du transformateur T. (échelle 1 cm pour 1 km).

Cours de M. JULES v 2.0 Classe de Quatrième Contrat 8 Page 11 sur 12 Exercice 3 : Dans chacun des cas, hachureren rouge la zone pavillonnaire: qui est plus proche de la route [AC) que de la route [AC). qui est en même temps plus proche des rues [AB] et [BC] que de la rue [AC].

ème ».Exercices pages suivantes « cahiers Mathenpoche 4 VI. POUR PREPARER LE TEST ET LE CONTROLE.

A. Je dois savoir :

 Remplissez ce tableau : Définition de la bissectrice d’un secteur angulaire. Construction de la bissectrice au rapporteur ou au compas. Propriété angulaire caractéristique de la bissectrice. Propriété caractéristique d’équidistance de la bissectrice. Concourance des bissectrices. Cercle inscrit : définition, construction. Equidistance du centre du cercle inscrit aux trois côtés du triangle. Exploiter la concourance des bissectrices pour en déduire des mesures d’angles. Triangle isocèle et bissectrices. Triangle équilatéral et bissectrices. Aimer les bissectrices.

A refaire

A revoir

Maîtrisé

ème Hachette 2006) p.237 et 242.Pour préparer le test et le contrôle : Livre (Diabolo Maths 4

B. Conseils : Constructions : oLaissez les traits de construction,légers et nets. oC OULEURS + CODAGES induits par l’énoncé.