Cours : Calcul différentiel et Intégral

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Cours “Calcul Différentiel et Intégral I”
Wolfgang Bertram
8 décembre 2006ii Introduction
Introduction
Le sujet de ce cours est l’étude et l’analyse des fonctions de plusieurs va-
n mriables, f :R →R , ou, plus généralement f : V → W, où V et W sont
des espaces vectoriels sur R. Pour donner une idée du plan du cours, on
peut le diviser en trois parties principales :
I. La continuité : Notions de base de la topologie générale.
II. Différentiation.
III. Eléments d’intégration.
Les fonctions que nous allons étudier sont des fonctions « régulières ». Le
0premier degré de régularité, noté C , est la continuité; le degré suivant,
1noté C , est la continue différentiabilité; encore plus régulières sont les
2 3 ∞fonctionsC ,C , ..., puisC («lisse»). Ces propriétés seront étudiées en
détail dans les parties I et II, et nous dirons aussi quelques mots sur les
fonctions les plus régulières qui sont les fonctions analytiques.
Quantà lapartieIII,commedanslecasd’unevariable,l’intégration adeux
aspects, a priori complètement différents l’un de l’autre : d’abord, le calcul
d’aires (ou de volumes); cet aspect est étudié dans la théorie de la mesure
qui constitue le sujet d’un autre cours. Ensuite, l’intégration joue aussi le
rôle d’une « réciproque de la différentiation » : elle permet de « retrouver
le chemin parcouru à partir du relevé de vitesse ». Plus précisément, la
recherchede primitives mène au problème beaucoup plus vaste d’«intégrer
une équation différentielle», et la relation fondamentale qui existe entre la
différentiation et l’intégration en une variable sera généralisée par les cé-
lèbresthéorèmesdeGaussetdeStokes.DanslapartieIII,nousdéveloppons
des outils qui sont nécessaires pour attaquer ces grands sujets, et qui sont
également utilisés dans un grand nombre d’autres théories mathématiques.
Passons en revue ces trois parties de l’analyse pour le cas des fonctions
réelles d’une variable, et essayons de dégager quelques aspects importants
qui serviront pour comprendre la suite.6
Introduction iii
Continuité
Qu’est-ce qu’une fonction continue? Pour trouver une bonne réponse à
cette question, les mathématiciens ont mis plus de cent ans de temps de
réflexion. Peut-être l’auraient-ils trouvée plus vite s’ils avaient commencé
par la question négative : Qu’est-ce qu’une fonction discontinue? Si l’on
pose la question de cette façon, on arrive tout naturellement à la fameuse
«définitionepsilon-delta»delacontinuité.Poursimplifierlanotation,nous
écrivonsd(x,y) =|x−y|pour la distance entredeux pointsx,y de la droite
réelleR et B (x) ={y ∈R|d(x,y) < r} pour l’intervalle de centre x et der
rayon r. Alors voici la formulation logique de la définition de la continuité
d’une fonction f :I →R au point a∈I :
(C) (∀ε > 0) (∃δ > 0) (∀x∈I∩B (a)) d(f(x),f(a))6ε.δ
Selon les règles de la logique, le contraire logique de (C) est la propriété
suivante :
(NC) (∃ε> 0) (∀δ > 0) (∃x∈I∩B (a)) d(f(x),f(a))>ε.δ
Traduisons la formule (NC) en language usuel : on pourra dire que la fonc-
tion f présente au point a un «saut», d’une certaine hauteur, notée ε, où
ε est un nombre strictement positif. Cela veut dire que l’on peut trouver
des points x aussi proche de a que l’on veut (de distance plus petite que δ,
quel que soit δ > 0), tels que l’écart d(f(x),f(a)) entre f(x) et f(a) soit
toujours plus grandqueε.Souvent,onpréfèrereformulerles conditions (C)
et (NC) en termes de suites :
(C’) (∀(x ) ,x ∈I) x →x(n→∞)⇒f(x )→f(x)(n→∞)n n∈N n n n
(NC’) (∃(x ) ,x ∈I) x →x(n→∞)∧f(x )6→f(x)(n→∞)n n∈N n n n
Les définitions (C)et(C’)sontàlabasedel’approchemoderneà l’analyse;
elles sont tellement fondamentales, que nous recommandons au lecteur de
les apprendre par cœur comme un poème pour pouvoir les réciter sans
hésitation et en toute circonstance. Ces mêmes définitions gardent tout
leur sens si, par exemple, d(x,y) désigne la distance entre deux points x,y
ndans le plan ou dans R . On peut donc définir les applications continues
n mde R dans R exactement de la même manière. On en parlera au cours
des trois premiers chapitres.
Dérivabilité
Pour n’importe quelle fonction f : I →R et x,y ∈ I avec x = y, la pente
est définie par
f(x)−f(y)
. (0.1)P(x,y) :=
x−y
On peut interpréter cette expression comme le coefficient directeur de la
sécante de f déterminée par x et y, i.e., de l’hypoténuse dans le triangle6
6
6
6
6
6
iv Introduction
rectangle marqué par les trois points (x,f(x)),(y,f(y)) et (y,f(x)) dans
2le plan R . Faisons tendre y vers x : on dit que f est dérivable en x si la
« sécante tend vers la tangente», i.e. :
(D) Pour toute suitey depoints deI qui tend versx, la limite de la penten
0 0f (x) := lim P(x,y )existe.(Onécritaussif (x) = lim P(x,y).)n→∞ n y→x
Mais il existe aussi une deuxième notion qui est tout aussi naturelle : on
pourra faire bouger les deux extrémités du triangle caractéristique et faire
tendre à la fois x et y vers un point a. Si tout va bien, la sécante devrait,
là encore, tendre vers la tangente :
(DS) Pour toute suite (x ,y ) de points de I ×I qui tend vers (a,a) (etn n
0tel que x =y ), la limite de la pente f (x) := lim P(x ,y ) existe.n n n→∞ n n
0(On écrit aussi f (a) = lim P(x,y).)(x,y)→(a,a)
x=y
La surprise est alors que les deux notions ne coïncident pas! Donnons un
contre-exemple : la fonction n 12x sin( ) six = 0
xf :R→R, f(x) =
0 six = 0
1est bien différentiable en tout point x∈R : comme|sin( )|6 1, on trouvex
0que f (0) = 0, et pour x = 0, les règles usuelles de dérivation donnent
1 10f (x) = 2xsin( )− cos( ). Mais elle ne satisfait pas la condition (DS) :
x x
1comme cos( ) a des oscillations de plus en plus rapprochées quand x tend
x
vers 0, on peut trouver une suite de couples (x ,y ), disons, avec x <n n n
y < 0, telle que x et donc y tend vers 0 pour n → ∞, et telle quen n n
1P(x ,y ) = . Mais de la même façon on peut construire une suite avecn n 2
10 0des propriétés analogues, mais telle que P(x ,y ) = − . Pour la suiten n 2
mixte obtenue en mettant les deux suites ensemble, la pente n’admet donc
pas de limite. Autrement dit, lim(x,y)→(0,0) P(x,y) n’existe pas.
x=y
Nous devons donc distinguer ces deux propriétés, et nous dirons que f est
strictement différentiable en a si la condition (DS) est vérifiée. Et voici un
résultat important d’analyse en une variable :
Théorème. (Théorème de la pente.) Pour une fonction f : I → R sont
équivalentes :
01) La fonction f est dérivable en tout point de I, et f :I →R est conti-
nue.
2) La fonction f est strictement dérivable en tout point de I.
<1>3) Il existe une fonction continue de deux variables f :I×I →R telle
<1>que f (x,y) =P(x,y) si x =y.6
Introduction v
<1> 0Sous ces conditions, on a f (x,x) =f (x).
1On dit alors que f est de classe C . Nous allons esquisser la preuve de
ce théorème tout de suite. La preuve la plus simple utilise le théorème des
valeursintermédiaires;maiscettepreuvenepeutpasêtregénéraliséeaucas
ndeR . Pour cette raison, nous en préférons une autre dont l’outil principal
est l’intégrale et sa relation avec le calcul différentiel.
La relation fondamentale entre différentiation et intégration
Le lecteur connaîtra la «formule reine» du calcul différentiel et intégralen
une variable : si f :I →R est dérivable et x,y∈I,Z y
0f (t)dt =f(y)−f(x). (0.2)
x
Nous supposons connues quelques propriétés simples de l’intégrale – à sa-
voir :
a) Toute fonction continue f : [a,b]→R est intégrable.Rbb) Normalisation : 1du =b−a.
a R R R
c) L’intégrale est linéaire : (f +g)(u)du = f(u)du+ g(u)du,R R
λf(u)du =λ f(u)du. R R
d) L’intégrale est monotone : | f(u)du|6 |f(u)|du.
Mais (vu qu’il y a plusieurs façons de se procurer la notion d’intégrale,
qu’elle soit de Riemann ou de Lebesgue ou autre) nous n’allons pas inter-
roger le lecteur sur les origines de son savoir. De toute manière, la formule
reine est une conséquence des propriétés a) – d), ainsi que le fait que l’inté-Rtgrale à borne supérieure variable, F(t) = f(u)du (pour n’importe quel
t0
0choix de t ∈ [a,b]), est une primitive de f, i.e., F =f. Si, dans la formule0
t−xreine, on fait un changement de variables u = , on peut la reécrire :y−xZ 1
0f(y)−f(x) = (y−x) f (x+u(y−x))du,
0
de sorte que Z 1f(y)−f(x) 0= f (x+u(y−x))du. (0.3)
y−x 0
Pour x = y o