Cours de filtrage en temps discret - Filtre de Kalman

Description

Universit¶e de Rennes 1Master Recherche STIIntroductionau Filtrage en Temps DiscretFiltre de KalmanFiltrage ParticulaireModµeles de Markov Cach¶esFran» cois LeGlandIRISA / INRIA2005{06Table des matiµeres1 Introduction 11.1 Importance de l’information a priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Prise en compte de a priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Systµemes lin¶eaires gaussiens 13¶2.1 Equations d’¶etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13¶2.2 d’¶etat et d’observation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Filtre de Kalman, et extensions 173.1 Filtre de Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Extensions au cas non{lin¶eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 Systµemes non{lin¶eaires non{gaussiens, et extensions 25¶4.1 Equations d’¶etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25¶4.2 d’¶etat et d’observation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 Filtre bay¶esien optimal 295.1 Flots de Feynman{Kac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29¶5.2 Equation du flltre bay¶esien optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.3 Approximation particulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 Modµeles de Markov cach¶es 376.1 Cha^‡nes de Markov aµ ¶etat flni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.2 Modµeles de Markov cach¶es . . . . . . . ...

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Extrait

Universit´edeRennes1 Master Recherche STI

Introduction au Filtrage en Temps Discret

Filtre de Kalman Filtrage Particulaire Mode`lesdeMarkovCach´es

Fran¸ eGland cois L IRISA / INRIA

2005–06

Table des matieres `

1 Introduction 1 1.1 Importance de l’information a priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Prise en compte de l’information a priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2Systemesline´airesgaussiens13 ` ´ 2.1Equationsd’´etat................................13 ´ 2.2Equationsd’´etatetd’observation.......................14

3 Filtre de Kalman, et extensions 17 3.1 Filtre de Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2Extensionsaucasnon–line´aire.........................22

4Syst`emesnon–line´airesnon–gaussiens,etextensions25 ´ 4.1Equationsd’´etat................................25 ´ 4.2Equationsd’e´tatetd’observation.......................26

5Filtrebaye´sienoptimal29 5.1 Flots de Feynman–Kac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ´ 5.2Equationdufiltrebaye´sienoptimal......................31 5.3 Approximation particulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

6Mod`elesdeMarkovcach´es37 6.1ChaˆınesdeMarkova`´etatfini.........................37 6.2Mod`elesdeMarkovcache´s...........................38

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A

Equations forward / backward de Baum 7.1 Equation forward . . . . . . . . . . . . . 7.2 Equation backward . . . . . . . . . . . .

Algorithme de Viterbi

Rappelsdeprobabilit´es

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Chapitre 1

Introduction

Lefiltrageconsiste`aestimerl’e´tatd’unsyst`emedynamique,c’est–a`–diree´voluantau coursdutemps,a`partird’observationspartielles,generalementbruite´es. ´ ´ Typiquement, on dispose d’une suiteY 1 , Y 2 ,∙ ∙ ∙, Y n  `esd’observations, obte trai-nues apr tementpr´ealabledusignalbrutrecueilliauniveaudescapteurs.ChaqueobservationY n estreli´ea`l’e´tatinconnuX n par une relation du type e Y n =h(X n ) +V n , o`uV n est unbruit.Pourallervationuedro’sbsilee’rreirecn´saesi,nitsellpreolsuq,le´domiu ded´efinirpluspre´cise´mentlanotiondebruitlspedeapsrleeAexnn’Aal`arevuortnO. probabilite´sdontonaurabesoindanscecours.

Exemple:Navigationd’unv´ehiculesous–marinautonomensidOncolepr`ere-o ble`medelanavigation(c’est–a`–diredelade´terminationdelapositionetsipossiblede lavitessea`chaqueinstant)d’unv´ehiculed’explorationsous–marinautonome. Dansunenvironnementstructure´,onpeututiliserlareconnaissanceentempsr´eelde pointscaracte´ristiquesdontlapositionestdisponibledansunebaseded´ onnees, sur une carte,etc.Onconsid`ereicilecasou`l’environnementn’estpasstructur´e,etou`lesyste`me denavigationutiliseunr´eseaud’antennesa`baselongue,et´eventuellementuncapteur d’immersion.Laconfigurationdure´seauconsisteenuneunit´ehydrophone/project` eur a bordduve´hicule,etunensembledequatretranspondeurssous–marinsde´pose´saufond avantlede´butdelamission,etdontlespositionssontsuppos´eesconnues.Leprojec- teurduv´ehiculeinterrogelesquatretranspondeurs,chacundesquelsemetuneimpulsion ´ acoustiquede`squ’ilrec¸oitl’impulsiond’interrogationduve´hicule.Ladur´eedelatrans- missionaller–retourentrelev´ehiculeetuntranspondeurdonn´efournitunemesuredela distanceentreleve´hiculeetcetranspondeur.Lecapteurd’immersionmesurelahauteur delacolonned’eauaudessusduve´hicule.

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Fig.auinar–mmenotoihe´vnu’suoseluc–Nav1.1iondigat

` Apartirdesquatremesuresdedistance,lapositionduve´hiculeestd´etermin´edefa¸con unique (pourvu que les quatre transpondeurs ne soient pas sit ´ da ˆ lan) ues ns un meme p parl’intersectiondequatresphe`res,centr´eeschacunealapositiond’untranspondeur ` diff´erent,etderayon´egal`aladistanceentreleve´hiculeetcetranspondeur. Danslapratique,cesmesuresdedistancesontentach´eesd’erreur,etilpeutseproduire queleproble`med’intersectionn’aitpasdesolution.Ilpeutaussiarriverqu’unouplusieurs destranspondeurssoitd´efaillant,c’est–a–direnefournissepasdemesurependantquelque ` temps,voiredefa¸conde´finitive,cequirendlatriangulationimpossible.Enfinilpeut arriverquelesmesuresdedistancefourniesparlestranspondeursnepuissentpaseˆtre consid´ereescommesynchrones,c’est–`a–direquelesdistancesmesur´eesentrelev´ehiculeet ´ nepairedetranspondeurscorrespondenta`deuxdatesle´ge`rementdiff´erentes:lev´ehicule u s’e´tantd´eplace´entrecesdeuxdates,laproc´eduredetriangulationelle–mˆemeestentache´e d’erreur. Cesdiff´erentsprobl`emes(erreursdemesure,de´faillancedescapteurs,asynchronisme, etc.)sontr´esolusenintroduisantunmod`eleaprioripourl’e´volutionduve´hicule.