Cours de mathématiques pour la physique

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¶Mathematiques pour la Physique,partie II|||||||||||||||||-Licence de PhysiqueUniversit¶e de ProvenceB. Torr¶esaniCHAPITRE 2Introduction aux Probabilit¶es1. Mod¶elisation probabiliste1.1. G¶en¶eralit¶es.1.1.1. Modµele probabiliste : Les modµeles probabilistes s’introduisent naturelle-ment en physique dans deux contextes difi¶erents :{ Il existe une grande quantit¶e de systµemes physiques qui sont trop complexespour pouvoir ^etre d¶ecrits de fa»con d¶eterministe. L’exemple le plus imm¶ediatest fourni par des systµemes de particules \libres". Supposons simplement10que nous ayons µa d¶ecrire un systµeme de 10 particules, ¶evoluant librementdans un volume flni donn¶e, interagissant par chocs ¶elastiques. Il est clair queles lois fondamentales de la dynamique nous permettent th¶eoriquement decalculer les trajectoires individuelles de chacunes des particules. Cependant,un tel calcul s’avµere irr¶ealisable en pratique, compte tenu du grand nombrede possibilit¶es dont il faut tenir compte.{ Il existe aussi des systµemes qui ont une nature intrinsµequement probabi-liste. C’est en particulier le cas des systµemes quantiques, si on s’en tient auxinterpr¶etations classiques. Etant donn¶e un systµeme quantique, on ne peutg¶en¶eralement pas pr¶edire µa l’avance ce que sera le r¶esultat d’une mesure.On doit se contenter de connaitre les r¶esultats possibles, auxquels on peutafiecter une probabilit¶e.Dans de tels cas de flgure, la mod¶elisation est une ...

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Math ´ ematiquespourlaPhysique, partie II —————————————————-

Licence de Physique

Universite´deProvence

B.

To ´ ni rresa

CHAPITRE 2

IntroductionauxProbabilit´es

1.Mod´elisationprobabiliste 1.1.Ge´n´eralite´s. 1.1.1.Mod`le probabiliste :silissettni’udormoeseld`presabobisLentnaturelle-e mentenphysiquedansdeuxcontextesdiffe´rents: –Ilexisteunegrandequantite´desyste`mesphysiquesquisonttropcomplexes pourpouvoireˆtred´ecritsdefa¸cond´eterministe.L’exempleleplusimm´ediat estfournipardessyst`emesdeparticules“libres”.Supposonssimplement quenousayonsade´crireunsyste`mede10 10 enemtparticulse´,veloautnilrb ` dansunvolumefinidonne´,interagissantparchocs´elastiques.Ilestclairque lesloisfondamentalesdeladynamiquenouspermettentth´eoriquementde calculer les trajectoires individuelles de chacunes des particules. Cependant, untelcalculs’av`ereirr´ealisableenpratique,comptetenudugrandnombre depossibilite´sdontilfauttenircompte. –Ilexisteaussidessyste`mesquiontunenatureintrinse`quementprobabi- liste.C’estenparticulierlecasdessyst`emesquantiques,sions’entientaux interpre´tationsclassiques.Etantdonne´unsyst`emequantique,onnepeut ´´eralemet´edirea`l’avancecequeseraler´esultatd’unemesure. gen n pas pr Ondoitsecontenterdeconnaitrelesre´sultatspossibles,auxquelsonpeut affecteruneprobabilit´e. Dansdetelscasdefigure,lamode´lisationestunemod´elisationprobabiliste. Unemode´lisationprobabilisteconsisteessentiellementenunensemble(discretou continu)de“possibles”(appel´ese´`vnemenest), auxquels on associe un nombre (la probabilitedel’´ev`enement)quiencaracte´riselavraisemblance. ´ Exemple2.1.`lleontireneci`epund’lempeuqalceva,elamroe’exnolsrPne e a pileouface.Ilestquasimentimpossibledecalculeravecunepr´ecisionsuffisantela trajectoiredelapie`cepourpre´direler´esultat.Parcontre,ilestpossibled’associer desprobabilite´sauxre´sultatspossibles.Parexemple,sionnotePetFlsltat´esues2r possiblesd’untirage,etsioneffectueunseultirage,onadoncdeuxre´sultats possibles,avecprobabilite´s1/2.Sioneffectue2tirages,ona4re´sultatspossibles ´equiprobables;etainsidesuite.Onpeutfaireletableausuivant: P F P P P F F P F F . . . P P . . . P . . . F F . . . F

1 1 1 1 1 1 .2 −n . . .2 −n 2 2 4 4 4 4 . . Onassocieainsiuneprobabilite´`achacundese´ve`nementsconsid´ere´s.Onv´erifie facilementquelasommedesprobabilit´esassoci´eesa`unnombredetiragesn´efix vaut 1. 3

´ 4 2. INTRODUCTION AUX PROBABILITES Exemple2.2.Marche au hasard :engorvine´dala`,exl’nsno’uedplemPermarche h´esitante.Siilaunejambepluscourtequel’autre,onpeutpenserqu’ilaunepro- babilite´pd’aller vers la gauche (G), etq= 1−pd’aller vers la droite (D). On peut faireletableausuivant,repr´esentantlesconfigurationspossiblespourunnombren de pas d ´ onne : G D GG GD DG DD . . . GG . . . G . . . F F . . . F p q p 2 pq pq q 2 . . . p −n  q. . . −n Onv´erifieaussidanscecasquepourunnombrefixe´depasn, la somme des probabilite´svaut1. Cesexemplessugg`erentdeposerlapremie`ree´baucheded´efinitionsuivante. Pre ´ -D ´ efinition´preeicnuourenxebilUinsmtoedp`eleprobaefibrniaue`omnnN dere´sultatspossiblesconsisteen (1)Un ensembleΩ ={ω 1 , . . . ω N }.selbissopstaltsu´eerd (2)Une applicationP: Ω→[0,1] ω j →P{ω j }, telle que N (2.1) X P{ω j }= 1. j=1 Nousallonsvoirunpeuplusloinquecetted´efinitionn’estpassuffisantepour couvrirlescassusceptiblesdenousinte´resser. Exemple2.3.`inecuveeaac´reliS.erianidrosttateesulpalioefuOtnri`e p ece pile (Pcaf6S.sereliuse´atlttfese(ace´a`uednejtt,)noFrnteri`epalioefuace.,o) L’ensembledesre´sultatspossiblesest Ω ={(P,1),(P,2),(P,3),(P,4),(P,5),(P,6),(F, P),(F, F)} ω(P,1) (P,2) (P,3) (P,4 (P,5) (P,6) (F, P) (F, F) P{ω} 1 1 1 1 1 1 1 1 12 12 12 12 12 12 4 4 1.1.2.ueiq.tatssttilitie´esrPbobarpsebabooe´hdeiratLuestiqe´eslitiatitltsa sontdeuxsciencescomple´mentaires.Pluspre´cise´ment,lath´eoiedesprobabilit´ r es est unescience predictiveantcr:ivsndo´seonscodestfetiecbjele`domsederiurt ´ lar´ealite´,etpre´disantlesfr´equencesd’apparitiondeph´enom`e´esultatsde nes, ou r mesure. Commentconnaitonlesprobabilit´esdetels´eve`nements?Lar´eponse`acette questionestfournieparlath´eoriestatistique,quipermetd’estimercesprobabilit´es `apartird’expe´riences.Lastatistiqueestdoncunescience descriptive. Commentfaitonlelienentrelesdeuxth´eories?larelationestsouventdonne´e par ce que l’on nomme desteoh´etimsme`rilse, comme par exemple laloi des grands