Cours de preparation au CPAES de mathématique : Prbabilités

Description

Universite Claude Bernard Lyon 1Annee universitaire 2011-2012Preparation au CAPES de MathematiquesProbabilites (UE 2)F. Bienvenue-DuheilleChapitre 1Probabilite, probabilite conditionnelle1 Probabilite1.1 De nitionsOn se place sur un ensemble appele espace de probabilite ou univers.Dans le vocabulaire probabiliste,{ Un element ! de est appele une experience{ Un sous-ensemble A de est un evenement.{ Un evenement elementaire est un singleton de .{ L’evenement certain est .{ L’evenement impossible est l’ensemble vide.{ Deux evenements disjoints sont dits incompatibles.+De nition 1.1. Une mesure de probabilite P est une fonction de nie sur P( ) et a valeurs dans Rveri ant les proprietes suivantes :1. P( ) = 1 .2. Si A et B sont deux sous-ensembles disjoints de , on a P(A[B) = P(A) + P(B).3. Si (A ) est une famille denombrables de sous-ensembles de deux a deux disjoints, on an n1[ XP A = P(A ):n nn1 nOn deduit la proposition suivante de la de nition d’une mesure de probabilite :Proposition 1.2. 1. P(;) = 0,2. Si A est un evenement, P( nA) = 1 P(A),3. Si AB sont deux evenements, P(A) P(B),4. Si A et B sont deux ev P(A[B) = P(A) + P(B) P(A\B).Remarque : Le troisieme point de la de nition signie qu’une probabilite est une fonction croissante : c’estune faco n de calculer la « taille»des evenements.On montre facilement par recurrence le resultat suivant appele formule de ...

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Extrait

Universit´eClaudeBernardLyon1 Anne´euniversitaire2011-2012

Pre´parationauCAPES

Probabilit´es

de

Mathe´matiques

(UE

2)

F.Bienvenu ¨ e-Duheille

Chapitre 1

Probabilit´e,probabilit´econditionnelle

1 Probabilit´ e 1.1De´finitions OnseplacesurunensembleΩappele´ espacedeprobabilit´e ou univers. Dans le vocabulaire probabiliste, Une´l´ent ω deΩestappele´une exp´erience – em Un sous-ensemble A de Ω est un ´ ´ ent . – evenem – Un e´ve´nement´el´ementaire est un singleton de Ω. – L’ ´eve´nementcertain est Ω. – L’ e´v´enementimpossible est l’ensemble vide. –Deuxe´v´enementsdisjointssontdits incompatibles. D´efinition1.1. Une mesuredeprobabilit´eP estunefonctionde´finiesur P (Ω) et`avaleursdans R + v´erifiantlesproprie´t´suivantes: es 1. P (Ω) = 1 . 2. Si A et B sont deux sous-ensembles disjoints de Ω , on a P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) . 3. Si ( A n ) n ≥ 1 estunefamillede´nombrablesdesous-ensemblesde Ω deuxa`deux disjoints , on a P  [ A n  = X P ( A n ) . n ≥ 1 n

Ond´eduitlapropositionsuivantedelade´finitiond’unemesuredeprobabilite´:

Proposition 1.2. 1. P ( ∅ ) = 0 , 2. Si A estun´eve´nement, P (Ω \ A ) = 1 − P ( A ) , 3. Si A ⊂ B sontdeux´eve´nements, P ( A ) ≤ P ( B ) , 4. Si A et B sontdeux´eve´nements, P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) .

Remarque : Letroisi`emepointdelad´efinitionsignifiequ’uneprobabilit´eestunefonctioncroissante:c’est ¸ une facon de calculer la « taille » dese´venements. ´ Onmontrefacilementparre´currenceler´esultatsuivantappel´eformuledePoincare´ouformuledu crible :

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Proposition 1.3. Soit ( A k ) 1 ≤ i ≤ n n e´ve´nementsquelconquesde Ω . On a A k = X P
i = [ n ! = n 1 P ( A i ) 1 i − X P ( A i ∩ A j ) + 1 ≤ i<j ≤ n + X P ( A i ∩ A j ∩ A k ) 1 ≤ i<j<k ≤ n + ∙ ∙ ∙ + ( − 1) n +1 P
i = n \ 1 A i ! .

Remarque : Sivousavezsuiviuncoursdeprobabilite´enL3,celuisebasaitcertainementsurlathe´oriede lamesure,etvousavezdˆuycroiserdestribus.Lanotiondetribuestinutiledanslecadredesprobabilite´s dontvousavezbesoinpourleCAPES:laplupartdutemps,vousaurezaffaire`adesuniversΩfinisou d´nombrables,etlatribuutilis´eesera P (Ω).Lanotiondetribuestutilepourlesprobabilite´sdites « `a e densit´e » parrapporta`lamesuredeLebesgue,maisonpeuts’enpasserenneconside´rantquelaprobabilit´e d’un intervalle. Pour la suite de ce cours, on se placera sur un espace Ω munid’unemesuredeprobabilite´P.

1.2Probabilite´sdiscre`tes Lamesuredeprobabilit´e P est dite discr`ete de`squel’espaceΩestfinioude´nombrableouplus ge´ne´ralement,de`squ’ilexisteunsous-ensembleΩ 0 deΩfinioude´nombrableettelque P (Ω 0 ) = 1. Une probabilit´esurunensembled´enombrableseratoujoursdiscr`ete. Onseplaceradanslasuitedeceparagraphedanslecaso`uΩ estfinioud´enombrable. Proposition 1.4. Uneprobabilite´surunensemblede´nombrableestcomple`tementde´termine´eparles P ( { ω } ) pour tout ω ∈ Ω . En effet, pour A ⊂ Ω , on a P ( A ) = X P ( ω ) . ω ∈ A NB:lecadreleplusfre´quentdesle¸consdeCAPES(hormislesle¸consdestat)estlecasou`l’ensemble Ω est fini. Remarques : –Lespoidsd’uneprobabilit´ediscre`te P ve´rifient P ω ∈ Ω P ( ω ) = 1 . –Unemesuredeprobabilit´enepermetd’e´valueraprioriquelatailledesous-ensemblesdeΩ. Des exemples • Lancerd’unepie`cee´quilibr´ee :onsouhaitemode´liserlere´sultatdulancerd’unepi`ecesanstricherie. Pour cela, on choisit Ω 1 = { pile , face } , et donc card Ω 1 = 2. L’ensemble des parties de Ω 1 comporte quatre´ele´mentsetond´efinitlamesuredeprobabilite´ P par P { pile } = P { face } = 1 / 2 puisque les deux evenementssont´equiprobables(c’est-a`-diredemˆemeprobabilite´).. ´ ´ Remarque : Onauraittre`sbienpuchoisirΩ 1 = { pile , face , rouge , vert } ,etcommemesuredeprobabilite´ P { pile } = P { face } = 1 / 2 et P { rouge } = P { vert } =0,maistantqu’a`faire,onchoisitleplussimple... • Lancer de k pie`ces , k ≥ 2 : on prend cette fois-ci Ω k = (Ω 1 ) k ,c’est-a`-direl’ensembledes k -uplets de pile ou face. On a card Ω k = 2 k et card P (Ω k ) = 2 2 k .Lesdiffe´rents k -upletssonttous´equiprobablesdonc P ( ω ) = 2 − k pour tout ω ∈ Ω k . ,

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• Probabilit´euniformediscre`te : sur un ensemble fini Ω = { ω 1 , . . . , ω n } ,ond´efinitlaprobabilit´e uniforme par P ( ω i ) = 1 /n pour tout i entre 1 et n . Dans ce cas, tous les ω i ontlamˆemeprobabilite´dese produire (i.e. sont ´equiprobables ), et pour une partie A de Ω, on a P ( A ) = car n d A = nbcasfavorables nb cas possibles . Parexemple,lorsdulancerd’und´er´egulier`asixfaces,chaquefaceestobtenueaveclamˆemeprobabilite´ 1 / 6. Remarque : Ilnepeutbiensˆurpasyavoirdeloiuniformesur N . • Exempledemesuredeprobabilit´esur N ∗ .Onlanceunde´defac¸onr´epe´te´ejusqu’`aobtenirun6,et onnotelenume´rodutiragedupremier6.Onae´videmment P (1) = 1 / 6. Onae´galement P (2) = P (aupremiertirage,onn’apaseude6;audeuxi`emetirage,onaeuun6) 5 = 36 carsurles36tiragespossibles´equiprobables,seuls5permettentd’obtenirlepremier6audeuxi`emetirage. De meme, pour tout k ≥ 2, ˆ P ( k ) = P ( k − 1e´checspuisunere´ussite)= 5 k 6 − k 1 =  5 6  k − 1 1 6 . Celaconstituebienunemesuredeprobabilit´ediscr`etesur N ∗ puisque P k ≥ 1 P ( k ) = 1. Attention : Nepasconfondrecetteprobabilit´eaveclaprobabilit´edetirerun6exactementparmiles k premiers lancers.

1.3Probabilite´a`densite´ On se place sur R et on note dx l’´ele´mentd’inte´grationdelamesuredeLebesgue.Soit f : R → R unefonctionpositiveetd’inte´gralesur R ´egalea`1.Onsupposeraque f est continue par morceaux. Il est faciledev´erifierquel’ond´efinitunemesure µ en posant, pour tout I ⊂ R : µ ( I ) = Z R 1 I ( x ) f ( x ) dx. Unetellemesureestditea`densit´e(parrapporta`lamesuredeLebesguesur R ).Ondit´egalementque c’estuneprobabilite´continue. Remarque : Pourfairelelienaveclath´eoriedelamesure,ladefinitionci-dessusestuncasparticulierdes ´ mesuresa`densite´parrapporta`lamesuredeLebesguesur R . Dans le cas general, il suffit que la fonction ´ ´ f soitbore´lienne,etonpeutconside´rerlaprobabilite´detoutbor´eliende R . Des exemples • La mesure uniforme sur l’intervalle [ a, b ],o`u a < b :Onde´finit µ ( A ) Z R ] ( x ) b d − x a . = 1 A ∩ [ a,b • La mesure de Gauss sur R . On utilise ici la fonction f ( x ) = √ 2 1 πσ exp  − ( x 2 − σ 2 m ) 2  , ou` m ∈ R et σ ∈ R + ∗ sontdeuxparame`tresfix´es.

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