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Chapitre 11Adéquation à une loi équirépartie.I Médiane et quartiles d’une série statistique.1 Médiane d’une série statistique. Définition 1 On ordonne une série statistique dans l’ordre croissant, chaque caractère étant représenté autant de foisque donné par son effectif.• Si il y a un nombre impair de termes (un effectif impair), la médiane est la valeur du caractère située au milieude ce tableau.• Si il y a un nombre pair de termes (un effectif pair), la médiane est la moyenne des deux valeurs qui partagenten deux l’effectif de la série.Exemple 1 Prenons la série :Valeurs du caractère 5 8 12 15 18 20Effectifs 2 3 3 6 5 4L’effectif, 23, est ici impair. Il faut donc utiliser la première définition.Pour déterminer la médiane, on "étale" cette série :5 5 8 8 8 12 12 12 15 15 15 15 15 15 18 18 18 18 18 20 20 20 20↑MeOn peut conclure que M =15 (indiqué par une flèche) est la médiane : il y a 11 termes de chaque côté.eExemple 2 On considère la série statistique suivante :Valeurs du caractère 4 5 6 7 8 9 10 11 13 14 15effectifs 1 1 2 4 3 2 2 3 1 2 1L’effectif, 22, est un nombre pair, il faut donc utiliser la deuxième définition. Pour déterminer la médiane, on "étale"cette série :..4 5 6 6 7 7 7 4 8 8 8 . 9 9 10 10 11 11 11 13 14 14 15↑Me8+9On voit que l’effectif est partagé en deux entre 8 et 9. La médiane sera doncM = =8,5.e2169170 CHAPITRE 11. ADÉQUATION À UNE LOIÉQUIRÉPARTIE.Remarque 1 Que se passe-t-il pour la médiane, dans les séries précédentes, quand ...

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Extrait

Chapitre 11

Adéquation à une loi équirépartie.

I Médianeet quartiles d’une série statistique. 1 Médianed’une série statistique. Définition 1On ordonne une série statistique dans l’ordre croissant, chaque caractère étant représenté autant de fois que donné par son effectif. •Si il y a un nombre impair de termes (un effectif impair), la médiane est la valeur du caractère située au milieu de ce tableau. •Si il y a un nombre pair de termes (un effectif pair), la médiane est la moyenne des deux valeurs qui partagent en deux l’effectif de la série. Exemple 1Prenons la série :

Valeurs du caractère5 8 12 15 18 20 Effectifs2 33 6 5 4 L’effectif, 23, est ici impair. Il faut donc utiliser la première définition. Pour déterminer la médiane, on "étale" cette série : 5 5 8 8 8 12 12 12 15 15 1515 1515 18 18 18 18 18 20 20 20 20 ↑ M e On peut conclure queM e = 15(indiqué par une flèche) est la médiane : il y a 11 termes de chaque côté. Exemple 2On considère la série statistique suivante : Valeurs du caractère4 5 6 7 8 9 10 11 13 14 15 effectifs 11 2 4 3 22 3 1 2 1 L’effectif, 22, est un nombre pair, il faut donc utiliser la deuxième définition. Pour déterminer la médiane, on "étale" cette série : 4 5 6 6 7 7 7 4 8 8 8.9 9 10 10 11 11 11 13 14 14 15 ↑ M e 8 + 9 On voit que l’effectif est partagé en deux entre 8 et 9. La médiane sera doncM e = =8,5. 2 169

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CHAPITRE 11.ADÉQUATION À UNE LOI ÉQUIRÉPARTIE.

Remarque 1Que se passetil pour la médiane, dans les séries précédentes, quand on change les valeurs extrêmes des séries (par exemple en remplaçant 15 par 18 dans l’exemple précédent).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Quartilesd’une série statistique. Définition 2Quand on calcule la médiane d’une série, en enlevant éventuellement la médiane, on partage donc cette série en deux parties de même effectif, la partie inférieure et la partie supérieure. •La médiane de la partie inférieure s’appelle le premier quartile, on le noteQ 1 . •La médiane de la partie supérieure s’appelle le troisième quartile, on le noteQ 3 .

Remarque 2Les trois nombres,Q 1 ,M e etQ 3 partagent ainsi la série statistique en quatre parties de même effectif.

Exemple 3Reprenons la série :

Valeurs du caractère5 8 12 15 18 20 Effectifs2 33 6 5 4 En procédant comme pour la médiane, on obtient :

5 5 8 8 812 1212 15 15 1515 1515 18 18 1818 1820 20 20 20 ↑ ↑ ↑ Q 1 M e Q 3 Remarque 3Si on veut partager les effectifs en 10 parties égales, on calculera alors des déciles, qui sont surtout utilisés quand l’effectif total est important. Pour la suite, à partir du prochain paragraphe, on utilisera le dernier décile (le neuvième) des séries statistiques.

Exercice 14.Prendre le second exemple de la première partie et calculer ses deux quartiles ainsi que son écart interquartile.

3 Lesdiagrammes à moustaches (ou diagrammes en boite). La représentation graphique des quartiles et de la médiane se fait à l’aide d’un diagramme à moustache (ou en boite). Pour le premier exemple donné, ce diagramme est :

la valeur minimale

5

10

15

20

La valeur maximale

Q =12 Q = 18 1 3 M =15

II. L’EXEMPLED’UNE PIÈCE, TIRAGE À PILE OU FACE.

Exercice 15.Faire le diagramme à moustaches de la seconde série statistique donnée en exemple.

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Remarque 4On met aussi souvent les premiers et neuvièmes déciles,D 1 etD 9 d’une série statistique à la place du maximum et du minimum. C’est en particulier utilisé pour ce qui va suivre et c’est en général précisé sur le dessin, ou bien dans l’énoncé.

II L’exempled’une pièce, tirage à pile ou face. 1 Uneobservation. On tire à pile ou face 100 fois avec une pièce de monnaie. On observe alors les fréquences suivantes :

résultats fréquences observéesf i

pile 0.46

face 0.54

2 Leproblème. Comment peuton savoir si la pièce est une pièce équilibrée ou pas? Si on se réfère à un calcul de probabilités, on a :

L’idée est la suivante :

résultats probabilitésp i

pile 1

face 1

1. on va définir une distance entre la répartition des fréquences observées et la loi de probabilité ; 2. onvasimuler un grand nombre de foisavec un ordinateur la même expérience (à savoir tirer 100 fois à pile ou face), pour chaque simulation on calcule la distance entre la répartition des fréquencessimulées;et la loi de probabilité 3. onva "comparer" la distance entre la répartition des fréquences observées et la série statistique des distancessimulées.

3 Ladistance que l’on calcule. Pour une expérience qui fourninrésultats, la distance que nous allons calculer est le nombre n X 2 2 D= (f i −p i ) obs k=1 Ici, pour le jet d’une pièce de monnaie,    2 2 1 1 2 D=∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ −+∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ −=∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ obs 2 2

172CHAPITRE 11.ADÉQUATION À UNE LOI ÉQUIRÉPARTIE. 4 Unesimulation avec un ordinateur. On simule donc un grand nombre de fois avec un ordinateur 100 lancers d’une pièce de monnaie.

2 On constate qu’en répétant 500 fois, 1000 fois cette expérience, en calculant 500 fois, 1000 fois la distanceDpour ces simulations, le neuvième décile de la série statistique des distances simulées ne varie pas. On note ce nombreD 9 . Ici donc :D 9 = 0,0256

III. L’EXEMPLEDU GÉNÉRATEUR ALÉATOIRE D’UNE CALCULATRICE.

5 Untest pour décider. 2 On compareDàD 9 . obs

2 •SiDD > 9 , onrejettel’adéquation des données observées avec une loi équirépartie. Ce obs faisant, on prend unrisqued’erreur de10%. En effet, par définition du neuvième décile,10% des simulations donnent une distance supérieure à 0,0128. 2 •SiDD < 9 , onne rejette pasl’adéquation des données observées avec une loi équirépartie, obs avec un risque d’erreur de10%.

2 Pour cette expérience :D∙ ∙ ∙D 9 . On peut donc∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ obs

∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙

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III L’exempledu générateur aléatoire d’une calculatrice. 1 Uneobservation. Pour tester le générateur de nombres aléatoires d’une calculatrice, on joue 100 fois aux dés. On observe alors les fréquences suivantes :

résultats

fréquences observéesf i

1

2

3

4

5

6

2 Leproblème. Comment peuton savoir si le générateur de nombres de la calculatrice simule bien un jeu de hasard? Si on se réfère à un calcul de probabilités, on a les probabilités suivantes :

résultats probabilitésp i

1 1

2 1

3 1

4 1

5 1

6 1

3 Ladistance que l’on calcule. Ici, pour la répétition du jet de 100 dés,   2   2   2   2   2   2 1 1 1 1 1 1 2 D=∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙−+∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙−+∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙−+∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙−+∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙−+∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙−=∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ obs 6 6 6 6 6 6

4 Unesimulation avec un ordinateur. On simule donc un grand nombre de fois avec un ordinateur 100 lancers d’un dé à six faces.

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Ici, on obtient doncD 9 =∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙

CHAPITRE 11.ADÉQUATION À UNE LOI ÉQUIRÉPARTIE.

5 Untest pour décider. 2 Pour cette expérience :D∙ ∙ ∙D 9 . On peut donc∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ obs